數(shù)學(xué)經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診與高考試題預(yù)測(cè)6

高考數(shù)學(xué)經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診（六）

考點(diǎn)6平面向量

經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診

命題角度1向量及其運(yùn)算

命題角度2平面向量與三角、數(shù)列

命題角度3平面向量與平面解析幾何

命題角度4解斜三角形

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1向量與軌跡、直線、圓錐曲線等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合

預(yù)測(cè)角度2平面向量為背景的綜合題

命題角度1向量及其運(yùn)算

1（典型例題）如圖6-1,在RtZkABC中，已知BC=a,若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn),

問(wèn)而與正的夾角0取何值時(shí)際.詼的值最大?并求出這個(gè)最大值.

［考場(chǎng)錯(cuò)

解］

???BP=BQ+QP,CQ=CB+BQ,:.BP*CQ=（BQ+BQ）?（CB+BQ）=|BQ\~+BQ?CB+QP?CB+QP?BQ,

此后有的學(xué)生接著對(duì)上式進(jìn)行變形，更多的不知怎樣繼續(xù).

［專家把脈］此題是湖北省20典型例題）已知，怙|=五，|b|=3,a與b的夾角為45°,

當(dāng)向量a+Ab與Aa+b的夾角為銳角時(shí)，求實(shí)數(shù)A的范圍.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］由已知a?b=|a||b：?cos45°=3,：a+入b與Aa+b的夾角為銳角，二（a+

Ab）?（Xa+b）>0

即X|a|2+X|b|2+（X2+l）a?b=0,A2X+9X+3（X2+1）>0,解得

x>-11+785-11-85.?.實(shí)數(shù)人的范圍是

66

［專家把脈］解題時(shí)忽視了a+入b與a入+b的夾角為0的情況，也就是（a+入b）?（入a+b）>0

既包括了a+入b與入a+b的夾角為銳角，也包括了a+入b與入a+b的夾角為0,而a+入b與

入a+b的夾角為0不合題意.

［對(duì)癥下藥］由己知a?b二|a|?|b|,|b|Xcos45°=3.

又a+入b與入a+b的夾角為銳角，（a+入b）,（入a+b）>0,且a+入bW\i（入a+b）（其中

Hk,u>0）由（a+入b）?（入a+b）>0,得EF+入|b「+（入2+i）a?b>0即3入2+ii入+3>0,解

4s\、-11+)85—1—11—85

得A)--------或4<-------由a+入bWu（入a+b）,得u入Wl,uW入，即入Wl,綜上

66

所述實(shí)數(shù)人的取值范圍是(-8,-H-V85-11+851)u(11+8).

66

3.(典型例題)已知0為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足筋+2而+3加=6,則AAOB與△AOC

的面積之比為()

A.1B.-C.-D.2

23

［考場(chǎng)錯(cuò)解］+而+加=5.?.而=-2及，0在BC邊上，且|而|=2|5?|,又AAOB與

△AOC高相等，.?.△AOB與△AOC的面積之比為2,.,.選D.

［專家把脈］缺乏聯(lián)想能力，將常用結(jié)論記錯(cuò)是本題錯(cuò)誤的原因，實(shí)際上只有。為AABC

的重心的情況下，才有?.?3+K+而=3,而本題無(wú)此已知條件.

［對(duì)癥下藥］(1)如圖6-3,在AB上取一點(diǎn)D,使

\AD\=2\DBD分居的比/=2,得8=~^—OA+—OB=-OA+-OB又由已知

1+21+233

OC=—OA-—OB,OD=-OC,0為CD的中點(diǎn)，不妨設(shè)SAAOC二S，則SAAOD=S(二，兩者等底同IWJ)

33

］,—?3

；.???S^BOD=-5,(v|AD\=2\BD\),S^AOIi=-S,

△AOB的面積與aAOC的面積之比為3：2,選B.

(2)不妨設(shè)A(0,0),B(l,0),C(0,1),0(x,y),則由專家會(huì)診向量的基本概念是向量

的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意對(duì)向量的夾角、模等概念的理解，不要把向量與實(shí)數(shù)胡亂類比；向量

的運(yùn)算包括兩種形式：(1)向量式；(2)坐標(biāo)式；在學(xué)習(xí)時(shí)不要過(guò)分偏重坐標(biāo)式，有些題目用

向量式來(lái)進(jìn)行計(jì)算是比較方便的，那么對(duì)向量的加、減法法則、定比分點(diǎn)的向量式等內(nèi)容就

應(yīng)重點(diǎn)學(xué)習(xí)，在應(yīng)用時(shí)不要出錯(cuò)，解題時(shí)應(yīng)善于將向量用一組基底來(lái)表示，要會(huì)應(yīng)用向量共

線的充要條件來(lái)解題.

