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文檔簡介

例:圖示重物重為Q=30kN,由繩索AB、AC懸掛,求AB、AC的約束反力。Q600600CBAQ300300解:取力系的匯交點(diǎn)A為研究對象作受力圖A.QTBTC

按一定比例尺作出已知力Q的大小和方向

根據(jù)匯交力系平衡的幾何條件,該三個(gè)力所構(gòu)成的力三角形必自行封閉,故可在力Q的始端和末端畫出TB和TC

TBTC按同樣的比例即可量得TB和TC的大小。例:圖示重物重為Q=30kN,由繩索AB、AC懸掛,求AB、AC的約束反力。1).取研究對象-------力系的匯交點(diǎn)AA.QTC3).建立坐標(biāo)系yx4).列出對應(yīng)的平衡方程TB600CBAQ3005).解方程解:2)作受力圖例:一工件上需鉆三個(gè)孔,鉆頭力偶矩分別為m1=100kNm,m2=200kNm,m3=300kNm。求夾具對工件的約束反力。Lm1m3m2BALm1m3m2ABNANB解:研究工件,受力如右圖所示。主動力系為一力偶系,根據(jù)力偶的性質(zhì),反力也必為一反力偶,由力偶系的平衡方程

Σm

=0有m1+m2+m3-NAL=0

解得TNBG平面一般力系的平衡方程:例:求A、B兩處的約束反力及繩子的拉力解:①.取研究對象——小車②.做受力圖③.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸④.判斷力系類型,列出對應(yīng)的平衡方程⑤.解方程N(yùn)AxyCGαBATCabh平面一般力系例:圖示簡支梁,求A、B兩處的約束反力。ABllq1q2解:研究AB,受力如圖:q1ABq2NBYAXA建坐標(biāo)如圖yxXA=0YA+NB-=0Aq1Oxxdxqxl下面討論分布載荷合力Q的大?。?l=分布載荷的面積分布載荷合力Q的作用位置:利用合力矩定理,設(shè)合力Q的作用點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為C,向O點(diǎn)取矩有:cQl0作用在分布載荷的形心——圖形的幾何中心MABMqA例1:圖示連續(xù)梁,求A、B、C三處的約束反力。MlqCBAl解:先以BC為研究對象,做受力圖列平衡方程XB=0YB+NC-ql=0NCl-ql2/2=0XA-XB=0YA-YB=0MA+M-YBl=0聯(lián)立求解即可。BCNCYBXBBAXBYBXAYA再研究AB:(或整體ABC)請同學(xué)們研究整體ABC,與上述結(jié)果比較.例2

:圖示構(gòu)架,P=1kN,AE=BE=CE=DE=1m,求A處的反力及BC的內(nèi)力。ABCDEP解:先整體求A處反力:XAYAMA拆開CD:XEYEPCDESCB例3

:圖示結(jié)構(gòu)受水平力P作用,ACB與ED兩桿在C點(diǎn)用銷釘連接,ED與BD兩桿在D點(diǎn)絞接并放在光滑斜面上,各桿自重不計(jì),AB水平,ED鉛直,BD⊥AD。AC=1.6m、BC=0.9m、EC=CD=1.2m、AD=2m。求A、D兩處的反力及桿BD的內(nèi)力。EDCBAP解:先研究整體:YAXAND再拆開ACB:YAXASBDYCXCACB討論:拆開時(shí)若不研究ACB,而研究ECD,則受力如下:PYCXCNDSBDECD此時(shí),ND與SBD共線,是不是SBD就直接等于ND呢?EDCBAPYAXAND當(dāng)A點(diǎn)反力如下圖所示時(shí)則:,XA=0.08kN

YA=-0.12kN

練習(xí)題1.

圖示構(gòu)架,桿和滑輪的自重不計(jì),物塊F重30kN,R=20cm,r=10cm,求A、C兩點(diǎn)的約束反力。A40cmFEDCB40cm30cmrR解:

先研究整體:XAYAXCYCTDF

CDEXCYCXEYE再拆開CED:ABCaaMq2a練習(xí)題2.梁如圖所示,求A、B、C三處的反力。解:先拆開BC:XBYB再整體:BCNCXAYAMANC練習(xí)題3.梁AB、BC及曲桿CD自重不計(jì),P=20kN,M=10kN·m,q=10kN/m,a=0.5m。求固定端A及鉸鏈D處的約束反力。Aa2aCBqMPD2aa練習(xí)題4.平面構(gòu)架由兩個(gè)直角曲桿和一直桿鉸接而成,不計(jì)各桿自重,今在D點(diǎn)施加一水平力P,求欲使系統(tǒng)平衡時(shí)力偶矩M的大小及此時(shí)支座A處的反力。1mCBADEP1m1m1mM練習(xí)題5.平面構(gòu)架受力如圖,不計(jì)自重,P=10kN,M=60kN·m,q=20kN/m,a=4m。求固定端A及鉸鏈C處的約束反力。aCBAqMPDaa平面桁架的計(jì)算方法一.節(jié)點(diǎn)法:各節(jié)點(diǎn)均構(gòu)成一平面匯交力系,從只有兩個(gè)未知力的節(jié)點(diǎn)開始,逐個(gè)討論各節(jié)點(diǎn),聯(lián)立求解.QPabcAB例:平面桁架受力如圖,求各桿內(nèi)力.abHGEFDC解:所有節(jié)點(diǎn)均超過兩個(gè)未知力,所以,先研究整體,求出外反力:YANBXA-P=0YA+NB-Q=0NB(2a+2b)-Q(a+b)-Pc=0由此解出三個(gè)外反力XAAS1Bα再從只有兩個(gè)未知力且受力個(gè)數(shù)較少的節(jié)點(diǎn)開始------B點(diǎn):NB8QPabcABabHGEFDCYAXANB6543211312111097S2畫受力圖時(shí)注意:各節(jié)點(diǎn)處的已知力不能畫錯(cuò),未知力必須背離該節(jié)點(diǎn),設(shè)為拉力,若算出來為負(fù)號,則意為壓力.列出平面匯交力系的平衡方程-S2cosα-S1=0S2sinα+NB=0下來再依次研究G、H、F、E、D、C各點(diǎn)即可。二.截面法:有時(shí)只需求出部分桿件的內(nèi)力,可假想的將桁架從某一截面截開,利用平面一般力系的平衡方程求解.所截截面的未知力不能超過三個(gè)。8QPabcABabHGEFDCYAXANB6543211312111097例:求圖示8、9、10三桿的內(nèi)力。解:一般情況下,應(yīng)先求出整體的外反力,此處反力已求得。再從只有三個(gè)未知力的截面處截開,此處即8、9、10三桿處。棄去一部分,保留另一部分,這里保留左半部:作受力圖s88PaADCYAXA131211109s9s10A同學(xué)們做零桿:若某節(jié)點(diǎn)只受三個(gè)力,且兩力共線,則第三力必為零。s3s2s1正交桿:列平衡方程:練習(xí)題1

