卡方分布及其它分布

-.z.卡方分布卡方分布的定義：假設(shè)n個相互獨立的隨機變量ξ1，ξ2，…，ξn，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布〔也稱獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布〕，那么這n個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量的平方和∑ξi∧2構(gòu)成一新的隨機變量，其分布規(guī)律稱為χ2(n)分布〔chi-squaredistribution〕，其中參數(shù)n稱為自由度。二、卡方分布的性質(zhì)：:〔1〕(可加性)設(shè)~這里〔2〕證明〔1〕根據(jù)定義易得。〔2〕設(shè)其中因為代入〔1〕，第一條結(jié)論可得證。直接計算可得于是代入〔2〕便證明了第二條結(jié)論。三、卡方分布的概率密度函數(shù)：其中Dx為n維x空間由不等式所定的區(qū)域。即，Dz為n維x空間以坐標(biāo)原點為球心、為半徑的球面所圍成的區(qū)域〔邊界不在〕可以利用極坐標(biāo)來計算這積分。令與這變換相應(yīng)的函數(shù)行列式為：其中括號和都表示的函數(shù)。因此。當(dāng)z>0時，C是常數(shù)。為了定出C,在上述等式的兩端令得到從而，在分母的積分中令，即，用作代換，那么，這個積分等于因此，從而，當(dāng)z>0時，即，的密度函數(shù)為稱這個密度函數(shù)所定的分布為自由度為n的分布，記作。它的圖像如下：圖〔一〕分布密度函數(shù)圖四、卡方分布的累積分布函數(shù)為：，其中γ(k,z)為不完全Gamma函數(shù)。其圖像如下：圖〔二〕分布的分布函數(shù)圖五、卡方分布的特征函數(shù)及其推導(dǎo)：特征函數(shù)：ψ(t)=f(x)dx=dx=六、論證過程中的心得體會：首先通過對卡方的研究和證明，提高了我們對數(shù)學(xué)的興趣。其次，通過這次的推導(dǎo)和搜索資料進展分析，大大提高了我們的獨立思考的能力，我們當(dāng)中很多同學(xué)之前都很害怕類似的證明題，這一次的合力解決難題使我們信心倍增。當(dāng)然同時，這個合作鍛煉了我們團隊合作的能力，分工合作解決問題，有的人負(fù)責(zé)收集資料，有點人負(fù)責(zé)推導(dǎo)公式，有的人負(fù)責(zé)輸入文章，整理公式，等等。這讓大家明白了團結(jié)的力量。做出合理的時間安排，做任何事情，合理的時間安排非常重要，多元課程設(shè)計也是一樣，事先要做好一個規(guī)劃，課程設(shè)計一共分5個板塊〔定義，性質(zhì)，特征函數(shù)，密度函數(shù)，分布函數(shù)，心得體會〕。你每天要做完哪幾個板塊事先要確定好，這樣做才會使自己游刃有余，保證在2周時間完成論文，以防止由于時間上的不妥，以致于最后無法完成論文。

