2022-2023學年江蘇省常州市聯(lián)盟學校高一年級下冊學期3月學情調研數學試題【含答案】

2022-2023學年江蘇省常州市聯(lián)盟學校高一下學期3月學情調研數學試題一、單選題1．已知向量，且，則x＝（

）A．9 B．6C．5 D．3【答案】B【分析】由，利用公式求解.【詳解】解：因為向量，且，所以，解得x＝6.故選：B2．的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由誘導公式和逆用正弦和角公式求出答案.【詳解】由誘導公式得到：，故.故選：A3．已知向量，在正方形網格中的位置如圖所示，那么向量與的夾角為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據向量的減法法則畫出，得到一個等腰直角三角形，求其結果即可.【詳解】如圖，，，則，設最小的小正方形網格長度為1，則，，所以，所以三角形是等腰直角三角形，，向量與的夾角為的補角.故選：D.4．密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數碼表示角的大小，在百位數與十位數之間畫一條短線，如7密位寫成“0－07”，478密位寫成“4－78”．如果一個半徑為4的扇形，其圓心角用密位制表示為6－25，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意中給的定義可知該扇形的圓心角為，結合扇形的面積公式計算即可.【詳解】依題意，該扇形的圓心角為，故所求扇形的面積為．故選：C.5．已知A（，0），B（0，2），O為坐標原點，點C在∠AOB內，，且∠AOC=，設（），則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由∠AOC=，從而設，則，利用向量相等的坐標表示可得．【詳解】根據已知條件得：.設，則，∵，∴，∴∴.故選：D.6．在平面直角坐標系中，為第四象限角，角的終邊與單位圓O交于點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數定義和同角的基本關系及兩角差的正弦公式即可求出答案.【詳解】因為為第四象限角，所以，，由，可得在第三象限，所以，

故選：C.7．已知A是函數的最大值，若存在實數、使得對任意實數總有成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導公式及輔助角公式將函數化簡，即可求出函數的最小正周期與，則的最小值為，即可得解.【詳解】因為，所以，函數的最小正周期，因為存在實數、使得對任意實數總有成立，所以的最小值為，故的最小值為．故選：B．8．在中，內角所對的邊分別為，且，則下列結論正確的是（

）A．； B．若a＝7，b＝8，則只有一解；C．，則a的最大值為1； D．，則為直角三角形.【答案】D【分析】由三角函數恒等變換化簡題中式子得，求得，可判斷A；由可判斷B；由三角形兩邊之和大于第三邊可判斷C；由代入中得：，求得，進而可得，由勾股定理可判斷D.【詳解】，而,故A錯誤；若a＝7，b＝8，，則，所以有兩解，故B錯誤；由三角形兩邊之和大于第三邊，可知，故C錯誤；由得將其代入中得：,進而得,，,故,進而可得:,所以滿足,故為直角三角形,故D正確.故選：D.二、多選題9．下列結論正確的是（

）A．與的終邊相同；B．若為鈍角三角形，則；C．函數是偶函數；D．函數的圖像關于直線對稱.【答案】AC【分析】根據終邊相同的角的關系判斷選項A；利用余弦定理判斷鈍角三角形識別選項B；根據誘導公式化簡得到的結果判斷選項C；把所給對稱軸代入驗證是否為對稱軸判斷選項D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，為鈍角三角形，若為鈍角，則，則，故B錯誤；對于C，是偶函數，故C正確；對于D，當時，，，不關于直線對稱，故D錯誤.故選：AC.10．下列結論正確的是（

）A．若角的終邊上有一點，則；B．；C．若，則與的夾角θ的范圍是；D．已知，則向量在方向上的投影向量的長度為4.【答案】BCD【分析】用三角函數的定義判斷選項A；逆用兩角和的正切公式判斷選項B；用向量的數量積公式判斷選項C；根據向量在方向上的投影公式判斷選項D.【詳解】對于A，角的終邊上有一點，則，當時，，故A錯誤；對于B，由得，故B正確；對于C，由得，則與的夾角θ的范圍是，故C正確；對于D，向量在方向上的投影向量的長度為，故D正確.故選：BCD.11．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，下列關系式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由得，結合正弦定理可判斷A；由二倍角公式得計算可判斷B；由余弦定理化角為邊可判斷C；由兩角和的正切公式化簡可判斷D.【詳解】，則，結合正弦定理得，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選：ABC.12．已知函數，說法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調遞增；B．的對稱軸是；C．若，則；D．方程在的解為，且.【答案】AD【分析】先根據的取值范圍去掉絕對值得出分段函數，的周期，結合函數的圖象逐一判斷各選項.【詳解】當時，；當時，.函數的周期.如下圖，對于A，在區(qū)間上單調遞增，故A正確；對于B，不是的對稱軸，故B錯誤；對于C，令，；令，.滿足，，不滿足，故C錯誤；對于D，方程在的解為.如下圖，關于直線對稱，則；關于直線對稱，則，所以，故D正確.故選：AD.三、填空題13．寫出一個同時滿足下列三個性質的函數：___________.①為偶函數；