:圖示桁架,水平、鉛直各桿長均相等,求6、7、8三桿的內(nèi)力并說明是拉力還是壓力。1234510118976P000S6S7解:先找出零桿,練習(xí)題2

:圖示桁架,ABC為等邊三角形,E、F為兩腰中點(diǎn),求CD桿的內(nèi)力。APFEDCB解:先找出零桿ED,mm0沿m-m截面截開,研究右側(cè),受力如圖SCD概念題:圖示物快重G,一力P作用在摩擦角φm之外,已知α=300,φm=200,G=P,問物塊能否保持平衡?為什么?PGαφm答:能,因?yàn)橹鲃恿、G的合力作用線落在摩擦角之內(nèi)概念題:長方形均質(zhì)塊尺寸如圖,放在斜面上,當(dāng)θ增加到θm(

)

時(shí)處于臨界狀態(tài),求此時(shí)靜滑動摩擦系數(shù)f及b/a的范圍。θba解:練習(xí)題:圖示結(jié)構(gòu)在力偶M=pl

的作用下處于臨界狀態(tài),求C處靜滑動摩擦系數(shù)f及A處的反力。桿自重不計(jì)。ABC600600M=plBC=lRARC解:BC為二力桿練習(xí)題:無重桿AB擱在不計(jì)自重的圓柱體上,求不論P(yáng)多大都不能使圓柱被擠出的各接觸面的摩擦角φ,表成與α的關(guān)系。NF解:只要?jiǎng)t不會被擠出。PAα練習(xí)題:兩根同重等長的均質(zhì)桿在B點(diǎn)絞接,C點(diǎn)靠在墻上,f=0.5,求平衡時(shí)的角θ=?解:研究整體,分析受力:θABCPNFXAYAP再研究BC,分析受力:練習(xí)題:一扇形搖椅底腿半徑為r,頂角600,重Q=100N,重心在C點(diǎn),OC=r/2,在O點(diǎn)加水平力P并逐漸增加,問搖椅是先滑動還是先翻倒?就f=0.2和0.3兩種情況考慮;若先滑動,OC與鉛直成何角度?若先翻倒,此時(shí)F=?600ABOCPQ600ABOCPQNFα解:依題意畫圖,Df=0.2時(shí):此種情況下,先滑動.f=0.3時(shí):

當(dāng)α=300時(shí),搖椅處于將翻未翻的臨界狀態(tài);圖示結(jié)構(gòu)α不可能超過300,所以此種情況下,先翻倒。此時(shí):練習(xí)題:圖示折梯,兩角的fA=0.2,fB=0.6,AC中間D點(diǎn)作用力P=500N,不計(jì)梯重,問能否平衡?若能,F(xiàn)A、FB各為多少?ABCDPBC為二力桿,受力如圖,由平衡方程:NANBFAFB解:先整體:NC能平衡,F(xiàn)A=FB=72.17N。練習(xí)題:圖示楔塊夾角α,各接觸面間的摩擦角均為φ,欲使楔塊不滑出,α=?楔塊自重不計(jì)。αNFRmφ900-φθ解:考察一個(gè)側(cè)面,受力如圖:作輔助線,二.簡化結(jié)果討論,合力矩定理(略)§7.空間一般力系的平衡方程及其應(yīng)用例:重為G的均質(zhì)正方形板置于水平面內(nèi),求球鉸鏈O和蝶鉸鏈A處的反力及繩的拉力.AzyxoB300AzyxoB300T

解:研究板,分析受力GZAXAXOYOZOXO-Tsin300cos450+XA=0YO-Tsin300sin450=0ZO-G+Tcos300+ZA=0b-Gb/2+Tcos300b+ZAb=0Gb/2-Tcos300b=0XA=0S空間一般力系平衡方程的其他形式

前面我們討論了空間一般力系平衡方程的基本形式,也即三矩式。除了基本形式以外,空間一般力系平衡方程也有其他形式:四矩式、五矩式、六矩式。三矩式是必要充分條件,而其他形式是必要不充分條件,要使其充分必須附加一定的條件,而我們所遇到的題目都是平衡的,所以只需必要條件即可。不必考慮附加條件。

即:解題時(shí),可以對任意直線取矩。但應(yīng)向盡可能多的力的平行和相交的直線取矩,以減少方程中未知量的數(shù)目。例:水平均質(zhì)正方形板重P,用六根直桿支撐如圖,求各桿內(nèi)力。ABCD123456解:研究板,作受力圖PSSSSSΣms1=0S6=0Σms3=0S4=0Σms5=0S2=0ΣmAC=0S3=0ΣmAB=0S5=-P/2ΣZ=0S5=S1=-P/2例:已知:RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352,Pz=1400N

求:平衡時(shí)(勻速轉(zhuǎn)動)力Q=?和軸承A,B的約束反力?

解:選輪軸為研究對象;受力分析如圖由:例:水平軸AB上分別固結(jié)半徑為100cm和10cm的兩圓輪,并在切線方向受力P和Q,已知P=10kN,求平衡時(shí)Q=?;A、B兩軸處的反力分別為多少?zxy10cm10cm80cmQPABXAZAXBZB解:受力如圖:例:圖示機(jī)構(gòu),在踏板C上作用一鉛直力P=1000N,與作用在曲桿上的水平力T相平衡,求軸承A、B兩處的反力。xyz450TPOEDCBA8m8m6m4m3mXBYBZBXAZA解:機(jī)構(gòu)受力如圖:例:已知:AB=3m,AE=AF=4m,Q=20kN;

求T2=?,T3=?N2=?由C點(diǎn):解:分別研究C點(diǎn)和B點(diǎn)作受力圖由B點(diǎn):例:曲桿ABCD,∠ABC=∠BCD=900,AB=a,BC=b,CD=c,m2,m3

求:支座反力及m1=?此題課堂練習(xí):⑴

力偶不出現(xiàn)在投影式中;⑵力偶在力矩方程中出現(xiàn),是把力偶當(dāng)成矢量后,再在坐標(biāo)軸上投影;⑶力爭一個(gè)方程求解一個(gè)未知量;⑷了解空間支座反力畫法。解:例:已知:AB桿,AD,CB為繩索,A、C在同一垂線上,AB重80N,A、B光滑接觸,∠ABC=∠BCE=600,且AD水平,AC鉛直。求平衡時(shí),TA,TB及支座A、B的反力。

解:思路:要合理選取投影軸和矩軸,使一個(gè)方程解出一個(gè)未知量。例:

已知:Z形截面,尺寸如圖。求:該截面的重心位置。解:(1)組合法:

將該截面分割為三部分,取Oxy直角坐標(biāo)系,如圖。解

:(2)負(fù)面積法:Z形截面可視為由面積為S1的大矩形和面積分別為S2及S3的小矩形三部分組成,S2及S3是應(yīng)去掉的部分,面積為負(fù)值。β在直線運(yùn)動中,v、a都是代數(shù)量,當(dāng)v、a同號時(shí),點(diǎn)作加速運(yùn)動,否則反之。建立點(diǎn)的運(yùn)動方程是描述點(diǎn)運(yùn)動幾何性質(zhì)的關(guān)鍵。若a為常量,則有:例:曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖,求滑塊B的運(yùn)動規(guī)律、速度及加速度。oBArlωt

解:分析要求點(diǎn)的軌跡——若為直線運(yùn)動,則建立直線軸x,取一固定點(diǎn)作為原點(diǎn),將要求點(diǎn)置于坐標(biāo)軸上任意位置(不要放在特殊位置),標(biāo)出動點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的位置坐標(biāo)x,純粹用幾何方法找出x的長度,并表成時(shí)間t的函數(shù),即為運(yùn)動方程。xx∴x=rcosωt+lcosβ而v、a同學(xué)們自己求?!?.點(diǎn)的曲線運(yùn)動一.矢徑法:(用于理論推導(dǎo))Mr·Or

'

ΔrM'

r=r

(t)運(yùn)動方程:矢端所描出的曲線即為M點(diǎn)的軌跡.平均速度:速度:加速度:例:半徑為r的圓輪放在粗糙的水平面上,輪心A以勻速v0前進(jìn),求輪緣上任一點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。v0A·O·M解:①在輪緣上任取一點(diǎn)M(不能是特殊點(diǎn));xy

②找一固定點(diǎn)O建立直角坐標(biāo),標(biāo)出M點(diǎn)的位置坐標(biāo);DBCθ

③純粹用幾何方法找出該坐標(biāo)的長度,最終表為時(shí)間t的函數(shù)--------即為運(yùn)動方程。x=OC=OB-CBy=MC=AB-AD=vot-rsinθ=r-rcosθ速度、加速度請同學(xué)們做。例1:點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動,速度為v,其加速度a與曲率圓所截的弦MA=l,求證此時(shí)解:依題意畫圖,CAMlravα例2:點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動,其速度v在某一固定方向的投影為常量C,求證其加速度,ρ為曲線在M點(diǎn)處的曲率半徑.

Mvnyxα解:依題意畫圖,a兩式相除即得結(jié)果.概念題:點(diǎn)M做直線運(yùn)動,其運(yùn)動方程曲線為x-t曲線,問速度曲線v-t有幾處明顯錯(cuò)誤?x(t)tt1v(t)tOOt2t3以后為直線答:①t=0,v≠0②t=t1,v=0③t=t2,v=0④t1<t<t2

,v<0⑤t>t3

,v=CMv

沿切線判斷正誤:①點(diǎn)M的運(yùn)動方程為x=Asinωt,A、ω為常數(shù),則M點(diǎn)的軌跡必為正弦曲線。

②左圖中動點(diǎn)M作加速運(yùn)動,右圖中動點(diǎn)M作減速運(yùn)動.a沿法線.v

沿切線aM

③下列三圖中,點(diǎn)沿已知曲線運(yùn)動,圖上標(biāo)注的v、a

是否可能?

v沿切線avava切線切線概念題:

1)點(diǎn)做何種運(yùn)動,出現(xiàn)下列情況之一:

2)點(diǎn)M沿螺線以勻速v自外向里運(yùn)動,問該點(diǎn)運(yùn)動的加速度是越來越大?還是越來越???

勻速直線運(yùn)動.vM勻速曲線運(yùn)動直線運(yùn)動

①aτ≡0

②an≡0③

a

≡0概念題:

1)圖示點(diǎn)沿曲線(不是直線)運(yùn)動,已知

a為常矢量。問點(diǎn)作下列何種運(yùn)動?勻變速運(yùn)動。

②非勻變速運(yùn)動。

③勻速運(yùn)動。

2)判斷正誤

①點(diǎn)作直線運(yùn)動時(shí),必有②點(diǎn)作勻速曲線(不是直線)運(yùn)動,則(a)

a=0

(b)=常矢量(c)=常量(d)v=常矢量①aaaanaτ

例:點(diǎn)沿拋物線y2=4px運(yùn)動,沿y方向的速度為常量C,求vx及加速度a。解:軌跡方程兩邊對t求導(dǎo),例:點(diǎn)沿半徑為R的圓周作勻加速運(yùn)動,v0=0,全加速度

a

與切線的夾角為α,以β表示點(diǎn)所走過的弧s所對的圓心角,求證:

tgα=2βαaβs解:根據(jù)題意畫圖:兩式相除:∴tgα=2β例:點(diǎn)沿半徑為R的圓弧運(yùn)動,v在直徑AB方向的投影u是常數(shù),求點(diǎn)M的vM及aM與φ的關(guān)系。ABvMφ解:x例:圖示卷?xiàng)顧C(jī)構(gòu),繩OB以勻速下拉,求套在固定桿上的套筒A的速度與加速度,表成x

的函數(shù)。AOBlxvB解:A作直線運(yùn)動,兩端對時(shí)間求導(dǎo):同學(xué)們自己求。概念題1)轉(zhuǎn)動剛體的角加速度為正時(shí),則剛體(1)越轉(zhuǎn)越快(2)越轉(zhuǎn)越慢(3)不一定2)兩齒輪嚙合時(shí):接觸點(diǎn)的速度(1)相等;(2)不相等;(3)不一定接觸點(diǎn)的切向加速度(1)相等;(2)不相等;(3)不一定3)平動剛體上點(diǎn)的軌跡不可能為空間曲線4)某瞬時(shí)平動剛體上各點(diǎn)的速度大小相等而方向可以不同練習(xí)題:圖示連續(xù)印刷過程,紙厚為b,以勻速v水平輸送,試以紙卷的半徑表示紙卷的角加速度。vbr解:練習(xí)題:一飛輪繞固定軸O轉(zhuǎn)動,其輪緣上任一點(diǎn)的全加速度在某段運(yùn)動過程中與輪半徑的夾角恒為600,當(dāng)運(yùn)動開始時(shí),其轉(zhuǎn)角φ0=0,初角速度為

ω0,求飛輪的轉(zhuǎn)動方程及角速度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系。aφO解:兩式相除:§2.點(diǎn)的速度合成定理AMBM1M///AB