另外，寫論文的過程中也使我們對論文的格式有了一個了解，更規(guī)更具體，為以后的學(xué)業(yè)報告做了一次很好的準(zhǔn)備。論文屬于科學(xué)性的文章，它有嚴(yán)格的書寫格式規(guī)，因此一篇好的論文一定要有正確的格式，論文格式錯誤就不能得到好成績，因此我們寫論文時要端正態(tài)度，注意書寫格式。多元課程的設(shè)計更加是豐富了我們的業(yè)余生活，讓大家聚在一起討論題目，其樂融融。這樣的課程設(shè)計也能使我們找到志同道合的朋友，發(fā)現(xiàn)生活中的點滴數(shù)學(xué)趣事，從實際出發(fā)思考題目，同時我們對計算機的知識也有了一定的加深，matlab的使用等等。t分布的有關(guān)知識t分布的概述及其歷史在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，學(xué)生t-分布〔Student'st-distribution〕應(yīng)用在當(dāng)對呈正態(tài)分布的母群體的均值進展估計。它是對兩個樣本均值差異進展顯著性測試的學(xué)生t測定的根底。t檢定改良了Z檢定，不管樣本數(shù)量大或小皆可應(yīng)用。在樣本數(shù)量大〔超過120等〕時，可以應(yīng)用Z檢定，但Z檢定用在小的樣本會產(chǎn)生很大的誤差，因此樣本很小的情況下得改用學(xué)生t檢定。在數(shù)據(jù)有三組以上時，因為誤差無法壓低，此時可以用變異數(shù)分析代替學(xué)生t檢定。當(dāng)母群體的標(biāo)準(zhǔn)差是未知的但卻又需要估計時，我們可以運用學(xué)生t-分布。學(xué)生t-分布可簡稱為t分布。其推導(dǎo)由威廉·戈塞于1908年首先發(fā)表，當(dāng)時他還在都柏林的健力士釀酒廠工作。因為不能以他本人的名義發(fā)表，所以論文使用了學(xué)生〔Student〕這一筆名。之后t檢驗以及相關(guān)理論經(jīng)由羅納德·費雪的工作發(fā)揚光大，而正是他將此分布稱為學(xué)生分布由于在實際工作中，往往σ是未知的，常用s作為σ的估計值，為了與u變換區(qū)別，稱為t變換t=，統(tǒng)計量t值的分布稱為t分布。t分布的分布函數(shù)及證明用表示分布的分布函數(shù)，那么證明根據(jù)分布函數(shù)的定義有當(dāng)時，上式為由于，故立即可得，為了計算，我們做變換那么，因此故而當(dāng)時，我們有然后利用剛剛的討論可知綜上所述便得我們所要的結(jié)論。t分布的密度函數(shù)及證明設(shè)為相互獨立隨機變量，服從正態(tài)服從自由度為的—分布，那么t=的密度函數(shù)為稱是自由度為的—分布〔或Student分布〕的密度函數(shù)，證：首先，易知相互獨立，事實上，故得證〔其實，由商的密度函數(shù)為證明過程用到公式t分布的w特征函為：t分布有如下特征：1、t分布是對稱分布，且其均值為02．t分布是一簇曲線，其形態(tài)變化與n〔確切地說與自由度ν〕大小有關(guān)。自由度ν越小，t分布曲線越低平；自由度ν越大，t分布曲線越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布〔u分布〕曲線，如圖1。3、t分布是一個分布族，對于不同的樣本容量都對應(yīng)不同的分布，且其均值都為0。4、與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比，t分布的中心局部較低，2個尾部較高。5、變量t的取值圍在之間圖1自由度為1、5、∞的t分布t分布有如下性質(zhì)：性質(zhì)1令那么故的解為，即分布密度在處有拐點。性質(zhì)2性質(zhì)3設(shè)，假設(shè)，那么存在；假設(shè)，那么不存在。此點由微積分中判別積分收斂的法那么很容易看出。假設(shè)，且為奇數(shù)，由于函數(shù)是的奇函數(shù)，因此，；假設(shè)且為偶數(shù)，可以算得特別性質(zhì)4分布由于只有階矩存在，故沒有矩母函數(shù)存在。性質(zhì)5如和獨立同分布于，那么隨機變量。t分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)記作.如下圖，當(dāng)X~時，=.給出概率和自由度,可從分布的分為表中查出.與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相類似,根據(jù)分布密度曲線的對稱性,也有,論述同.如果在分布的分為表中沒有負(fù)的分位,那么先查出,然后得到.例如,另外,當(dāng)時,在比擬簡單的表中查不到,可用作為的近似值.分布的分位數(shù)t分布表n0.250.20.150.10.050.0250.010.0050.00250.0010.0005

