高三-高考真題理科數(shù)學5

2016年高考真題理科數(shù)學（全國III卷）

理科數(shù)學

考試時間：一分鐘

題型單選題填空題簡答題總分

得分

單選題（本大題共12小題，每小題一分，共一分.）

1.設集合5={工|。-2)(工-3)20},7={工|1>0},則SI方

A..[2,3]

B.(-a),2]U[3,+oo)

C.[3,+8)

D.(0,2]U[3,+oo)

2.若z=1+2/,則—=—=

ZZ—1

A.1

B.-1

C.i

D."i

4.某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣

溫的雷達圖。圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15GB點表示四月的平均最低氣溫

約為5℃。下面敘述不正確的是

一月

---平均?低，■——平均?育氣?

A..各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均氣溫高于20℃的月份有5個

3

5.若tana=—，則cos2a+2sin2a=

C.1

16

D.一

25

421

6.已知q=2”6=Qc=25>則

A.b<a<c

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b

7,執(zhí)行下圖的程序框圖，如果輸入的a=4,b=6,那么輸出的〃=

/?立凈/

二.

pi=0：g=0]

■

,.1。=3一0|

.

h6-a]

[。=b+a]

?

|g=g+℃=/i+l|

Gw

A.3

B.4

C.5

D.6

8.在八收;中，B=±,/%邊上的高等于58C,則COSZ=

43

A.通

10

3M

~io

9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體

的表面積為

r

n~~

A.18+366

B.54+18在

C.90

D.81

10.在封閉的直三棱柱4BC-44G內(nèi)有一個體積為『的球，若/BLBC,AB=6,

AC=8,44=3,則，的最大值是

A.4n

C.6n

32萬

D.——

3

11.已知。為坐標原點，b是橢|川G5+與>=1（4>6>0）的左焦點，兒6分別為。的

ab2

左，右頂點.夕為C上一點，且/少_Lx軸.過點/的直線/與線段。尸交于點M,與y軸交

于點E*若直線囪/經(jīng)過應1的中點，則C的離心率為

1

A.-

3

3

4

12.定義“規(guī)范01數(shù)列”｛a，｝如下：｛a，｝共有2卬項，其中卬項為0,貶項為1,且對任意

k<2m,6，弓,…，/中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若妹4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共

有

A.18個

B.16個

C.14個

D.12個

填空題(本大題共4小題，每小題一分，共一分。)

jr-y+l>0

13.若x,y滿足約束條件,x-2yW0則z=x+y的最大值為.

x+2y-2<0

14.函數(shù)y=sinx—x/3cosx的圖像可由函數(shù)y=sinx+y/3cosx的圖像至少向右平移

個

單位長度得到.

15.已知/(x)為偶函數(shù)，當x<0時，/(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=『(x)在點

(1,-3)處的切線方程是。

16.已知直線/：皿+?+3加一6=0與圓1+y=12交于45兩點，過48分別做/

的垂線與x軸交于C,O兩點，若AB=26,則|8|=.

簡答題(綜合題)(本大題共6小題，每小題一分，共一分。)

17.已知數(shù)列｛4｝的前n項和Sn=1+癡”其中4W0.

(1)證明｛4｝是等比數(shù)列，并求其通項公式；

31

⑵若邑=乙，求4.

532

18.下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖

年份代碼，

注：年份代用7分時對A年份2008-2014.

(I)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；

(II)建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預測2016年我國生活垃圾無害化

處理量。

77

參考數(shù)據(jù)：X尤=9.32,^Z.y.=40.17

r=lf=l

f-7

-9)2=0.55，~2646

之七-7Xx-J)

一i=l

參考公式：相關系數(shù)r=]=，

\之&-廳之(y「彳

Vr=li=l

回歸方程y=a-\-bt中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

n

…刃…

1=1

b=—---------------,a=y—bt.

i=l

19.如圖，四棱錐尸一4BC中，P4_L地面ADDBC,AB=AD=AC=3,

PA=BC=4,A/為線段40上一點，AM=1MD,N為PC的中點.

(I)證明MN<7平面八緲；

(II)求直線/N與平面上MN所成角的正弦值.

20.已知拋物線C：V=2x的焦點為尸，平行于X軸的兩條直線4分別交。于

A,5兩點，交C的準線于尸，0兩點.

(I)若尸在線段，5上，R是的中點，證明⑷?0；

(II)若AP0尸的面積是A/1M的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.

設函數(shù)/(x)=acos2x+(a-l)(cosx+l),其中u>0，記|的最大值為4.

21.求/'(x)；

22.求A；

23.證明|fr(x)|<22

請考生在選做題中任選一題作答。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號后的方框涂

黑。如果多做，則按所做的第一題計分。

24.選修4-1：幾何證明選講

如圖，。。中切的中點為P，弦尸C,尸￡)分別交48于"兩點.

