2023江蘇高考數(shù)學(xué)含答案

2023年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題〔江蘇卷〕一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共計70分。請把答案填寫在答題卡相印位置上。1．函數(shù)的最小正周期為．【答案】π【解析】T＝|eq\f(2π,ω)|＝|eq\f(2π,2)|＝π．2．設(shè)〔為虛數(shù)單位〕，那么復(fù)數(shù)的模為．【答案】5【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝32+43．雙曲線的兩條漸近線的方程為．【答案】【解析】令：，得．4．集合共有個子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右圖是一個算法的流程圖，那么輸出的的值是．【答案】3【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．6．抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位設(shè)計運發(fā)動的5此訓(xùn)練成績〔單位：環(huán)〕，結(jié)果如下：運發(fā)動第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892那么成績較為穩(wěn)定〔方差較小〕的那位運發(fā)動成績的方差為．【答案】2【解析】易得乙較為穩(wěn)定，乙的平均值為：．方差為：．7．現(xiàn)在某類病毒記作，其中正整數(shù)，〔，〕可以任意選取，那么都取到奇數(shù)的概率為．【答案】【解析】m取到奇數(shù)的有1，3，5，7共4種情況；n取到奇數(shù)的有1，3，5，7，9共5種情況，那么都取到奇數(shù)的概率為．8．如圖，在三棱柱中，分別是的中點，設(shè)三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，那么．【答案】1：24【解析】三棱錐與三棱錐的相似比為1：2，故體積之比為1：8．又因三棱錐與三棱柱的體積之比為1：3．所以，三棱錐與三棱柱的體積之比為1：24．9．拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為(包含三角形內(nèi)部和邊界)．假設(shè)點是區(qū)域內(nèi)的任意一點，那么的取值范圍是．【答案】[—2，eq\f(1,2)]【解析】拋物線在處的切線易得為y＝2x—1，令z＝，y＝—eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)．畫出可行域如下，易得過點(0，—1)時，zmin＝—2，過點(eq\f(1,2)，0)時，zmax＝eq\f(1,2)．yxyxOy＝2x—1y＝—eq\f(1,2)x10．設(shè)分別是的邊上的點，，，假設(shè)〔為實數(shù)〕，那么的值為．【答案】eq\f(1,2)【解析】所以，，，eq\f(1,2)．11．是定義在上的奇函數(shù)。當(dāng)時，，那么不等式的解集用區(qū)間表示為．【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)【解析】做出()的圖像，如下列圖所示。由于是定義在上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱做出x＜0的圖像。不等式，表示函數(shù)y＝的圖像在y＝x的上方，觀察圖像易得：解集為(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。xyxyy＝xy＝x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)12．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準方程為，右焦點為，右準線為，短軸的一個端點為，設(shè)原點到直線的距離為，到的距離為，假設(shè)，那么橢圓的離心率為．yxlyxlBFOcba【解析】如圖，l：x＝，＝－c＝，由等面積得：＝。假設(shè)，那么＝，整理得：，兩邊同除以：，得：，解之得：＝，所以，離心率為：．13．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點，是函數(shù)〔〕圖象上一動點，假設(shè)點之間的最短距離為，那么滿足條件的實數(shù)的所有值為．【答案】1或【解析】14．在正項等比數(shù)列中，，，那么滿足的最大正整數(shù)的值為．【答案】12【解析】設(shè)正項等比數(shù)列首項為a1，公比為q，那么：，得：a1＝eq\f(1,32)，q＝2，an＝26－n．記，．，那么，化簡得：，當(dāng)時，．當(dāng)n＝12時，，當(dāng)n＝13時，，故nmax＝12．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．〔本小題總分值14分〕，．〔1〕假設(shè)，求證：；〔2〕設(shè)，假設(shè)，求的值．解：〔1〕a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，．〔2〕，①2＋②2得：cos(α－β)＝－eq\f(1,2)．所以，α－β＝，α＝＋β，帶入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋eq\f(1,2)sinβ＝sin(＋β)＝1，所以，＋β＝．所以，α＝，β＝．16．〔本小題總分值14分〕如圖，在三棱錐中，平面平面，，，過作，垂足為，點分別是棱的中點．求證：〔1〕平面平面；〔2〕．