動點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對速度等于它在該瞬時(shí)的牽連速度與相對速度的矢量和。例1:凸輪半徑為R,沿水平面以勻速v0向右運(yùn)動,求φ=600時(shí)桿AB的速度.ABv0φR解:ABv0φR①.正確地選取并明確地指出動點(diǎn)和動系:.動點(diǎn)和動系不能在同一剛體上;.在某一物體上,動點(diǎn)相對該物體的位置應(yīng)是不變的點(diǎn);.動點(diǎn)的相對運(yùn)動軌跡要清晰可辨;.常取兩物體的接觸點(diǎn)、滑塊、套筒、小環(huán)、小球等為動點(diǎn)。③對動點(diǎn)進(jìn)行速度分析并圖示,列出速度合成定理,常用幾何法求速度。動點(diǎn):A(AB上)動系:凸輪②.分析三種運(yùn)動:絕對運(yùn)動:直線運(yùn)動;相對運(yùn)動:曲線運(yùn)動;牽連運(yùn)動:平動vavevrvavevrφABCODM解:動點(diǎn)M,動系OD桿vevavrt=1s時(shí),φ=300例2:OD桿繞O轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)動方程為:小環(huán)M套在OD桿和固定桿AB上,設(shè)OC=54cm,求t=1s時(shí)小環(huán)M的絕對速度與相對速度。vrvave例3

:桿OA長l,在推桿BCD以勻速u的推動下繞O轉(zhuǎn)動,求當(dāng)OC=x時(shí),桿端A的速度,表為x的函數(shù)。buxDCBOA解:動點(diǎn)B,動系OA。vevavrθ例4

:OA桿繞O轉(zhuǎn)動,φ=πt/6(rad),小環(huán)M套在OA桿和半徑為r=6cm的固定大圓環(huán)上,求當(dāng)t=2秒時(shí),小環(huán)M的va、ve、vr

。MOAφ解:動點(diǎn)M,動系OA,牽連為轉(zhuǎn)動,vavrve例:凸輪半徑為R,沿水平面向右運(yùn)動,當(dāng)φ=600時(shí)凸輪的速度為u,加速度為a,求此時(shí)桿AB的加速度.ABuφRa解:解題思路與求速度同,求加速度時(shí)一般應(yīng)先求速度.在上例中,速度已經(jīng)求出,為動點(diǎn):A(AB上)動系:凸輪列出加速度合成公式:aa

ae

arn

arτ

??將上式向不要求的未知量的垂線方向投影若要求arτ則可將加速度矢量式向另一軸投影.注意!矢量等式投影時(shí),兩端各自投影,等號照搬。例:凸輪半徑為R,沿水平面向右運(yùn)動,當(dāng)φ=600時(shí)凸輪的速度為u,加速度為a,桿OA長l,此時(shí)與鉛直線的夾角為300,求此時(shí)桿OA的角加速度εOA.解.動點(diǎn):A(AO上)動系:凸輪ae

arτ

AuφRaO絕對運(yùn)動:圓弧運(yùn)動;相對運(yùn)動:圓弧運(yùn)動;牽連運(yùn)動:平動va

ve

vr

arn

aan

aaτ

將上式向不要求的未知量的垂線方向投影??練習(xí)題:圖示傾角為φ=30o的尖劈以勻速u=200mm/s沿水平面向右運(yùn)動,使桿OB繞定軸轉(zhuǎn)動,OBurθφvavrve解:速度分析如圖aaτaraan牽連為平動,加速度分析如圖練習(xí)題:半徑為R的固定半圓環(huán)和可以水平移動的豎直桿AB用小環(huán)M套在一起,位于同一平面內(nèi)。已知AB向右的速度為常數(shù)u,求圖示位置時(shí),小環(huán)M的絕對加速度的大小和方向。450ABMu解:速度分析如圖vavrve牽連為平動,加速度分析如圖aaτaraan練習(xí)題:桿OA長40cm,以勻角速ω=0.5rad/s繞O轉(zhuǎn)動,求當(dāng)θ=300時(shí),曲桿BC的速度和加速度。解:動點(diǎn)A(OA上),動系BC。ωθCBOAvavrve牽連為平動,aaarae練習(xí)題:十字型套筒K套在固定桿AB和鉛直桿CD上,曲柄OC=32cm并以φ=t/4的規(guī)律繞O轉(zhuǎn)動,求當(dāng)t=π秒時(shí)套筒K的加速度。OKDCBAφ解:動點(diǎn)套筒K,動系CD,牽連為平動。aeaaarCBAODφωve

例:彎成直角的曲桿OAB以常角速ω繞O轉(zhuǎn)動,設(shè)OA=r,求φ=300時(shí)CD桿的速度和加速度.解:動點(diǎn):C(CD上),動系:OAB絕對運(yùn)動:鉛直線運(yùn)動;相對運(yùn)動:斜直線運(yùn)動;牽連運(yùn)動:轉(zhuǎn)動va

vr

araaae

ak

??注意!不要掉了ak例:彎成直角的曲桿OBC繞O轉(zhuǎn)動,小環(huán)M同時(shí)套在曲桿和固定桿OA上,已知,OB=10cm,曲桿的角速度ω=0.5rad/s,求當(dāng)φ=600時(shí)小環(huán)M的速度和加速度。φABMOC解:動點(diǎn)小環(huán)M,動系曲桿,牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動。vavrvearaa動系轉(zhuǎn)動時(shí):ak將上式向圖示軸投影:ae??§2.平面圖形上各點(diǎn)的速度

平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于隨任選基點(diǎn)的平動速度與繞該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動速度的矢量和.1.基點(diǎn)法ABvB其中:其方向垂直于AB例:曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示,OA=r,以勻角速ω繞O轉(zhuǎn)動,AB=l,求當(dāng)φ=300時(shí)滑塊B的速度?;c(diǎn)法既可以求剛體上任一點(diǎn)的速度,也可以求剛體作平面運(yùn)動的角速度.φOAB其中ωAB為剛體平面運(yùn)動的角速度。解:解題思路將系統(tǒng)置于待求瞬時(shí)的位置,而不要放在一般位置;分析各構(gòu)件的運(yùn)動類型及整個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動的傳遞過程,從運(yùn)動為已知的構(gòu)件開始,分析關(guān)鍵連接點(diǎn)的速度、加速度,并標(biāo)注在圖上;重點(diǎn)研究作平面運(yùn)動的構(gòu)件,逐步從已知過渡到未知。θαφOABvA

vB

vBA

vA

這里,AB作平面運(yùn)動,A點(diǎn)的速度已知。例:四連桿機(jī)構(gòu)如圖,AB=BC=CD=l,AB的角速度為ω0

,求當(dāng)θ1=θ2=60o時(shí),CD桿的角速度ωD

。vBvCABCDω0θ1θ2ωOABDφRr解:vA

vB

CωBCC為輪B的瞬心,有:AB作平面運(yùn)動,用速度投影定理求VB:vD

請思考:當(dāng)φ=900時(shí)vD=?例:半徑為R的圓輪沿直線軌道作純滾動,已知某瞬時(shí)輪心的速度為v0,加速度為a0,求輪子上與軌道的接觸點(diǎn)C的加速度。v0a0C解:輪心O的加速度已知,則以O(shè)為基點(diǎn)求aCO大小方向???ω,ε輪心O點(diǎn)作直線運(yùn)動,有:∴∴xy將加速度矢量式投影:∴a0=RεaA=Rω2aBn