(I)若"FB=2"CD,求NPC。的大??；

(II)若EC的垂直平分線與尸。的垂直平分線交于點G，證明OG_LCD.

25.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系工。中，曲線G的參數(shù)方程為卜="005］。為參數(shù))，以坐標原點為極點，

y二sin。

以工軸的正半軸為極軸，，建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕sin(0+》=20.

4

(D寫出G的普通方程和q的直角坐標方程；

(口)設點〃在G上，點。在G上，求1掰1的最小值及此時？的直角坐標.

26.選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=|2x-a|+a

(I)當42時，求不等式46的解集；

(II)設函數(shù)g(x)=|2x-lL當xwR時，/(x)+g(x)>3,求a的取值范圍.

答案

芻

選

?題

I一

D2c工ADAAB&BB11A

XA

2c4.5.6.7.9.O.

工

3

-

2

4.

27-C

3

15.

4

簡答題

17.

(I)，=-AT(TA-)"；(ID^=-1.

1-22-1

18.

(I)因為/與工的相關系數(shù)近似為0.99,說明y與上的線性相關相當高，從而可以用線

性回歸模型擬合尸與工的關系.；(H)1.82億噸.

19.

(I)

由已知得/M=fdD=2,取法的中點T，連接aJW,由N為PC中點知

3

TNUBC,7N=-BC=2

2

又ADHBC,故ZN學?科.網(wǎng)平行且等于ZW，四邊形"VT為平行四邊形，于是

MH11AT.

oR

因為4Tu平面七?，MVa平面R￡B，所以MN〃平面￡?；(ID吆.

25

20.

(I)

由于"在線段/刃上，故l+o&=0.

記/籃的斜率為《，&的斜率為與,則

.a-ba-b1―ab,

“1+a2a2-oftaa叼

所以HR/FQ

；(II)y2=x—1.

21.

(I)/(x)=-2asin2x-(a-l)sinx;

22.

2-3a,0<a<|

a2+6a+l1,

IIA------------,-<a<l；

8a5

3a-2,a>\

23.

(in)由(1)W|/W|=|-2asin2x-(a-l)sinxt<2a+|a-l|

當0<a《M時，—癡<2(2—%)=2/1

當」va<l時，A=-^—+->l,所以|/(耳］41+a<Z4.

58M41八i

當421時，|/86341-：1460-4=2〃，所以|/(切《2d

24.

G,DlKjfE；(H)因為"CD,所以NPCD+4W)=180■，由此知G

C,刃幽松圓，其圓心既在的@且“般上，又在的垂直毛磔1匕。枚

就是過四點的圓的圓心，所以在的垂直平分線上，因此

25.

X?31

(I)G的普通方程為全+爐=1，G的直角坐標方程為x+y-4=0；(II)

26.

(I){x|-l<x^3}；(II)[2,-Ko).

解析

單選題

略1.

Ai_4/_.

zz-i-a+2；xi-2o-i-1故選C.

2.

X+X

由題意，得zBABC2TT2百，所以乙四C=30°,故

\BA^BC\1x12

選A.

略3.

由tana=—,得sina=-,COSQ=—或sina=—-,cosa=——,所以

45555

2-?c161264

cosa+2sm2a=—+4x—=—,故選A.

252525

4.

422122

因為4=2*=4*>4,=>'C=255=55>4s=tf*所以力<a<c，故選A-

略5.

設BC邊上的高線為40,則5。=3/￡>，所以再方/=、％。，

AR=6AD由余弦定理，知

,AB2+AC2-BC22AD2+5AD2-9AD2而…八

COS?!=--------------------------------------=---------------7=------7=-----=------，故選C.

2ABACIx^ADxy/SAD10

6.

該三視圖是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱

7.

要使球的體積V最大，必須球的半徑R最大.由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相

切時，球的半徑取得最大值？，此時球的體積為。江肥二士"二丫二?萬，故選B.

23322

略8.

由題意，得必有a=0,4=1,則具體的排法列表如下：

0小1—14

0小1-a

07

0-13

wOQ

0。0/1/1-

0。0*w

17

1/OQ

0。

0~a

0。

1-0"

071/13

0。OP1-

1。

IP0。Id0-

0*1~

0。

IP07

填空題

9.

10.

因為y=sinx+Ccosx=2sin(x+m),y=sinr-cosx=2sin(x-=

2sin[(x+-,所以函數(shù)y=sinx—\/3cosx的圖像可由函數(shù)y=sinx+\f3cosx

的圖像至少向右平移—個單位長度得到.

3

11.

根據(jù)函數(shù)求出切線斜率，即可求出切線方程

12.