證：〔1〕因為SA＝AB且AF⊥SB，所以F為SB的中點．又E，G分別為SA，SC的中點，所以，EF∥AB，EG∥AC．又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面平面．〔2〕因為平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF平面ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又BC平面SBC，所以，AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面SAB．又SA平面SAB，所以，．17．xyxyAlO如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在上．〔1〕假設(shè)圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；〔2〕假設(shè)圓上存在點，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．解：〔1〕聯(lián)立：，得圓心為：C(3，2)．設(shè)切線為：，d＝，得：．故所求切線為：．〔2〕設(shè)點M(x，y)，由，知：，化簡得：，即：點M的軌跡為以(0，1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D．又因為點在圓上，故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中．解之得：0≤a≤eq\f(12,5)．18．〔本小題總分值16分〕如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點處下山至處有兩種路徑。一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到．假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為，山路長為，經(jīng)測量，，．〔1〕求索道的長；〔2〕問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？〔3〕為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘，CBCBADMN解：〔1〕如圖作BD⊥CA于點D，設(shè)BD＝20k，那么DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．〔2〕設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達點M，此時甲到達N點，如下圖．那么：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，其中0≤x≤8，當(dāng)x＝eq\f(35,37)(min)時，MN最小，此時乙在纜車上與甲的距離最短．〔3〕由〔1〕知：BC＝500m，甲到C用時：eq\f(1260,50)＝eq\f(126,5)(min)．假設(shè)甲等乙3分鐘，那么乙到C用時：eq\f(126,5)＋3＝eq\f(141,5)(min)，在BC上用時：eq\f(86,5)(min)．此時乙的速度最小，且為：500÷eq\f(86,5)＝eq\f(1250,43)m/min．假設(shè)乙等甲3分鐘，那么乙到C用時：eq\f(126,5)－3＝eq\f(111,5)(min)，在BC上用時：eq\f(56,5)(min)．此時乙的速度最大，且為：500÷eq\f(56,5)＝eq\f(625,14)m/min．故乙步行的速度應(yīng)控制在[eq\f(1250,43)，eq\f(625,14)]范圍內(nèi)．19．〔本小題總分值16分〕設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，是其前項和．記，，其中為實數(shù)．〔1〕假設(shè)，且成等比數(shù)列，證明：〔〕；〔2〕假設(shè)是等差數(shù)列，證明：．證：〔1〕假設(shè)，那么，，．當(dāng)成等比數(shù)列，，即：，得：，又，故．由此：，，．故：〔〕．〔2〕，．(※)假設(shè)是等差數(shù)列，那么型．觀察(※)式后一項，分子冪低于分母冪，故有：，即，而≠0，故．經(jīng)檢驗，當(dāng)時是等差數(shù)列．20．〔本小題總分值16分〕設(shè)函數(shù)，，其中為實數(shù)．〔1〕假設(shè)在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；〔2〕假設(shè)在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．解：〔1〕≤0在上恒成立，那么≥，．故：≥1．，假設(shè)1≤≤e，那么≥0在上恒成立，此時，在上是單調(diào)增函數(shù)，無最小值，不合；假設(shè)＞e，那么在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)，，滿足．故的取值范圍為：＞e．〔2〕≥0在上恒成立，那么≤ex，故：≤eq\f(1,e)．．(ⅰ)假設(shè)0＜≤eq\f(1,e)，令＞0得增區(qū)間為(0，eq\f(1,a))；令＜0得減區(qū)間為(eq\f(1,a)，﹢∞)．當(dāng)x→0時，f(x)→﹣∞；當(dāng)x→﹢∞時，f(x)→﹣∞；當(dāng)x＝eq\f(1,a)時，f(eq\f(1,a))＝﹣lna－1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)＝eq\f(1,e)時取等號．故：當(dāng)＝eq\f(1,e)時，