11.0001.3761.9633.0786.31412.70631.82163.657127.32318.31636.62

20.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.92514.08923.32631.598

30.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.8417.45310.21312.924

40.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.61

50.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.869

60.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.7074.3175.2085.959

70.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.408

80.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.3553.8334.5015.041

90.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.2503.6904.2974.781

100.700.8791.0931.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587

110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437

120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.0553.4283.9304.318

130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.6503.0123.3723.8524.221

140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.14

150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073

160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.9213.2523.6864.015

170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.8983.2223.6463.965

180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.8783.1973.6103.922

190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883

200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.85

210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.8313.1353.5273.819

220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.8193.1193.5053.792

230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.8073.1043.4853.767

240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.7973.0913.4673.745

250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.7873.0783.4503.725

260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.7793.0673.4353.707

270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.7713.0573.4213.69

280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.7633.0473.4083.674

290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.4622.7563.0383.3963.659

300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.4572.7503.0303.3853.646

400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.7042.9713.3073.551

600.6790.8481.0451.2961.6712.0002.3902.6602.9153.2323.46

1200.6770.8451.0411.2891.6581.982.3582.6172.8603.1603.373

0.6740.8421.0361.2821.6451.962.3262.5762.8073.093.291廣義非中心t分布定義：設(shè)?！?〕的分布稱為廣義非中心分布，記為或。定理1：設(shè)，那么的密度是〔*1〕，其中。證：設(shè)，其中且是Borel函數(shù)使得。利用對于，那么我們有〔*2〕因此，的密度是，令，我們立得〔*〕。當(dāng)時，〔*1〕成為我們熟悉的密度。推論1：設(shè)，那么〔*3〕,其中〔*4〕。證：做變換，那么由〔*2〕結(jié)論得證。推論2：設(shè)，那么〔*5〕其中表示的整數(shù)局部，且由定義。特別〔注意〕〔*6〕由〔*3〕，〔*4〕和Legendre倍量公式，結(jié)論得證。分布一、定義如果隨機變量的密度函數(shù)為那么稱隨機變量服從第一自由度為，第二自由度為的分布，記為。二、性質(zhì)1、設(shè)隨機變量與相互獨立，且，，那么隨機變量。證明：因為隨機變量與分別分布，所以其密度函數(shù)分別為，由商的密度函數(shù)公式，故得令，得，其中所以，隨機變量。2、設(shè)隨機變量，那么，D。解：令，得令，得同理可得，D3、設(shè)隨機變量，那么。證明：因為隨機變量，所以其密度函數(shù)為。那么的密度函數(shù)為所以，。4、假設(shè)隨機變量，那么。證明：因為隨機變量，所以其密度函數(shù)為的密度函數(shù)為所以，。三、非中心分布設(shè)，，且與相互獨立，令，那么稱服從自由度為，非中心參數(shù)為的非中心分布，記為。隨機變量的密度函數(shù)為證明：的聯(lián)合分布為作變換那么的聯(lián)合分布為的邊沿分布為將改為，即為所證。二次型的分布Wishart分布設(shè)相互獨立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，令，那么①其密度函數(shù)為：②而在相互獨立同正態(tài)分布時，，其密度函數(shù)為：③下面將上述結(jié)果推廣至多元正態(tài)分布的情況。Wishart分布的定義假設(shè)相互獨立，其中：，，，那么稱隨機陣服從自由度為，非中心參數(shù)為的非中心wishart分布，記為，特別地，當(dāng)時，那么稱之為中心wishart分布，記為：，其概率密度為：④其中為對稱陣，是隨機矩陣的觀測值矩陣。三．Wishart分布的特征函數(shù)定理：如果，〔已蘊含在分布的定義中〕，那么，其中為實變元對稱陣。證明：因為，所以可表示為,其中獨立同分布與。有隨機矩陣特征函數(shù)的定義可知,且,因此有：從而，其中,由對角定理，對于對稱陣及正定陣，必存在奇異陣使得:,,,做變換,反之，那么:⑤由于，所以。記,那么有,故有.從而而=因此有。反之，假設(shè)是對稱陣S的特征函數(shù)，那么。四．Wishart分布的性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)總體那么樣本離差陣S服從自由度為n-1的wishart分布，即:⑥證明：,且,由和，由定理：X為的階數(shù)據(jù)陣，，A為對稱陣，且，那么，那么。性質(zhì)2：〔可加性〕設(shè),且相互獨立，那么。證：〔用特征函數(shù)〕由，可知其特征函數(shù)分別為，又由相互獨立，可推之的特征函數(shù)為，由定理1之逆可知，成立。