=Rω2aBτ=2Rε練習(xí)題:半徑為R的圓輪,在直線軌道上只滾不滑,設(shè)該瞬時(shí)ω、ε已知,求此時(shí)輪心O的加速度a0,與地面的接觸點(diǎn)A的加速度aA,輪緣上最高點(diǎn)B處的加速度aBn

,aBτ。OBAωε???C練習(xí)題:桿長AB=l,圖示位置時(shí),vA、aA已知,求此時(shí)的ωAB、εAB、vB、aB

。ABvAaA450解:AB的瞬心位于P點(diǎn),該瞬時(shí):PvBaBaBAτaBAn將上式向BA方向投影:將上式向BP方向投影:練習(xí)題:桿AB=l,OA=r,α=300

,圖示位置時(shí),OA⊥AB,此時(shí)的ω

=ω0、ε=0,求vB、aB

。300AOB解:AB的瞬心位于P點(diǎn),該瞬時(shí):PaBAτaAnaBaBAn將上式向BA方向投影:概念題:(1)平面運(yùn)動通??梢苑纸鉃開__動和____動,___動與基點(diǎn)的選擇無關(guān)?___動與基點(diǎn)的選擇有關(guān)?

(2).如圖已知作平面運(yùn)動的剛體上A點(diǎn)的速度vA,,則B點(diǎn)的速度可能為圖中的哪一種_________?vA??AB300450①②③④⑤①⑤平平轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)概念題:(1)平面圖形某瞬時(shí)的角速度ω,角加速度ε,速度瞬心為C,

則1).vA=vB+______2).aA=aB+_______3).vA=AC?______4).vB=_____________5).AB?ω2=_____6).AB?ε=______①⑤vAB

aABCB?ωω?300300600300BA?②③④①⑤(2)平面圖形上A點(diǎn)的速度為vA,則B點(diǎn)速度可能為圖中的哪一種?____?概念題:下列平面圖形中,那些速度分布是不可能的?用“√、×”表示AvA

vB

vA

∥vB

BABvB

vA

∥vB

vA≠vBABvA

vA

vA

AABBvB

vB

vA

vB

v0=RωvA=0概念題:

半徑為R的圓輪,在直線軌道上只滾不滑,設(shè)該瞬時(shí)ω已知,則輪心O的速度v0=———?與地面的接觸點(diǎn)A的速度vA=——?C點(diǎn)速度的大小及方向如何?OAωε???C概念題:

(1)判正誤:已知某瞬時(shí)平面圖形作瞬時(shí)平動,則下列表達(dá)式是否正確?0(2)圖示圓輪邊緣B點(diǎn)絞接桿AB,A端放在水平地面上,輪與地面只滾不滑,此瞬時(shí)A端速度為vA,B點(diǎn)位于輪上最高點(diǎn),則此時(shí)圓輪的角速度ω0=——?桿的角速度ωAB=——??ABOvA概念題:找出下列作平面運(yùn)動的剛體的瞬心位置。概念題:找出下列作平面運(yùn)動的剛體的瞬心位置。概念題:找出下列作平面運(yùn)動的剛體的瞬心位置。只滾不滑練習(xí)題:機(jī)構(gòu)在圖示瞬時(shí),求該瞬時(shí)滑塊C的絕對速度vc,滑塊B相對于O2D的相對速度vr,O1A的角速度ω1,AB的角速度ωAB。O1O2ABrlCDω2解:該瞬時(shí),AB瞬時(shí)平動。練習(xí)題:圖示機(jī)構(gòu),

OA=2a,在圖示位置時(shí),OB=BA,OA⊥AC, 求此時(shí)套筒D相對于BC桿的速度。600ABODC解:分別求出套筒D和桿BC的速度,之差即為相對速度。vAvDvevavr練習(xí)題:圖示機(jī)構(gòu)中,C作純滾動,曲柄O1A以勻角速ω繞軸O1轉(zhuǎn)動,且O1A=O2B=l,BC=2l,輪半徑R=l/4,求圖示位置時(shí)輪的角速度ωC

。此時(shí),∠O1O2B=900。CBAO2

O1

300300ω解:綜合題,先考慮合成運(yùn)動,動點(diǎn)A,動系O2BvevavrvBvC練習(xí)題:圖示機(jī)構(gòu),已知vA

=0.2m/s,AB=0.4m,求當(dāng)AC=BC、α=300時(shí)CD桿的速度。ABCDαvA解:屬綜合題,先研究平面運(yùn)動PP為BCA桿的瞬心所以AB上C點(diǎn)的速度如圖:vC∴

vC=vA由速度投影定理有:再以套筒上C為動點(diǎn),AB為動系,速度分布如圖:vrvave向圖示軸線投影:練習(xí)題:圖示機(jī)構(gòu),已知AC=l1,BC=l2,求當(dāng)AC⊥BC時(shí)C點(diǎn)的速度和兩桿的角速度,此時(shí)vA

、vB已知。BCAvBvA解:分別取兩個(gè)基點(diǎn)A、B研究C點(diǎn):yx將上式向x、y軸投影:vCAvCB即vB與vCB

、vA與vCA分別大小相等,方向相反?!鄓c=0

即C點(diǎn)同時(shí)為AC桿和BC桿的瞬心?!嗑毩?xí)題:曲柄OA以勻角速ω0繞O轉(zhuǎn)動,OA=r,AB=2r,磙子半徑r,只滾不滑,求OA水平時(shí)磙子的角速度和角加速度。OBAω0解:AB作平面運(yùn)動,vAvBA、B兩點(diǎn)速度投影:加速度分析:向虛線方向投影:練習(xí)題:曲柄OA以勻角速ω0繞O轉(zhuǎn)動,OA=r,AB=2r,磙子半徑r,只滾不滑,求OA鉛直時(shí)磙子的角速度和角加速度。OBAω0解:AB瞬時(shí)平動,vA加速度分析:向虛線方向投影:vB由于AB瞬時(shí)平動,所以有:練習(xí)題:半徑為r=30cm的圓輪在水平軌道上只滾不滑地運(yùn)動,輪緣上鉸接一長為AB=120cm的桿,當(dāng)OA在鉛直位置時(shí),輪心O的速度v0=20cm/s,加速度a0=10cm/s2,求此時(shí)點(diǎn)B的速度和加速度。OBA解:依題意有:aOvOvAvBAB瞬時(shí)平動,加速度分析:由于aτBA大小未知,故向其垂線(虛線)方向投影:由于AB瞬時(shí)平動,所以有:例1:礦井中的罐籠內(nèi)裝有質(zhì)量為m的物體,現(xiàn)以勻加速a提升罐籠,求物體m受到的約束反力。am解:動力學(xué)的解體思路與靜力學(xué)的類似,只是把列靜力平衡方程換為列運(yùn)動微分方程。①.取研究對象:物體m②.畫受力圖:mgN③.建坐標(biāo):0x④.列運(yùn)動微分方程:∴N=mg+ma其中:mg為靜反力,ma為動反力.屬于已知運(yùn)動求力之情形.⑤.解方程:例2:炮彈以初速v0發(fā)射,不計(jì)阻力,求炮彈在重力作用下的運(yùn)動.v0