因為|48|=2小，且圓的半徑為26，所以圓心(0,0)到直線/nx+y+3m-J5=O的距

)2=3,則由|37二包=3,解得m=一叵，代入直線/的方程，得

離為I皿

2\lm24-13

人=走》+2行，所以直線/的傾斜角為30°,由平面幾何知識知在梯形4BDC中,

簡答題

13.

(I)由題意得.=A=l+Zjj,故2/1,q=------,//0.

1-JI

由50=1+權(quán)，S7=1+^H1得?一也，即a?i（Z-I）=迎.由.wO,

』Z

ZwO得4#0,所以---=7~；

因此12是首項為匚2,公比為0的等比數(shù)列’于是.二匚公有尸

2QI2-ii21

（II）由（I）得噸=1一（/一「由S=二得1一（^）5=巴，即（/_）5=」_

■1-1532A-132Z-132

解得4=-1.

14.

（I）由折線圖這數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得

7

t=4,=28,—歷2=035,

i-a

77

工G-4一W=JZ5Tz>=4017-4X9_32=289,

2.89

rW0J5x2x2.646aO3

因為〉與工的相關系數(shù)近似為0.99,說明/與工的線性相關相當高，從而可以用線性回歸

模型擬合丁與f的關系.

7

“2￡&_而_8）

（II）由亍=學21_331及（I）得石="2.89

7?0.103，

2色十28

a=jF-ftz??lJ31—0.103x4?0.92

所以，丁關于f的回歸方程為：9=092+0.10/.

將2016年對應的工=9代入回歸方程得：^=0.92+0.10x9=1X1.

所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.

15.

(I)由已知得=取笈尸的中點T，連接由N為尸C中點

TNHBCTN=-BC=2

知，2

又皿BC,故m學.科.網(wǎng)平行且等于d”，四邊形“vr為平行四邊形，于是

MSIIAT.

因為4Tu平面R4力，MVcc平面上48,所以〃平面

(H)取3c的中點巨，連結(jié)“，由ZA=ZC得ZFJLBC,從而么￡_LdZ),且

AE7萬BW=向2尸=后.

以工為坐標原點，Z后的方向為不軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Z-邛Z由

題意知，

鄴,0,4),"(020),C(620)，N(出工2)，

2

府=(02f,麗=辱《一物后=淖功

----zx—qz=u

nPM=0

______,即工后，可取

{nPN=0—x+y-2z=0

n=(0^J)，

由題設產(chǎn)設4勺：/=■6,則奴工0,且

c、~1、xw1?、n,1。+3、

4不⑼力（彳,W/-不㈤一彳力）,*（一不，

記過48兩點的直線為，，則，的方程為2x-Q+與F+而=0.3分

（I）由于尸在線段〃上，故1+而=0.

記HR的斜率為與，圓。的斜率為品，則

a—ha-b1—ab_

=-----z*=—=-----=—=------=-6=jfcj.

1+aa-abaa

所以4//FQ5分

（n）設，與x軸的交點為刀（天,0），

則$3^=#-呻犯=

由題設可得，所以3=0（舍去），q=i

設滿足條件的AB的中點為

當血與＜軸不垂直時，由1ff可得一2—=上;（xw。.

a+bx-1

而史士=/，所以/=x-l（jrfD.

2

當工方與不軸垂直時，A與曾重合.所以，所求軌跡方程為爐=工-1????12分

17.

（I）/（x）=—2asin2x-（a—l）sinx.

18.

(II)當。之1時，

|(x)|=|asin2x+(a—l)(cosx+1)|<a+2(a—l)=3a—2=f(O)

因此，A=3a-2.4分

當。<a<l時，將/(x)變形為y(x)=2acos2x-F(a—l)cosx—1.

令g(1)=2a『+(a-)一1,則4是|g(/)|在［-L1］上的最大值，g(-D=a，

g(l)=3a-2,且當，=匕0時，g。)取得極小值，極小值為

4a

“1-4、(A-1)2.a2+6a+l

g(17)=-k-1=------------------

8a

令-1<-----<1,解得。<一』(舍去)，a>—.

4a35

(i)當0<aW/時，g(。在(一LD內(nèi)無極值點，|g(-D|=a，|g(D|=2-3a,

|g(-D忖El,所以Z=2-3a.

(ii)當!<a<l時，由式一口一式9=2(1—a)a。，知虱-D>g(D>g(L^)?

54a

又I€G；一)ITg(—DI=^―5——->o所以(丁)=--——

4a&x4a&z

2-3a,0<a<i

綜上，----------—<a<l..........9分

&z95

3a-2,a>l

19.

(Ill)由(I)W|f(JOH-2asin2x-(a-T)smxf<2a^|tf-l|

當0<a4/時，|/(?El+a