考場(chǎng)思維調(diào)練

1Z\ABC內(nèi)接于以0為圓心，1為半徑的圓，且?.?2豆+3而+4反=5

⑴求I凝I

1.答案：由已知得2d+3手=-4元，所以

(2OA+303)2=161OC匕即4|OA|2+12OA?。8+9|。8『=16|OC|2,v|OA\=\OB|=|OC|=1,.\OA?OB=.\|AB|="OB-OA)2

=VlosI2-2OB?OA+\OA^

(2)求AABC的面積.

答案：設(shè)NAOB=0,NAOC=e,ZBOC=/,由0A?OB=1,得cos。二,，sin0二4運(yùn)，SA

444

_1I~而|sinO=；XlXl義叫平同理可求得cos°Y，si”咤厲,

AOB-—OA

2

SAACK^—V?5

32

71c_1vV15V15

,cosy一，sinr=-,SABOC=—X--=--

882816

由于。為銳角，°,7為鈍角，所以。。不可能在aAOB內(nèi)部，故AAOB、△AOC、△BOC互

不重疊，S/kABC=SZ\ROB+SAAOC+SABOCF—yf\5.

32

2已知向量a=(l,1),b：(1,0),c滿足a?c=0,且|a|二|c|,b?c>0.

(1)求向量c；

答案：設(shè)=(m,n),由a”=。，得m+n=。再由‘la1=1c1,得指正2,聯(lián)立］，;工

解得m=Ln=T或m=T,n=l,又,：b,c=(L0)?(m,n)=m>0.

m=l,n=-l,c=(l,-1).

(2)若映射f:(x,y)+(xz,yz)=xo+yc,將(x,y)看作點(diǎn)的坐標(biāo)，問(wèn)是否存在直線1,使

得1上任一點(diǎn)在映射f的作用下的點(diǎn)仍在直線1上，若存在，求出直線1的方程，若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案:xa+yc=y(l,l)+y(LT)=(x+y,x-y),則f:(x,y)->(x+y,x-y),假設(shè)存在直線1

滿足題意.當(dāng)1的斜率不存在時(shí)，沒(méi)有符合條件的直線1;當(dāng)1的斜率存在時(shí)，設(shè)1：y=kx+m,

在1上任取一點(diǎn)p(xo,y0),則p在映射f作用下的點(diǎn)Q(x()+yo,xo-yo),Q也應(yīng)在1上，即

xo-yo=k(xo+yo)+mX(xo,yo)在1上，yo=kxo+m,整理得(l-2k-k2)xo-(k+2)m=O,此式對(duì)于任意

xo恒成立.l-2k-k2=0,(-k+2)m=0.

解得k=T土后，m=0,綜上所述，存在直線1：y=(-1土及)x符合題意.

3已知A、B、C三點(diǎn)共線，。是該直線外一點(diǎn)，設(shè)涼=a,/反二c,且存在實(shí)數(shù)m,使

ma-3b+c5成立.求點(diǎn)A分所成的比和m的值.

答案：解：設(shè)點(diǎn)A分靛所成比為入，則后二人旋，所以3-而二人(次-3).即a-b二

X(c-d),則(1+入)a—b-入c=0(1)由已知條件得c=3b-ma代人(1)得(1+入)a—b-3入b+m入

a=0,即(1+入+mX)a-(l+3入)b=0

???加而不共線，a、b不共線

/.1+X+mX=0,1+3X=0,解得人二一一，m=2.

3

???A分正所成的比為m=2.

1.(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)=a-b,其中2=(2^%1)5=(。。$~百,且、€「李自)求*;(2)若

函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量c=(m,n)(|m|<5)平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖像，求實(shí)數(shù)m、n

之值.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］(1)依題意，f(x)Ycos,x+V^sinZx=1+2sin(2x+?).

由

l+2sin(2x+—)=1-75,Wsin(2x+—)=,v--<x<—--<2x+—<n,:.2x+—=-—,BPx=--;

3323333333

(2)函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量c=(m,n)平移后得到y(tǒng)=2sin2(x+m)-n的圖像，即y=f(x)的

圖像，由(1)Wf(x)=2sin2(x+—)+l,v|mw=—=-1.