α解:研究(任意位置時(shí)而不能是特殊位置時(shí)的)炮彈,作受力圖,mgyox=0=-mg屬第二類問題,力是常量.直接積分:=v0cosα=-gt+v0sinα即為炮彈的運(yùn)動方程消去時(shí)間即為軌跡方程進(jìn)而可以討論最高射程,最遠(yuǎn)距離等.例3:質(zhì)量為m的機(jī)車在水平面內(nèi)沿曲線軌道由靜止開始運(yùn)動,牽引力F=1.2t(kN),常值阻力R=2kN,求機(jī)車的運(yùn)動規(guī)律。O(+)S解:受力分析,牽引力F=1.2t(kN)

常值阻力R;重力和地面支反力均沿鉛直方向,不予畫出;軌道在水平面上沿曲率半徑有一支反力。FRNn從第一式出發(fā),t0不從0開始,在t=0時(shí),F=1.2t=0,t增F隨之增,直到F≤R=2kN之前,機(jī)車靜止,已用去時(shí)間t=2/1.2=5/3秒,此后機(jī)車開始運(yùn)動,才可用動力學(xué)方程.即為機(jī)車的運(yùn)動方程.(其他類型的例題見教材)例:

錘重Q=300N,從高度H=1.5m處自由落到鍛件上,鍛件發(fā)生變形,歷時(shí)τ=0.01s,求錘對鍛件的平均壓力.H解:研究錘,分析受力:QN

*

錘由高H處自由落下所需時(shí)間:y建投影軸,列動量定理:例:電機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上,定子重P,轉(zhuǎn)子重p,偏心距e,以勻角速ω繞O1轉(zhuǎn)動,求基礎(chǔ)的支座反力。O1Ppωe解:已知運(yùn)動求力研究電機(jī)整體所構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系,主動力已有,畫約束反力,RYRXM建坐標(biāo)軸,yoxωt質(zhì)心坐標(biāo)為:代入質(zhì)心運(yùn)動定理,即可.列動力學(xué)方程:基礎(chǔ)的支座反力為:靜反力動反力例:靜止的小船上,一人欲上岸,由船尾走向船頭,設(shè)人重P,另兩人和船共重Q,船長l,岸邊無外力且不計(jì)水的阻力,求船的位移。解:研究人、船組成的質(zhì)點(diǎn)系,分析受力:PQl所有外力均沿鉛直方向,水平方向合外力投影為零。由于系統(tǒng)原處于靜止,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動守恒定理,則系統(tǒng)的質(zhì)心在水平方向保持不動。dyoxs設(shè)

人前行l(wèi)時(shí)船后移距離為s則移動前則移動后若在運(yùn)動過程中,作用在質(zhì)點(diǎn)系上的合力對某固定軸的矩恒為0,則該質(zhì)點(diǎn)系對該軸的動量矩守恒。質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理的投影式為:m1m2OR解:研究系統(tǒng),分析受力:m1gm2gYOXOv1v2分析運(yùn)動:例:半徑為R的滑輪上繞一不可伸長的繩子,繩子兩端分別掛有質(zhì)量為m1和m2的兩重物,設(shè)m1>m2

,求m1運(yùn)動的加速度?;喖袄K子的質(zhì)量不計(jì)。例:均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m,半徑為R,求對質(zhì)心軸C的轉(zhuǎn)動慣量。CRdθrdr解:取單位厚度的圓輪研究,取一面積微元dm∵∴對輪緣上任一點(diǎn),有:解:取一微元dx∵∴對桿端,有:例:均質(zhì)桿質(zhì)量為m,長為l,求對質(zhì)心軸C的轉(zhuǎn)動慣量。CdxxOxz例:半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪繞質(zhì)心軸z以勻角速ω0轉(zhuǎn)動。今欲制動,閘瓦壓力Q、摩擦系數(shù)f,求制動所需時(shí)間。Qω0O解:研究輪子,分析受力:FmgYOXO列出動力學(xué)方程:問:制動過程中,輪子轉(zhuǎn)過了多少圈?例:如圖所示,兩均質(zhì)圓輪半徑分別為rA和rB

,重為PA和PB

,鼓輪B上作用主動力偶矩M,A輪與斜面間無相對滑動,求B輪從靜止開始轉(zhuǎn)過φ角時(shí)的角速度ωB及支座B處的反力。αBAMPAPB解:①、分析所給系統(tǒng)的構(gòu)成及各部分作何種運(yùn)動,一般應(yīng)拆開分別研究。②、先研究B,作受力圖:

YBXBT作定軸轉(zhuǎn)動,列動力學(xué)方程:(1)εB③.再研究A,作受力圖:

NTFεA作平面運(yùn)動,列動力學(xué)方程:(2)(3)xy再列補(bǔ)充方程——

一般為運(yùn)動學(xué)關(guān)系:(4)(5)以上5個(gè)未知量均可求解。從中解出εB為常量,則有:欲求支座反力,則需對輪B列質(zhì)心運(yùn)動定理:(6)(7)BMPBYBXBTxy

2、三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量同為m,同時(shí)自點(diǎn)A以相同的速度v0沿不同的方向拋出,問該三點(diǎn)落到水平面時(shí)的速度的大小和方向是否相同?答:JZε=Pr,兩系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量不同,所以角加速度不同。概念題.