性質(zhì)3：設(shè)，對任意階常數(shù)矩陣C,有,特別的有，〔，為常數(shù)〕。證明：由，可知,其中相互獨立，且，故,而，且也相互獨立，那么。同理得：〔，為常數(shù)〕。關(guān)于階分布密度函數(shù)有以下說明：〔1〕、是階對稱陣,(3)式是的個變量，的密度函數(shù)，而積分區(qū)域是使得>0的這些變量所構(gòu)成的區(qū)域?！?〕、為了使得階分布有密度函數(shù)，除了，為什么還要求這是因為階矩陣W以概率1為正定矩陣的充要條件是。證：由于，X是階矩陣，所以時，階矩陣W不可能是正定矩陣。此外，在時，所以欲證W以概率1為正定矩陣的充要條件是，僅需要證明在時，。在時，由于，所以W不是正定矩陣。令。顯然是維歐式空間中一個沒有點的集合。由此可見，。從而有故W以概率1為正定矩陣的充要條件是得到證明。五．非中心分布的定義非中心分布是非中心分布的推廣。假設(shè)相互獨立，那么稱服從非中心分布，其自由度為n。它的分布除了與n有關(guān)外，還與有關(guān)，稱為非中心參數(shù)。非中心分布記為。顯然，在時，服從非中心分布，其中，。這時。下面將非中心分布推廣到非中心分布。假設(shè)相互獨立，，那么稱服從非中心分布，顯然W的分布與和有關(guān)。下面證明其分布與有關(guān)。令，那么因所以，其中：⑦⑧⑨由此看來，W的分布僅與和H有關(guān)。Wishart分布設(shè)相互獨立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，令，那么①其密度函數(shù)為：②而在相互獨立同正態(tài)分布時，，其密度函數(shù)為：③下面將上述結(jié)果推廣至多元正態(tài)分布的情況。Wishart分布的定義假設(shè)相互獨立，其中：，，，那么稱隨機陣服從自由度為，非中心參數(shù)為的非中心wishart分布，記為，特別地，當(dāng)時，那么稱之為中心wishart分布，記為：，其概率密度為：④其中為對稱陣，是隨機矩陣的觀測值矩陣。三．Wishart分布的特征函數(shù)定理：如果，〔已蘊含在分布的定義中〕，那么，其中為實變元對稱陣。證明：因為，所以可表示為,其中獨立同分布與。有隨機矩陣特征函數(shù)的定義可知,且,因此有：從而，其中,由對角定理，對于對稱陣及正定陣，必存在奇異陣使得:,,,做變換,反之，那么:⑤由于，所以。記,那么有,故有.從而而=因此有。反之，假設(shè)是對稱陣S的特征函數(shù)，那么。四．Wishart分布的性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)總體那么樣本離差陣S服從自由度為n-1的wishart分布，即:⑥證明：,且,由和，由定理：X為的階數(shù)據(jù)陣，，A為對稱陣，且，那么，那么。性質(zhì)2：〔可加性〕設(shè),且相互獨立，那么。證：〔用特征函數(shù)〕由，可知其特征函數(shù)分別為，又由相互獨立，可推之的特征函數(shù)為，由定理1之逆可知，成立。性質(zhì)3：設(shè)，對任意階常數(shù)矩陣C,有,特別的有，〔，為常數(shù)〕。證明：由，可知,其中相互獨立，且，故,而，且也相互獨立，那么。同理得：〔，為常數(shù)〕。關(guān)于階分布密度函數(shù)有以下說明：〔1〕、是階對稱陣,(3)式是的個變量，的密度函數(shù)，而積分區(qū)域是使得>0的這些變量所構(gòu)成的區(qū)域。〔2〕、為了使得階分布有密度函數(shù)，除了，為什么還要求這是因為階矩陣W以概率1為正定矩陣的充要條件是。證：由于，X是階矩陣，所以時，階矩陣W不可能是正定矩陣。此外，在時，所以欲證W以概率1為正定矩陣的充要條件是，僅需要證明在時，。在時，由于，所以W不是正定矩陣。令。顯然是維歐式空間中一個沒有點的集合。由此可見，。從而有故W以概率1為正定矩陣的充要條件是得到證明。五．非中心分布的定義非中心分布是非中心分布的推廣。假設(shè)相互獨立，那么稱服從非中心分布，其自由度為n。它的分布除了與n有關(guān)外，還與有關(guān)，稱為非中心參數(shù)。非中心分布記為。顯然，在時，服從非中心分布，其中，。這時。下面將非中心分布推廣到非中心分布。假設(shè)相互獨立，，那么稱服從非中心分布，顯然W的分布與和有關(guān)。