6212

［專家把脈］“化一”時(shí)出錯(cuò)，

2cos2x+VJsin2x=cos2x=cos2x+A/3sin2x+1=2sin(2x+—)+1不是2sin(2x+為+1,第(2)問(wèn)在利

63

用平移公式的時(shí)有錯(cuò)誤.

［對(duì)癥下藥］(1)依題設(shè)，

r

f(x)=2cos2x+V3sin2x=1+2sin(2x+M),由1+2sin(2x+^)=1—石，得sinQx+2)=——

6662

——<x<———<2x+—<——2x+—=——.UPx=

33266637

(2)函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量c=(m,n)平移后得到函數(shù)y=2sin2(x-m)+n的圖像，即函數(shù)

y=f(x)的圖像，由⑴得f(x)=2sin2(?臺(tái)+L

,.'Im|<一m----,〃=1.

212

2.(典型例題)已知i,j分別為X軸，y軸正方向上的單位向量，

OAX=j,OA2==244+iQ22,n€N落).

(1)求京；(2)求麗和麗的坐標(biāo).

［考場(chǎng)錯(cuò)解］(1)由已知有4A〃+］=g得|A〃A〃+］|=gII

--iAJAI+II=A7A^I=《得A7A8=也；

..”■?i4

⑵ICM”H0A1I+IA&I+…+14-iA>1=1+4+-+產(chǎn)9-24-"

兩=9_2j,得麗(9-24-,1,0).

|函|=|函|+1福|+…+I3五+("-1)?2拉=2痣"+痣

.?.西=(2而+揚(yáng).

［專家把脈］向量是一個(gè)既有方向又有大小的量，而錯(cuò)解中只研究大小而不管方向，把向量與

實(shí)數(shù)混為一談，出現(xiàn)了很多知識(shí)性的錯(cuò)誤.

6

［對(duì)癥下藥］(1)VAn_j<4?=2A?An+l,:.AnAn+l=—An_tA,l,:.A7Ag=^AbA1=---(-^)A1A2,

----*?-?.If-?I

又Aa=0A2-0A［=4j,.\AqA^=(-)?4j=-j.

■■i----?i,?i一",?■'?一???■9i.

⑵由⑴知A?An+\=-^-AiA2An+lA?=J,,'-OA?=OA\+A,+■■■+A^A,,=j+4j+2j+-■■+j=(9-2)j.

兩的坐標(biāo)為(0,9-24-").同理OBn=OB{+-+B“.B；=3j+3j+("-1)?(2i+2j)=(2"+1"+(2〃+1)?.函的坐標(biāo)是(2〃+l,2nT

3

3.(典型例題)在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)Pi(l,2),P2(2,泊,P3(3,2)-,P?(n,2"),

其中n是正整數(shù)，對(duì)平面上任一點(diǎn)A。，記4為人關(guān)于點(diǎn)R的對(duì)稱點(diǎn)，壇為A、,關(guān)于點(diǎn)冉的

對(duì)稱點(diǎn)，…，A,為Ae關(guān)于點(diǎn)P”的對(duì)稱點(diǎn).

(1)求向量A,A；的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)A.在曲線C上移動(dòng)時(shí).點(diǎn)兒的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖像，其中f(x)是以3為周期

的周期函數(shù)，且當(dāng)x￡(0,3)時(shí)f(x)=lgx.求以曲線C為圖像的函數(shù)在(1,4)上的解析式；

(3)對(duì)任意偶數(shù)n,用n表示向量京的坐標(biāo).

［考場(chǎng)錯(cuò)解］第(2)問(wèn)，由(1)知屯=(2,4),依題意，將曲線C按向量(2,4)平移得到

y=f(x)的圖像.

...y=g(x)=f(x-2)+4.

［專家把脈］平移公式用錯(cuò)，應(yīng)該為y=g(x)=f(x+2)-4.

［對(duì)癥下藥］(1)設(shè)點(diǎn)A°(x,y),A。關(guān)于點(diǎn)R的對(duì)稱點(diǎn)兒的坐標(biāo)為由(2-x,4-y),Ai關(guān)于

點(diǎn)Pz的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為A?(2+X,4+y),所以，京={2.4}.

(2”.?屯={2,4},；.f(x)的圖像由曲線C向右平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位

得至1］.

因此，曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖像，其中g(shù)(x)是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x€(-2,

1)時(shí),g(x)=lg(x+2)-4,于是,當(dāng)xG(l,4)時(shí)，g(x)=lg(x-l)-4.