1、兩質(zhì)量同為m的均質(zhì)輪,一作用一力P,一掛一重物重P,問兩輪的角加速度是否相同?是多少?PPPOO答:vx=v0cosα,vy=v0sinα-gt,由于v0方向不同,所以速度不同。練習(xí)題1:用兩根長度同為l的細(xì)繩將重為P的物塊掛起如圖,現(xiàn)突然剪斷BC,求剪斷前、后瞬時(shí)繩AB的拉力之比β。PABC600解:剪斷前:平衡剪斷后剪斷前、后瞬時(shí)繩AB的拉力之比:TAB練習(xí)題2:均質(zhì)桿AB長l,B端放在光滑的水平面上,桿在圖示位置沿鉛直面自由倒下,求A點(diǎn)的軌跡方程。α0

ABC解:受力如圖:mgN水平方向無外力,質(zhì)心在水平方向運(yùn)動守恒如圖建立坐標(biāo):使y軸過質(zhì)心Cyx(xA,yA)點(diǎn)A在坐標(biāo)軸上的位置為:消去α0即為點(diǎn)A的軌跡方程:練習(xí)題3:兩均質(zhì)桿AB=BD=l,質(zhì)量均為m,現(xiàn)突然撤去支座D,求該瞬時(shí)A端的反力。ABD解:研究BD,定軸轉(zhuǎn)動YBε再研究AB:靜平衡,BDCmgXB初瞬時(shí),ω=0,YAXAMA練習(xí)題4:均質(zhì)圓柱體半徑為r,重為Q,放在粗糙的水平面上,設(shè)質(zhì)心速度v0

,具有初角速度ω0

,且rω0<v0

,圓柱與地面間的摩擦系數(shù)為fk

,問(1)經(jīng)過多少時(shí)間,圓柱體才能只滾不滑地向前運(yùn)動?并求該瞬時(shí)圓柱體中心的速度,(2)到達(dá)只滾不滑狀態(tài)時(shí)圓柱體中心移動了多少距離?v0ω0C解:受力如圖:QNF用平面運(yùn)動微分方程:只滾不滑時(shí),代入后積分上式有:只滾不滑前,xyS=?同學(xué)們自己做.練習(xí)題:均質(zhì)桿AB長l,B端放在光滑的水平面上,A端掛與固定點(diǎn)D處,現(xiàn)突然剪斷細(xì)繩,桿沿鉛直面自由倒下,初瞬時(shí)α0=450,求該瞬時(shí)桿端B處的支反力。解:受力如圖:水平方向無外力,質(zhì)心在水平方向運(yùn)動守恒如圖建立坐標(biāo):使y軸過質(zhì)心Cyx用剛體平面運(yùn)動微分方程:在直角坐標(biāo)中:將上式對時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)即得:αABCDmgN初瞬時(shí),聯(lián)立解出N并將α=450

代入即可。練習(xí)題:板重P1,受水平力F作用,沿水平面運(yùn)動,板與平面間的動摩擦系數(shù)為f

’。在板上放一重為P2的實(shí)心圓柱,圓柱與板間無相對滑動,求板的加速度。FO解:拆開系統(tǒng),分別研究。設(shè)輪心的絕對加速度為aO

,運(yùn)動及受力如圖:再研究板:板的絕對加速度為a1

P2ON2F2ao

由平面運(yùn)動的微分方程有:N2N1F2F1a1FP1補(bǔ)充:εxy練習(xí)題:均質(zhì)圓柱體重P,半徑為r,放在傾角為600的斜面上,一細(xì)繩纏繞其上,圓柱體與斜面間的摩擦系數(shù)為f=1/3。求圓柱體沿斜面下落的加速度。600ACP2rB解:研究圓柱體,分析受力:TFN由剛體平面運(yùn)動的微分方程有:xyD此處,D為瞬心ac補(bǔ)充:ε例:兩均質(zhì)圓輪如圖所示,在重物C的作用下,輪A與水平面間只滾不滑,求重物C由靜止開始下降了距離h時(shí)A輪質(zhì)心的加速度aA。CABm1,r1m2,r2m3解:①研究整體,不要拆開;②只畫主動力,不畫約束反力;③根據(jù)各部分的運(yùn)動形式,寫出系統(tǒng)初始和末了的動能T1和T2;m1g

m3g

m2g

系統(tǒng)初始靜止,PωAωBv3將動能整理成同一個(gè)運(yùn)動參數(shù)的函數(shù),即建立各運(yùn)動參數(shù)間的關(guān)系:④計(jì)算系統(tǒng)在整個(gè)運(yùn)動過程中所有力所作的功;⑤代入動能定理:此式即可求出vA,要求加速度aA,直接將此式對時(shí)間

t求一階導(dǎo)數(shù)即可:而∴即為所求輪心A的加速度。討論:等效質(zhì)量等效力動能定理的最后表達(dá)式一般為:求一階導(dǎo)數(shù)后即為加速度,一般具有如下形式:練習(xí)題:均質(zhì)圓柱體重為P,其中心O絞接一重為Q的均質(zhì)直桿OA,放在傾角為α的斜面上,輪子只滾不滑,OA桿的A端與斜面間無摩擦,系統(tǒng)初始靜止,求輪心沿斜面下滑距離S時(shí)O點(diǎn)的速度與加速度。αOAS解:P由于輪心O作直線運(yùn)動,將上式兩端對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得到:練習(xí)題:均質(zhì)圓柱體重為P,放在傾角為α的斜面上,只滾不滑,輪心O處系一繩子,跨過重為W的均質(zhì)滑輪與重物Q相連,兩輪半徑相等,系統(tǒng)初始靜止,求輪心O沿斜面下滑距離S時(shí)O點(diǎn)的速度與加速度。解:PαOASQ前式兩端對時(shí)間求到,即得加速度:練習(xí)題:長同為l的兩根均質(zhì)桿用鉸鏈B相連,C端沿光滑鉛直墻壁下滑,當(dāng)AB由水平位置到達(dá)鉛直位置時(shí),BC到達(dá)水平位置,求該瞬時(shí)C點(diǎn)的速度,系統(tǒng)初始靜止。B`CBAC`解:系統(tǒng)到達(dá)終了位置時(shí),B`、C`兩點(diǎn)的速度分別為:vB`vC`其速度瞬心為B`點(diǎn),即該瞬時(shí)則AB桿瞬時(shí)靜止,而練習(xí)題:均質(zhì)桿AB長l,B端放在光滑的水平面上,A端掛與固定點(diǎn)D處,現(xiàn)突然剪斷細(xì)繩,桿自由倒下,初瞬時(shí)α0=450,求A端落地瞬時(shí)桿上A、B兩點(diǎn)的速度。αABCD解:用動能定理ABCvCvAA點(diǎn)著地瞬時(shí),其速度瞬心為B點(diǎn),則例:質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓柱體從θ=0的位置由靜止釋放,沿半徑為R的大圓面只滾不滑,求圓柱體脫離大圓面時(shí)θ=?ROCθ解:脫離時(shí),支反力為零,找出N=f(θ),令N=0,求力先求加速度先用動能定理:P分析輪受力:mgNF由質(zhì)心運(yùn)動定理有:脫離時(shí):練習(xí)題:長為l、重為Q的均質(zhì)桿AB的A端與一半徑為R、重為P