下面證明其分布與有關(guān)。令，那么因所以，其中：⑦⑧⑨由此看來，W的分布僅與和H有關(guān)。分布回憶分布的定義。假設(shè)變量與相互獨立，，那么〔1〕稱變量服從自由度為的分布。顯然，假設(shè)，那么仍然服從自由度為的分布。事實上，所謂的將分布推廣到多元正態(tài)分布的場合并不是直接將進展推廣，而是將進展推廣。服從分布。下面將推廣到多元正態(tài)分布的場合。1.分布的定義定義：設(shè)，隨機陣，且與相互獨立，那么稱統(tǒng)計量服從自由度為的〔中心〕分布，記為。由于所以的分布與無關(guān)。一般地，假設(shè)，那么稱統(tǒng)計量的分布為非中心分布，記為。2.關(guān)于〔中心〕分布的一些性質(zhì)：性質(zhì)1：設(shè)是總體的隨機樣本，那么統(tǒng)計量。證明：因為，所以。而，且和相互獨立，從而性質(zhì)2：與分布的關(guān)系：設(shè)，那么。在一元統(tǒng)計中〔設(shè)且相互獨立〕假設(shè)，那么。當(dāng)時，一維總體,，所以〔因〕，這是性質(zhì)2的特例，即當(dāng)時，。一般地，其中，還可以證明且與相互獨立。特別，設(shè)，那么，其中。補充書本以外的一些性質(zhì)如下：由于與相互獨立,所以在給定的條件下,條件分布仍為，那么的條件分布為。由于這個條件分布與給定的沒有關(guān)系，所以與相互獨立，并且的〔無條件〕分布仍為。由于，根據(jù)多元正態(tài)分布的性質(zhì)知，。因為所以有性質(zhì)〔1〕，〔2〕其中，分子與分母這兩個分布相互獨立。性質(zhì)〔1〕說明服從分布，從而〔1〕式可知，分布可轉(zhuǎn)化為分布.(3)由〔1〕，有這說明分布可轉(zhuǎn)化為分布。性質(zhì)〔2〕〔4〕顯然,時，〔4〕就化為〔1〕式。 由性質(zhì)1導(dǎo)出性質(zhì)2，把的分布轉(zhuǎn)化為分布。性質(zhì)〔1〕在把的分布轉(zhuǎn)化為分布的過程中起著關(guān)鍵作用，所以除了記住〔4〕式外，還有必要記住〔2〕，〔3〕式。3.關(guān)于非中心分布的定義與性質(zhì) 嚴(yán)格的說，在與相互獨立，，時，的分布是中心的分布。如果，那么稱的分布是非中心分布。由于所以的分布與無關(guān)。而在時，非中心分布就是中心的分布。 與〔2〕式〔4〕式相類似，有在與相互獨立，，時，，，〔5〕其中，分子與分母這兩個分布相互獨立，分子的是自由度為的非中心分布，其非中心參數(shù)為，由〔5〕式可以看出非中心的分布除了與有關(guān)外，還僅與有關(guān)。為此，人們將非中心分布記為，在時，分布，就是中心的分布。非中心分布與非中心分布〔6〕〔3〕非中心分布與非中心分布〔7〕〔5〕式與〔7〕式的證明與〔2〕式與〔4〕式的證明類似。下面討論如何導(dǎo)出非中心分布的密度函數(shù)。由〔7〕式知，由非中心分布的密度函數(shù)可以得到非中心分布的密度函數(shù)。同樣地，(6)式說明由非中心分布的密度函數(shù)也可以得到非中心分布的密度函數(shù)?？紤]到非中心分布的密度函數(shù)容易記住，由它得到非中心分布的密度函數(shù)的計算過程比非中心分布的計算過程更為簡單，所以下面首先介紹一下非中心分布的密度函數(shù)，然后導(dǎo)出非中心分布的密度函數(shù)。 根據(jù)非中心分布的密度函數(shù)，引入服從泊松分布的變量后，非中心分布變量可以理解成，在給定后的條件分布為中心分布。因而由〔6〕式知，假設(shè)令，那么在引入服從泊松分布的變量后，變量的分布可以理解為，在給定后的條件分布為中心的分布，所以非中心分布的密度函數(shù)為從而根據(jù)〔6〕式，可由非中心分布密度函數(shù)得到非中心分布函數(shù)為〔8〕在〔8〕式中取，即得到中心分布函數(shù)為〔9〕此外，中心分布的密度函數(shù)也可以有中心分布密度函數(shù)導(dǎo)出。知道中心分布的密度函數(shù)為從而根據(jù)〔3〕式，就可以得到中心分布函數(shù)，即〔9〕式。4.一元統(tǒng)計分布與多元統(tǒng)計分布的關(guān)系示意圖Wilks分布〔多元〕分布Wilks分布〔多元〕分布分布分布Wishart分布〔多元〕分布F分布回歸方程的顯著性檢驗---------F檢驗一元回歸方程的顯著性檢驗〔F檢驗〕當(dāng)我們得到一個實際問題的經(jīng)歷回歸方程，還不能用它作分析和預(yù)測，因為是否真正描述了變量與之間的統(tǒng)計規(guī)律，還需要運用統(tǒng)計方法對回歸方程進展檢驗。