(3)=MM+A2A4+…+A“_2A〃

2(21)

由于A2k_2A2k=2&_|P2k,得R=2(而+版+-+C^)=2({1,2}+《您}+…+<獷])=2^,^~|=卜^^

專家會(huì)診

向量與三角函數(shù)、數(shù)列綜合的題目，實(shí)際上是以向量為載體考查三角函數(shù)、數(shù)列的知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積等知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)、數(shù)列的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化時(shí)不要把

向量與實(shí)數(shù)搞混淆,一般來(lái)說(shuō)向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目難度不大，向量與數(shù)列結(jié)合的題目，

綜合性強(qiáng)、能力要求較高.

考場(chǎng)思維調(diào)練

1已知平面向量a=(6，T),b=(g,半)，c=a+(sin2a-2cosa)b,

d=(—sin22a)a+(cosa)b,a￡(o,—),若c_Ld,求cosa.

42

答案：解析：由已知得a?b=0,lal'aJ%|b|JbJl,因?yàn)閏_Ld,，c?d=0,即[a+(sin2

人-cosa)?b].

[(—sin22a)a+(cosa)b]=0,得sin~2a+sin2a,cosa-2cos2a=0,

4

即(sin2Q+2cosa)(sin2a-cosa)=0,

VaG(0,—),sin2a+cosa>0,/.sin2a=cosa,由于cosa>0,得sina=',貝!jcos

22

aW

2

2設(shè)向量a=(cos23°,cos67°).b=(cos68°,cos22°),c=a+tb(tGR),求|c|的最

小值.

答案：解：|a|="cos223。+cos267°=1=1,

|b|=J8s2680+8s2220=I=1

a?b=cos230cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos(230

-68°)二旦.

2

|c12=(a+tb)2=Ia12+t21b12+2ta?b=t2+l+>/2t2；.

???cl的最小值為交，此時(shí)t=-也

22

3已知向量a=(2,2),向量b與a的夾角為3,且a?b=-2.

4

(1)求向量b;

答案：設(shè)b=(x,y),Va?b=-2,/.2x+2y=-2,即x+y=設(shè),(1),又?.'a與b的夾角為.五,

4

/.Ib|=——d§=1,/.x2+y2=l(2),聯(lián)立⑴、(2)得x=T,y=0或x=0,y=-l,

IaI?cos—4

4

Ab=(-1,0)或b=(0,-1).

(2)若t=(l,0)JBb±t,c=(cosA,2cos2-),其中A、C是AABC的內(nèi)角,若三角形的

2

三個(gè)內(nèi)角依次成等差列，試求，|b+c|的取值范圍.

答案：由題意得B=土,A+C=—,b±t,t=(l,0),.,.b=(0,-1),b+C=(cosA,cosC),

33

b+C|'-COS2A+COS2C=1+-(cos2A+cos2C)1+—

22

cos2A+cos2(-n-A))=l+1cos(2A+-),V0ZA<—,A-Z2A+-<-^,；?-1《

3233333

cos(2A+-)<l,.-.|b+c|2e［lA］,??.|b+c|<［①,，］

322422

命題角度3平面向量與平面解析幾何

L(典型例題)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為工，一個(gè)焦點(diǎn)F(-m,0)(m是大于0

2

的常數(shù).)

(1)求橢圓的方程；

⑵設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F、Q的直線1與y軸交于點(diǎn)M,若|而|=2|而求

直線1的斜率.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］第(2)問(wèn):設(shè)Q(xo,yo),直線J的方程為y=k(x+m),則點(diǎn)M(0,km),由已

知得FQ、M三點(diǎn)共線，且|而|=2|萬(wàn)而|=2|而曲于F(-m,0),M(0,km),由

定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

21r2v21/-

XQ二—=一切?,又。在橢圓—y+——x-=1上,.—I=1,解得k=±2v6

3￡34m23m2927

［專家把脈］缺乏分類討論的思想，沒(méi)有考慮圖形的多樣性，將I而|=2|而|進(jìn)行轉(zhuǎn)

化時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，依題意I而|=2|而|應(yīng)轉(zhuǎn)化為而=±2醞再分類求解k.

22

［對(duì)癥下藥］(1)設(shè)所求橢圓方程為5+4=1(a>b>0).

由已知得C=m,—=a=2m,b=后

a2

故所求的橢圓方程是￡+E=i.

(2)設(shè)Q(x°,%),直線1的方程為y=k(x+m),則點(diǎn)M(0,km),VM,Q、F三點(diǎn)共線，

\MQ\=2\QF\,：.MQ=2QF.