的均質(zhì)圓輪的輪心絞接在一起,輪與地面間只滾不滑,墻與桿間無摩擦,系統(tǒng)初始靜止,θ0=450,而后自由下落,求輪心A在初瞬時(shí)的加速度。BAθ解:CvAvBvCPD上式兩端對時(shí)間求導(dǎo):下滑的初瞬時(shí),代如上式,則有:練習(xí)題:半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤在半徑為R=2r的固定大圓內(nèi)只滾不滑,求圓盤從位置A無初速滾落到最低位置B處時(shí)C點(diǎn)的支承力及摩擦力。ABCmg解:受力如圖NF為求ε,對瞬心C應(yīng)用動量矩定理:為求F,對質(zhì)心B應(yīng)用動量矩定理:練習(xí)題:長為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿從水平位置無初速落下到圖示位置φ時(shí),求桿的角速度和角加速度。φOACmg解:練習(xí)題:在上題中,求O點(diǎn)的支反力。φOACmgXOYO解:受力如圖練習(xí)題:均質(zhì)桿OA長l、重P,桿端A與半徑為R、重為Q的均質(zhì)圓輪的輪心絞接,不計(jì)摩擦,初始OA水平,系統(tǒng)靜止,求桿自由下落到與水平成α角時(shí)桿的角速度及角加速度。OAαA`解:下面尋求ωO

與ωA及

vA

的關(guān)系,分析A輪受力:AεAQXAYA練習(xí)題:均質(zhì)桿AB長l,A端鉸接,桿自水平位置無初速下落,當(dāng)桿通過鉛直位置時(shí),突然撤去鉸鏈成為自由體,求:

1)此后質(zhì)心的軌跡;

2)當(dāng)桿的質(zhì)心下落距離h后,桿共轉(zhuǎn)了多少圈?ABh解:1)撤去支座后,質(zhì)心為拋射體運(yùn)動,桿作平面運(yùn)動,故應(yīng)先求出脫離時(shí)的速度和角速度。此時(shí),ε=0,∴ω=常量此時(shí),aτ=0,∴vc=常量脫離后由質(zhì)心運(yùn)動定理:∴∴消去時(shí)間t即得質(zhì)心軌跡為一拋物線。當(dāng)質(zhì)心下降h后,即yc

=h,求出此時(shí)的t,代入φc,即可求出桿轉(zhuǎn)過的弧度φh為當(dāng)質(zhì)心下降h后桿轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為:練習(xí)題:兩相同的均質(zhì)滑輪,半徑為R、重為P,用繩纏繞如圖,系統(tǒng)由靜止開始下落,求:1)質(zhì)心B的速度與下落距離h的關(guān)系;2)質(zhì)心B的加速度;3)若在A輪上作用一逆時(shí)針的力偶矩M,問在什麼條件下圓輪B的質(zhì)心將上升?BA解:1)CDωAωBh下來確定ωA

與ωB

的關(guān)系,為此,分別研究A、B輪,受力分別如圖:TPTPXAYA對A輪應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動微分方程:對B輪應(yīng)用相對與質(zhì)心的動量矩定理:由于系統(tǒng)初始靜止,將上式積分后有:2)上式兩端對時(shí)間求導(dǎo)后有:

3)欲使B上升,則需aB

>0BεBTPAεATPXAYAMAaB練習(xí)題:圖示三棱柱ABC重P,放在光滑的水平面上,重為Q的均質(zhì)圓柱體O沿斜面AB滾而不滑,求三棱柱的加速度。αOCBA解:設(shè)三棱柱的絕對速度為v1

,圓相對于三棱柱的相對速度為vr,圓的絕對速度為vO

v1vrv1vO下面尋求v1

與vr

的關(guān)系,系統(tǒng)動量在水平方向守恒:yx代入動能定理中:式中s為圓柱體沿斜面的位移,練習(xí)題:均質(zhì)桿長l、重Q,不計(jì)摩擦,求到達(dá)任意位置β時(shí)的角速度ω、角加速度ε及A、B兩處的反力。CBAβ解:PvCωCP點(diǎn)為桿AB的瞬心上式兩端對時(shí)間求導(dǎo)后有:CBAβPvCωC分析受力如圖:NANB桿質(zhì)心C的軌跡為一半徑為l/2的圓弧,其圓心位于O點(diǎn)。O加速度分析:aanaaτ由質(zhì)心運(yùn)動定理有:其中:Qβ將前面求出的有關(guān)量代入,聯(lián)立解出:練習(xí)題:質(zhì)量為m的兩小環(huán)套在光滑的大環(huán)上,初始兩小環(huán)靜止于大環(huán)頂部,無初速釋放,此時(shí)出現(xiàn)一有趣的現(xiàn)象:大環(huán)將上升。大環(huán)半徑R,質(zhì)量不計(jì)。求大環(huán)開始上升時(shí)的θ=?oθθ解:受力如圖,先用動能定理mgTmg由質(zhì)心運(yùn)動定理:y即:當(dāng)T=0時(shí)有:即大環(huán)上升時(shí)練習(xí)題:圖示均質(zhì)桿AB長l,質(zhì)量為m1,桿的B端固連質(zhì)量為m2的小球,其大小不計(jì)。桿上點(diǎn)D連一彈簧,剛度系數(shù)為k,使桿在水平位置保持平衡。設(shè)初始靜止,求給小球B一個(gè)鉛直向下的微小初位移δ0后桿AB的運(yùn)動規(guī)律和周期。解:靜平衡時(shí),受力如圖:m2gm1gkx0給小球B一個(gè)鉛直向下的微小初位移δ0后,桿有一微轉(zhuǎn)角φ,δ0φ靜平衡時(shí),又,為諧振動方程。為一標(biāo)準(zhǔn)的常系數(shù)二階齊次線性微分方程。其解為:其中:為振幅,與初始條件有關(guān)為系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)振動的周期即為系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律,也即振動方程練習(xí)題:平面機(jī)構(gòu)由兩均質(zhì)桿AB和BO組成,兩桿長均為l,質(zhì)量均為m,位于鉛直平面內(nèi)。在AB桿上作用一常值力偶矩M,設(shè)系統(tǒng)初始靜止,求系統(tǒng)由圖時(shí)位置運(yùn)動到A端碰到O點(diǎn)瞬時(shí)A點(diǎn)的速度。解:θθMOBAPOBAP分析AB桿的速度瞬心:NB練習(xí)題:質(zhì)量為m長為的均質(zhì)桿放在光滑的固定半圓環(huán)內(nèi),無初速釋放,大環(huán)半徑R,求初瞬時(shí)A、B兩點(diǎn)的支反力及A點(diǎn)的加速度。mgCBAovBvA解:桿受力及速度分布如圖,AB的瞬心為O,且OC為常量,用平面運(yùn)動微分方程(剛體實(shí)際上繞O作定軸轉(zhuǎn)動):NA有:初瞬時(shí):xy例:動畫圖見下頁。求繩子的拉力T和傾角α。aαmαmmgTma解:動靜法的解題方法與靜力學(xué)同.1).取研究對象---力系的匯交點(diǎn)m3).建立坐標(biāo)系4).列出對應(yīng)的靜力學(xué)平衡方程5).解方程2)作受力圖主動力;約束反力;施加慣性力xy慣性力直接與加速度方向畫反向,方程中不再代“-”號。αBAMP

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