②為奇函數；

③在上的最大值為2.【答案】（答案不唯一）【分析】由為偶函數，可考慮余弦型函數，故可設，然后通過余弦函數的性質求得即可.【詳解】從三角函數入手，由于為偶函數，可考慮余弦型函數，故可設，由為奇函數，且是向左平移個單位長度得到，所以是的對稱中心，則，即，不妨令，則，由在上的最大值為2，可得，所以.故答案為：（答案不唯一）.14．已知、是互相垂直的兩個單位向量，若向量與向量的夾角是鈍角，則實數t的取值范圍是______．【答案】【分析】利用向量與向量的夾角是鈍角得到它們的數量積小于0，并且注意當向量的夾角為時數量積也小于0要排除．【詳解】解：向量與向量的夾角是鈍角，，且由，且，得令，則，于是故，，且，即實數t的取值范圍是.故答案為：.15．計算：______．【答案】【分析】利用同角三角函數關系式、誘導公式、三角函數恒等式、二倍角公式直接求解．【詳解】．故答案為：.四、雙空題16．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形ABCDEFGH中，若，則的值為________；若正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動點，則的最小值為______.【答案】

【分析】以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標系，由，列出方程組，求得，從而得到；設，則，由即可求得的最小值.【詳解】，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標系，正八邊形內角和為，則，所以，,,因為，則，所以，解得，所以；設，則，，則，所以，當點在線段上時，取最小值.故答案為：，.五、解答題17．已知，且α是第________象限角．從①一，②二，③三，④四，這四個選項中選擇一個你認為恰當的選項填在上面的橫線上，并根據你的選擇，解答以下問題：(1)求的值；(2)化簡求值：.注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據，確定α是第二或第四象限角，故選②或④．根據二倍角公式及正、余弦齊次式的求值方法求解；（2）利用誘導公式化簡求值即可.【詳解】（1）因為，所以α是第二或第四象限角，故選②或④.選②或④，分別解答（1）（2）兩個問題時，所得結果相同.，（2）原式＝.18．已知，(1)若，求；(2)若向量在向量上的投影向量為，求與的夾角θ；(3)在（2）的條件下，若，求m的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）若，則與的夾角為0或，然后根據數量積的定義求解即可；（2）由題意可得，進而求得；（3）由題意可得，結合數量積的運算可得關于的方程，求解即可.【詳解】（1）∵，∴與的夾角為0或.當與的夾角為0時，；與的夾角為時，.∴.（2）由題意知，，∴，由于，∴.（3）∵，∴∴即：∴，∴.19．（1）已知α，β均為銳角，，求α－β的值；（2）已知函數，若，求．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知條件求得，結合角的范圍得出結果；（2）利用三角恒等變換化簡，由題意可求得，結合角的范圍求得，然后由求得結果．【詳解】（1）因為α，β為銳角且，，所以＝，＝，所以，由0＜α＜，0＜β＜，得＜α－β＜，所以α＋β＝－．（2），∴．20．如圖,已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若AC邊上的中線，且，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據余弦定理及向量數量積的定義列出方程即可求解；（2）由，在與中結合余弦定理求解即可.【詳解】（1）∵，由余弦定理可得，∴，∴，由，∴.（2）如圖，由（1）得，，①由余弦定理知，即，②

在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因為，所以③

由①②③，得，所以，

所以的周長．21．已知梯形中，，，，E為的中點，連接AE.(1)若，求證：B，F(xiàn)，D三點共線；(2)求與所成角的余弦值；(3)若P為以B為圓心、BA為半徑的圓?。ò珹，C）上的任意一點，當點在圓?。ò珹，C）上運動時，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由題意可得，，從而，即可證得結論；（2）結合數量積的運算求得，，進而得，然后向量夾角公式求解即可；（3）設，結合數量積的運算和三角變換求得，由三角函數的性質求得最小值.【詳解】（1）如圖1，∵∴，∴B，F(xiàn)，D三點共線.（2）如圖1，∵∴∵∴∴.（3）如圖2，∵，∴設，則，∵，，∴當，即時，取最小值.22．已知向量，．設函數，．(1)求函數的解析式及其單調增區(qū)間；(2)設，若方程在上有兩個不同的解，求實數的取值范圍，并求的值.(3)若將的圖像上的所有點向左平移個單位，再把所得圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖像．當（其中）時，記函數的最大值與最小值分別為與，設，求函數的解析式.【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）根據向量的數量積公式化簡得出，再求其單調增區(qū)間即可；（2）當時，方程有兩個不同的解x1，x2.，結合函數圖象得出實數的取值范圍（3）根據圖象變化得出函數，在給定區(qū)間上求出函數的最大值與最小值，得到函數即可.【詳解】（1）由題意可知，.由，可得，∴函數的單調增區(qū)間為；（2）∵，∵，，得，，∴在區(qū)間()上單調遞增，同理可求得在區(qū)間()上單調遞減，且的圖象關于直線，對稱，方程即，

∴當時，方程有兩個不同的解x1，x2.，由單調性知，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，且，，，∴當時，方程有兩個不同的解x1，x2.，∴，實數的取值范圍是.又∵的圖象關于直線