當(dāng)荻=2萬(wàn)時(shí)，由于F(-m,0),M(0,km),由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得狗=-劍,坨=g版,

又Q在橢圓￡+￡=1上,.?.有解得&=±2石；

4/n23m2927

,22

同理當(dāng)荻=-2函寸，有1+”-=1,解得4=0.故直線1的斜率是0,±2而

2.(典型例題)如圖6—4,梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點(diǎn)0為AB的中點(diǎn)，

AB|=^,|CZ)|=2-^.AC±BD,M為CD的中點(diǎn).

33

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)過(guò)M作AB的垂線，垂足為N,若存在常數(shù)入o,使而=40無(wú)，且P點(diǎn)到A、B的距離

和為定值，求點(diǎn)P的軌跡C的方程.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］第⑵問(wèn):設(shè)P(x,y),M(x?y.),則N(0,y。)

MP=(x-xo,y-y?\PN=(-x,y?-y),又而=A?PN

x-xu=-x()X,y-y?=X?(y?-y),Xo=-1.

［專家把脈］對(duì)成=友麗分析不夠，匆忙設(shè)坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)際上M、N、P三點(diǎn)共

線，它們的縱坐標(biāo)是相等的，導(dǎo)致后面求出入。=-1是錯(cuò)誤的.

［對(duì)癥下藥］⑴解法1：設(shè)M(x,y),則C(x,

2J22J2*

-1+半+y),D(x,l—=y=-+y),由AC1BD得AC?BD=0,

即(x,y-1)?(x,y+l)=0,得x?+y2=l,又xWO,

AM的軌跡方程是:x、y2=l(xWO)

解法2：設(shè)AC與BD交于E,連結(jié)EM、EO,VAC+BD,AZCED=ZAEB=90°,又M、0分

別為CD,AB的中點(diǎn)，.而|=LCD|.|EO|=L|AB|,又E為分別以AB、CD為直徑的圓的切

22

點(diǎn)，.??0、C、M三點(diǎn)共線，???|OM|=|OE|+|AB|=1,???M在以原點(diǎn)為圓心1為半徑的圓上，軌

跡方程為x2+y2=l(x^O).

(2)設(shè)P(x,y),則由已知可設(shè)M(xo,y),N(0,y),又由MP=入°PN得(x-x。,0)二人。(-x,

0),/.Xo=(l+X0)x,又M在x?+y2=l(x#0)上，??.P的軌跡方程為(1+入jZx、y、l(x#0),

又P到A、B的距離之和為定值，.?)的軌跡為經(jīng)A,BP為焦點(diǎn)的橢圓，二1——J=±得(1+

(1+%)29

X,,)2=9,：.P軌跡E的方程為9x2+y=l(x^O).

3.(典型例題)如圖6-5,ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，以某動(dòng)直線1為折痕將正方

形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)。都落在AD上，記為B'；折痕1與AB交

于點(diǎn)E,使M滿足關(guān)系式EM+E*

(1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)若曲線C是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對(duì)稱的

曲線組成的,F是AB邊上的一點(diǎn)，色1=4過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線于P、Q兩點(diǎn)，且而=/而，

BF

求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］第(1)問(wèn)：以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)

系，則A(0,1),B(0,—1),設(shè)E(0,t),B'(xo,1),貝ij由麗=而+而得x=x()y=-t,

的軌跡方程為x=x0,y=-t

［專家把脈］對(duì)軌跡方程的理解不深刻，x=xo,y=-t不是軌跡方程，究其原因還是題目

的已知條件挖掘不夠，本題中【而|=|由I是一個(gè)很重要的已知條件.

［對(duì)癥下藥］(1)解法1以AB所在的直線為y軸，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖6-6

所示的直角坐標(biāo)系，別A(0,1),B(0,-1),設(shè)E(0,t),則由已知有OWtWl,由|前|=|由|

及B'在AD上，可解得B'(2〃，1)由+屈=而+國(guó)'得(x,y-t)=(O,-1-t)+(2〃，1-t),

即x=2亞y=-t,消去t得x2=-4y(0WxW2).

解法2以EB、EB'分鄰邊作平行四邊形.由于|而|=|西|知四邊形EBMB',為菱形，且

而J.而，.?.動(dòng)點(diǎn)M到定直線AD的距離等于M到定點(diǎn)B的距離，的軌跡是以B為焦點(diǎn)，

以AD為準(zhǔn)線的拋物線的一部分軌跡方程為x2=-4y(0Wx<2).