在對回歸方程進展檢驗時，通常需要進展正態(tài)性假設(shè)，以下的容假設(shè)無特別聲明，都是在此正態(tài)性假設(shè)下進展的。下面我們重點介紹F檢驗法。分解式的引入檢驗是根據(jù)平方和分解式，直接從回歸效果檢驗回歸方程的顯著性。平方分解式是〔1〕其中，.稱為總平方和，簡記為或或。稱為回歸平方和，簡記為或，反響了對的線性影響，稱為回歸平方或回歸奉獻。稱為殘差平方和，簡記為或，其本質(zhì)是估計誤差的平方和，這局部反響了這組實測值扣除了對的線性影響后剩下的變異。因而平方和分解式可以〔2〕分解式的證明下面對上述分解式給出證明下面只需證明即可又因為，其中，所以分解式可證?！?〕檢驗根據(jù)方差分析的原理，判斷回歸奉獻是否有意義可以用回歸方差分析進展檢驗。中，能夠由自變量解釋的局部為，不能由自變量解釋的局部為。這樣，回歸平方和越大，回歸的效果越好。又總體變異的自由度為，自變量只有一個，所以回歸自由度為1，誤差自由度為，構(gòu)造統(tǒng)計量如下，〔2〕在正態(tài)假設(shè)下，當(dāng)原假設(shè)成立時，服從自由度為的分布。當(dāng)值大于臨界值時，拒絕，說明回歸方程顯著，與有顯著的線性關(guān)系。也可以根據(jù)P值做檢驗，具體檢驗過程可以放在方差分析表中進展，如表1所示。表1一元線性回歸方差分析表方差來源自由度平方和均方F值P值回歸殘差總和1n-2n-1SSRSSESSTSSR/1SSE/(n-2)P()=P值〔統(tǒng)計量的具體證明在多元線性回歸模型中給出?！扯嘣貧w方程的顯著性檢驗〔F檢驗〕設(shè)隨機變量與一般變量的線性回歸模型為其中，是個未知參數(shù)，稱為回歸常數(shù)，稱為回歸系數(shù)。稱為因變量，而是個可以準(zhǔn)確測量并可控制的一般變量，稱為自變量。是隨機誤差，一般假定稱為理論回歸方程。對一個實際問題，如果我們獲得組觀測數(shù)據(jù)，那么線性回歸模型可表示為寫成矩陣形式為其中，，，對多元線性回歸方程的顯著性檢驗就是要看自變量從整體上對隨機變量是否有明顯的影響。為此提出原假設(shè)如果被承受，那么表示隨機變量與之間的關(guān)系由線性回歸模型表示不適宜。類似一元線性回歸檢驗，為了建立對進展檢驗的統(tǒng)計量，仍然利用總離差平方和的分解式，即簡寫成此分解式的證明只需利用即殘差的平均值為0，殘差對每個自變量的加權(quán)平均為0。用矩陣表示為具體參照一元線性回歸的證明。假設(shè)，那么總離差。假設(shè)再有條件，滿足。那么,獨立，它們與的商分別服從和。從而~。證明：因為=，所以，而第一列全是1，所以另一方面，容易看出因為=所以其余局部證明見Seber(1976)。附分布、分布的定義定理〔分布〕假設(shè)相互獨立的隨機變量，均服從正態(tài)，那么的密度函數(shù)為稱為自由度為的密度函數(shù)。定理〔分布〕設(shè)為獨立的隨機變量，分別服從具有自由度及的分布。令，，那么的密度函數(shù)為稱為自由度為及的分布的密度函數(shù)。Wilks分布的定義及性質(zhì)本文包括Wilks分布的定義、密度函數(shù)、分布函數(shù)的積分表達式和漸進展開式、特征函數(shù)的積分形式以及相關(guān)性質(zhì)及證明。回憶分布的定義，假設(shè)變量和相互獨立，那么那么〔1〕稱變量服從分子自由度為，分母自由度為的分布，簡稱服從自由度為和的分布.顯然，假設(shè)，那么仍服從分子自由度為，分母自由度為的分布.分布和分布可以互相轉(zhuǎn)化.令，〔2〕那么.事實上，所謂將分布推廣到多元正態(tài)分布的場合并不是直接將他進展推廣，而是將分布進展推廣.一、Wilks分布的定義：假設(shè)與相互獨立，，其中.記，〔3〕稱的分布為Wilks分布.顯然，.除了，為什么還要求？這是為了使得的分子和分母為正的概率都等于.而和之間，可能，也可能.由于，〔4〕，所以的分布與無關(guān).通常將的分布記為.二、Wilks分布的性質(zhì)：性質(zhì)1：，〔5〕其中，相互獨立，.以下是對性質(zhì)1的說明，和相互獨立的個參數(shù)分別為，的分布變量的乘積同分布.