(2)由(1)結(jié)合已知條件知C的方程是x、-4y(-2WxW2),由餐_=4知F(0,設(shè)過(guò)

BF2

F的直線的斜率為k,則方程為y=XX,P(xi,yj,Q(x2,y2),由而=/l而得xl=-A

2

X2,聯(lián)立直線方程和c得方程是x2+4kx-2=o,由-2WxW2知上述方程在［-2,2］內(nèi)有兩個(gè)

解，由；次函數(shù)的圖像知-Lvkv，,由x=-Axz可得一二(可+口)2=-'町工2由韋達(dá)

44(1-A)22

定理得81?=史4,,解得_L4aw2.

222

4.(典型例題1)已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)9

的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，OA+OB與a=(3,T)共線

(1)求橢圓的離心率;

(2)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且加=2豆+〃而,證明入2+/為定值.

2222

［考場(chǎng)錯(cuò)解］⑴設(shè)橢圓方程為=+==1(?！敌?),F(c,0)聯(lián)立y=x-c與=匚=1得

a2b1a2b1

(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2+a2b2=0,令A(yù)(x］，yj,B(X2,y2),貝UXi+X2=-----—,xjx2=--------——

a2+b2a2+b2

由不+35(xi+xz,yiM,a=(3,-1),OA+OB與a共線，得X1+x2=3,yi+yz=T,又

c_2_V6

yi+y2=xi+x-2c,c=2得a2=3b2,又aM?=(?='*,，b2=2,aM,A.

2a屈3

［專家把脈］蘇+諉與(3,-1)共線，不是相等，錯(cuò)解中，認(rèn)為蘇+為(3,-1),這是錯(cuò)

誤的，共線是比例相等.

［對(duì)癥下藥］(1)(前同錯(cuò)解)，蘇+為與a共線，得3(yi+y2)+(xi+xJ=0,

3(X1+X2-2c)+(X1+X2)=0

/.X］+X2=—c,代入：acq2=3Z?2e=—.

22

2a+b23

22_,

(2)證明：由(1)知/二3b2,所以橢圓三+==1可化為x?+32=3b2設(shè)施(x,y),由已知得

a2b2

(x,y)=X(xi,y】)+u(x2,ya),

(X=Ax1+卜ix?

"孫

AM(x,y)在橢圓上,

J

，(入Xi+RX2)23(入yi+ny2)=3b\

2

即入2(x：+3y：)〃23(g+3)1+2入口(xix2+2yiy2)=3b.①

由(1)知x2+x2=—9c、212=_1c2

222

.a2c2—q2〃23

..x\xy=-----------------=—c

22

a+b8

xix2+3yiy2=xi+x2+3(xi-c)(x2-c)

=4X1X2-3(X1+X2)c+3c2

=0.

又x；+3)，j=3廬，君+3g=3廬又，代入①得X2+u2=l.

故入、口？為定值，定值為L(zhǎng)

專家會(huì)診

平面向量與平面解析幾何結(jié)合是高考中的熱點(diǎn)題型，解此類題目關(guān)鍵是將向量關(guān)系式進(jìn)

行轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化一般有兩種途徑：一是利用向量及向量的幾何意義，將向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為

幾何性質(zhì)，用這種轉(zhuǎn)化應(yīng)提防忽視一些已知條件；二是將向量式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，

再利用平面解析幾何的知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，這種轉(zhuǎn)化是主要轉(zhuǎn)化方法，應(yīng)予以重視.

考場(chǎng)思維調(diào)練

1已知4ABC中，A(0,1),B(2,4),C(6,1),P為平面上任一點(diǎn)，點(diǎn)M、N滿足

PM=](PA+PB),PN=](PA+PQB+PC),給出下列相關(guān)命題：①M(fèi)N〃BC；

(2)直線MN的方程是3x+10y-28=0；(3)直線MN必過(guò)AABC外心；(4)起點(diǎn)為A的向量X

(^4B+AC+AC)(XWR')所在射線必過(guò)N,上面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是.(將正確的選項(xiàng)

序號(hào)全填上)

答案：解析：(2)⑷由已知M為AB的中點(diǎn),所以M(l,-),N為△ABC的重心，.?.N(g,

23

2).MN在AB的中線上...赤正；MN的方程為3x+10y-28=0；MN過(guò)AABC的重心，又AABC

不是等腰三角形，MN不可能過(guò)aABC的外心；

X(AB+AC)(XWR')所在射線為BC的中線所在的射線，

???必過(guò)N上(2)、(4)正確.

2已知A為x軸上一點(diǎn)，B為直線x=l上的點(diǎn)，且滿足：(3+百/)，(01-百/).

(1)若證A的橫坐標(biāo)為x,B的縱坐標(biāo)為y,試求點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程；

答案:解：由題意，A(x,0),B(l,y),則而=(x,0),而=(1,y)代入(蘇+石質(zhì))?(蘇-石布)=0

中，得：

(2)設(shè)D(0,-1),上述軌跡上是否存在M、N兩點(diǎn)，滿足|礪|=|而I且直線MN不平行于

y軸，若存在，求出MN所在直線在y軸上截距的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理.

答案：假設(shè)存在M(xi,yi),N(X2,yz),由題設(shè)MN不與x軸垂直，不妨設(shè)MN的方程為y=kx+m,

X22

聯(lián)立石-N",得(l-3k2)xJ6kmx-3m2-3=0,顯然1-3產(chǎn)#0,.*.△=12(m2+l-3k2)>0,又

y=kx+m

7

Xi+X2=3y,*'=凸二.設(shè)MN的中點(diǎn)P(x。，y。)，則有X廣也線段

1-3*21-3*21-3*2|-3Jt2

MN的垂直平分線方程為丫-上==_1*_小嗎).由題意D(0,T)在該直線上，代入得

1-3Mk\-3k2

4m=3k-l,k滿足卜＞0消去卜？，得m〉4或〈m＜0....存在這樣的M、N,并

4,”=3廿-14

且MN所在直線在y軸上截距的取值范圍是(4,+-)U(-1,0)

4

3已知點(diǎn)F(l,0),直線l:x=2,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線1的距離為d,已知|1不|=巫"且24d4。

232

(1)求動(dòng)點(diǎn)戶的軌跡方程；

2.答案：設(shè)P(x,y),:空!=也＜1,.?.P的軌跡為以(1,0)為焦點(diǎn)，以1：x=2為對(duì)應(yīng)

d2

準(zhǔn)線的橢圓.且=￡=①,4-c=l,解得a=啦，c=l,b=l.又NwdW3,.?，W|2-x|

a2c323

w2,解得Iwxwd,

223

P的軌跡方程為—+y2=l(LWxW&).

223

⑵若而=」求向量而與麗的夾角；

3

答案：VPF=(l-x,-y),OF=(1,0),而=(x，y)A-PF?OF=(l-x,)?l+(—y)?0=Lx=工,

3

\OP\^\OF\11

OP與OF的夾角為arccos------

11

⑶如圖，若點(diǎn)C滿足5?二2赤，點(diǎn)M滿足而=3而二3PF,且線段MG的垂直平分線經(jīng)過(guò)P,

求△PGF的面積.

答案：由已知I承H；21而|,???G為左焦點(diǎn).

而=*

|PG|=|PM|=3|PF|

又，

\'PG\+\~PF\=2V2I正|=孚

又|斤1=2,二|而|2+|斤「=|兩，,

.?.△PGF為RtZ\,A.*.S=—

2

命題角度4

解斜三角形

1.(典型例題)在AABC中，sinA+cosA=—,AC=2AB=3,求tanA的值和AABC的面積.

2

［考場(chǎng)錯(cuò)解］,.,sinA+cosA=4^...兩邊平方得2sinAcosA=-L；.sinA=-'又0°

222

<2A<360°.12A=210°或2A=330°得A=105°或A=165°,當(dāng)A=105°時(shí)，tanA=tan(45°

+

+60°)-*/I=-2-V3sinA=sin(450+60°)="當(dāng)A=165°時(shí)，tanA=tan(45°+120

1-V34

°)=-2+V3,sinA=sin(45°+120°)=屈一五,△ABC的面積為

4

—AC?AB9sinA—(5/6-5/2).

24

［專家把脈］沒(méi)有注意到平方是非恒等變形的過(guò)程，產(chǎn)生了增根，若A=165°,sinA二此時(shí)

sinA+cosA二遙十四cosA=一四+拒，止匕時(shí)飛inA+cosA=--，顯然與sinA+cosA=—的

4422

已知條件矛盾.

［對(duì)癥下藥］解法1.?.?sinA+cosA=4Z

2

.-.A/2COS(^-45O)=—f#cos(4-45o)=-,X0o<A<180°,/.A-45°=60°,得A=105°.