采用下面的方法證明兩個變量同分布.顯然，假設(shè)變量與同分布，那么與的各階矩都相等：.反之，假設(shè)與的各階矩都相等，是否一定成立？是不一定成立的.存在這樣的變量和，它們的各階矩都相等，但他們有不同的分布.但是在一定的條件下，假設(shè)與的各階矩都相等，那么與有一樣的分布.例如，設(shè)是某個變量的各階矩，它們都有限，如果對某個，級數(shù)〔6〕絕對收斂，那么是唯一以為階矩的變量.顯然，假設(shè)變量有界，那么〔6〕式的級數(shù)必絕對收斂，故就被它的各階矩唯一確定。性質(zhì)1中的和都是有界的，即滿足：，所以欲證性質(zhì)1，僅需驗證和的各階矩都相等.分布的密度函數(shù)為，〔7〕所以分布的階矩為.〔8〕由此得到的階矩〔9〕在時，可以由的聯(lián)合密度求得的階矩.而在時，不存在的密度函數(shù)，將根據(jù)Wishart分布的定義，計算的階矩.下面使用的求的階矩的方法，無論還是，都是適用的.假設(shè)相互獨立，，同為分布，其中，那么，〔10〕為簡化計算，不妨假設(shè).將分一下3個步驟計算的矩：〔1〕令.首先由的聯(lián)合密度求得的聯(lián)合密度，其中,引入變量的原因就在于.〔11〕〔2〕然后由的聯(lián)合密度，導(dǎo)出的密度函數(shù).〔3〕最后由的密度函數(shù)計算的階矩.具體說明如下：〔1〕的聯(lián)合密度為.〔12〕為了由的聯(lián)合密度得到的聯(lián)合密度，關(guān)鍵在于計算變換的雅克比行列式.由于變換是這個變換的雅克比行列式為這相當(dāng)于引入中間變量，使得線性變換的雅克比行列式，所以由的聯(lián)合密度得到的聯(lián)合密度為〔13〕〔2〕由的聯(lián)合密度知與相互獨立.顯然，，的密度函數(shù)為，〔14〕故的密度函數(shù)為.〔15〕三、Wilks分布的密度函數(shù)推導(dǎo)：由概率論的知識知：假設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，那么的密度函數(shù)為：〔16〕特別的，當(dāng)獨立時，有〔17〕W的密度函數(shù)為：〔18〕根據(jù)公式〔11〕，〔14〕，〔17〕，〔18〕可以得到Wilks的密度公式。(3)由于，所以的階矩為d==.〔19〕比擬〔9〕式與〔19〕式.由此可見，與的各階距都相等，所以與同分布.由于，所以性質(zhì)1得到證明.利用性質(zhì)1并計算等式兩邊的矩，可以證得Wilks分布的另一些根本性質(zhì)，見下面的性質(zhì)2和性質(zhì)3。性質(zhì)2在時，通常根據(jù)性質(zhì)2將化為性質(zhì)3〔1〕，相互獨立，~i=1,···,r.〔2〕，其中，，···，，相互獨立，~i=1,···,r；~在p=1,2或m=1,2時，Wilks分布可轉(zhuǎn)換為F分布，其分布函數(shù)的計算比擬簡單。(1)p=1時，由性質(zhì)1知~所以~F〔m，n〕.〔20〕m=1時，由性質(zhì)2知~所以~F〔p，n+1-p〕.〔21〕〔3〕p=2時，由性質(zhì)3知~所以~.〔22〕〔4〕m=2時，由性質(zhì)2知，從而由性質(zhì)3知~所以~〔23〕在p或m時，Wilks分布的分布函數(shù)的準(zhǔn)確計算很是困難。性質(zhì)3可以概括整理為下表：表〔1〕服從分布的統(tǒng)計量自由度任意1任意21任意2任意另外，對于和的其他值，當(dāng)充分大時，可用以下漸進分布，即設(shè)，那么當(dāng)時，由，其中，這就是著名的逼近。四、Wilks分布的漸進展開在和給定，時討論Wilks分布的分布函數(shù)的漸進展開。首先討論的分布函數(shù)的漸進展開，然后討論的分布函數(shù)的漸進展開，其中，待定，用以提高Wilks分布的分布函數(shù)的漸進計算的精度。一、分布的漸進展開Wilks分布的的階矩的計算公式〔4.1〕利用這個公式首先得到的特征函數(shù)的展開式，然后基于這個特征函數(shù)的展開式得到的分布函數(shù)的漸近展開。根據(jù)〔4.1〕，的特征函數(shù)為.,那么，的特征函數(shù)的對數(shù)為其中，〔4.2〕在的特征函數(shù)及其對數(shù)的表達式中有因子，聯(lián)系到的特征函數(shù)為，由此可以看到是在用分布近似的分布。函數(shù)有展開式〔4.