22

；.tanA=tan(45。+60°)=-2-石，sinA=sin(45。+60°)=+屈,

SAABC=—AC?AB?sinA=—(V6+V2)

24

解法2sinA+cosA=—,/.2sinAcosA」

22

又0°<A<180°，AsinA>0,cosA<0,V(sinA-cosA)2=l-2sinAcosA=-

2

.*.sinA-csoA=—,解得sinA二五十",cosA二五一"

244

sinA==-2-V3,5AABC」"?sinA一函+揚(yáng).

cosA24

2.(典型例題)設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為1、2、3,

則正方形的邊長(zhǎng)是.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］設(shè)邊長(zhǎng)為xNABP=a則/CBP=90°-a,在^ABP中/

2.2_22.,2.2_,2

匕r?1在中?

ABP=j3_L=ACBPcosNCBP=_L_VcosZCBP=sina,

4x4x4xAx

?

*2+3X2-5

+=1,

4x4x

/

解得xz=5+2亞,或5-26.

正方形的邊長(zhǎng)為yl5+241^5-242.

［專家把脈］沒(méi)有考慮x的范圍，由于三角形的兩邊之差應(yīng)小于第三邊，兩邊之和應(yīng)大于第三

邊，/.l<x<3.

［對(duì)癥下藥］(前同錯(cuò)解)Vl<x<3,；.X=』5-26應(yīng)舍去,...正方形的邊長(zhǎng)為J5+2收

3.(典型例題)已知aABC中，AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是.

［考場(chǎng)錯(cuò)解］依題意c=l,a=2,由正弦定理知

——故有sinC=￡sinA」sinA4L又0<C<180°,0°<CV30°或150°"<180°.

sinCsinAa22

［專家把脈］沒(méi)有考慮大邊對(duì)大角，由于a〉c,.?.角C不是最大解，...ISO。<C<180°不可能.

［對(duì)癥下藥］依題意c=l,a=2,由正弦定理知

—^?=上~,，$/9=￡就1141311444,又因?yàn)?>￡',.?./4>/(7,.；，的取值范圍是0°〈CW

sinCsinAa22

30°.

專家會(huì)診

解三角形的題目，一般是利用正弦定理、余弦定理結(jié)合三角恒等變形來(lái)解，要注意角的范圍

與三函數(shù)值符號(hào)之間的聯(lián)系與影響，注意利用大邊對(duì)大角來(lái)確定解是否合理，要注意利用△

ABC中，A+B+C=n,以及由此推得一些基本關(guān)系式

sin(B+C)=cisA,cos(B+C)=-cosA,sinB+C=cos—等，進(jìn)行三角變換的運(yùn)用，判斷三角形的

22

形狀，必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系，或角與角的關(guān)系入手，。要充分利用正弦定理，

余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換.

考場(chǎng)思維訓(xùn)練

1在aABC中，三內(nèi)角分別為A、B、C若4sinAsinB=3cosAcosB,若復(fù)數(shù)z\a+bi(a,bWR),

定義z的模|z|=Jo2+序,求復(fù)數(shù)z=41cos--zcos——^的模|z|.

22

解：

Iz21=7cos2-cos2--(l+cosC)+—(1-cos(A-B))=4+—cosC--cos(A-B)=4+—[-7cos(A+

2222222

B)-cos(A-B)]

=4+—(-8cosAcosB+6sinAsinB)，

2

又,.,4sinAsinB=3cosAcosB

A|Z|2=4,得，|z|=2.

2在aABC中，sinA+cosA=l,AB=10,AC=20

5

(1)求4ABC的面積；

答案：由sinA+cosA=-得2sinAcosA=-*，

525

/.sinA>0,cosA<0,(sinA-cosA)2=l-2sinAcosA

_——49zgsi.nA.-cosAA_7，???SinA——,comAA—-——3.

25555

.,.SAAB<F-AB?AC?sinA=--10?20?-=80；

225

(2)求△cos2A的值.

答案：cos2A=2cosJA-l=-—

25

3AABC中，AB=2,BC=1,ZABC=120°,平面ABC處一點(diǎn)滿足PA=PB=PC=2,則三棱錐P-ABC

的體積是.

答案：解：過(guò)P作POJ?平面ABC,

由PA=PB=PC=2,

；.0為△ABC的外心，在AABC中，由余弦定理，

|AC|2=|AB|2+|BC|-2|AB|?|BC|?COS1200=7,

IAC|=下又由正弦定理?I=2K

sinZABC

得R=?

3

在RtZXPOA中，PA=2,OA=R=W互，

3

.?.P0=J(%)2_R2=平

又限時(shí)=、2?1.3=電，

222

三棱錐P-ABC的體積為由.

6

探究開放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1

向得與軌跡、直線、賀鈴由線舒疾識(shí)點(diǎn)結(jié)合

1.已知過(guò)點(diǎn)D(-2,0)的地