人教A版高中數學二同步學習講義：第四章圓與方程4.3.2 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精4.3。2空間兩點間的距離公式學習目標1。了解由特殊到一般推導空間兩點間的距離公式的過程.2.會應用空間兩點的距離公式求空間中兩點間的距離．知識點空間兩點間的距離公式思考如圖,在長方體ABCD－A1B1C1D1中,若長方體的長、寬、高分別為a，b，c,則其對角線AC1的長等于多少？答案eq\r(a2＋b2＋c2)。梳理(1）在空間直角坐標系Oxyz中，任意一點P(x，y，z)與原點間的距離|OP｜＝eq\r（x2＋y2＋z2)。（2)空間中P1（x1，y1，z1)，P2（x2，y2,z2)之間的距離|P1P2｜＝eq\r（x1－x22＋y1－y22＋z1－z22）。類型一求空間兩點間的距離例1如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，｜AN|＝2|CN|,|BM｜＝2｜MC′|,求｜MN|的長．解建立如圖所示空間直角坐標系，過M作MF垂直BC于F，連接NF,顯然MF垂直于平面ABCD,所以MF⊥NF，因為|BM｜＝2｜MC′|,所以|BF｜＝2｜FC｜。又｜AN｜＝2|CN|，所以NF∥AB，所以｜NF|＝｜FC｜＝eq\f(1,3）｜AB｜＝eq\f(a,3)，同理｜MF｜＝eq\f（2，3)|CC′｜＝eq\f(2a，3）,因此，點N的坐標為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a,3）,\f（2a，3)，0）)，點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a，3），a,\f（2a，3）））,所以|MN|＝eq\r（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a,3)－\f(a,3）))2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2a，3）－a)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0－\f(2a,3）））2)＝eq\f（\r（5),3）a.反思與感悟在平面直角坐標系中，我們學習了很多性質,但這些性質在空間直角坐標系中并不能全部都適用．如平面直角坐標系中的中點坐標公式，兩點間距離公式可類比到三維空間中，而對直線方程及一些判定定理、性質則在三維空間中不適用．跟蹤訓練1如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C｜＝｜CB|＝｜CA｜＝2，AC⊥CB,D，E分別是棱AB，B1C1的中點，F是AC的中點，求DE,EF的長度．解以點C為坐標原點，CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．∵｜C1C｜＝｜CB|＝｜CA|＝2，∴C（0,0,0）,A（2,0,0），B（0，2,0),C1(0，0,2)，B1（0，2,2）,由中點坐標公式，可得D（1,1，0），E(0,1，2)，F（1，0,0）,∴|DE|＝eq\r（1－02＋1－12＋0－22)＝eq\r(5)，｜EF｜＝eq\r(0－12＋1－02＋2－02）＝eq\r（6).類型二求空間點的坐標例2已知點A（4，5，6),B（－5,0,10），在z軸上有一點P，使｜PA｜＝|PB|，則點P的坐標為_____．答案（0,0，6）解析設P(0，0，z），由|PA｜＝｜PB|，得eq\r（4－02＋5－02＋6－z2)＝eq\r（－5－02＋0－02＋10－z2），解得z＝6.∴點P的坐標為（0，0，6)．引申探究1．若本例中已知條件不變,問能否在z軸上找一點P，使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形？解與例2的結論一樣,P(0,0，6)．2．若本例中“在z軸上”改為“在y軸上”,其他條件不變,結論又如何？解設P(0，y,0)，由｜PA｜＝｜PB｜,得eq\r（4－02＋5－y2＋6－02)＝eq\r(－5－02＋0－y2＋10－02),解得y＝－eq\f（24,5).∴點P的坐標為(0，－eq\f(24,5)，0)．反思與感悟(1)若已知點到定點的距離以及點在特殊位置，則可直接設出該點坐標，利用待定系數法求解點的坐標．(2）若已知一點到兩個定點的距離之間的關系，以及其他的一些條件,則可以列出關于點的坐標的方程進行求解．跟蹤訓練2設點P在x軸上，使它到點P1(0,eq\r（2），3)的距離是到點P2（0,1,－1)的距離的2倍，求點P的坐標．解因為P在x軸上，所以設P點坐標為（x，0，0）．因為｜PP1|＝2｜PP2|，所以eq\r(x－02＋0－\r（2)2＋0－32)＝2eq\r（x－02＋0－12＋0＋12），所以x＝±1，所以點P的坐標為（1,0，0）或（－1，0，0)．類型三空間兩點間距離公式的應用例3已知正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF,點M在AC上移動，點N在BF上移動，若｜CM｜＝|BN|＝a(0＜a＜eq\r(2)）．(1)求｜MN|的長；（2）當a為何值時，|MN｜的長最?。狻咂矫鍭BCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB,AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE兩兩垂直．過點M作MG⊥AB,MH⊥BC,垂足分別為G、H,連接NG，易證NG⊥AB.∵｜CM|＝|BN｜＝a,∴|CH｜＝|MH｜＝｜BG|＝｜GN｜＝eq\f(\r（2），2）a，∴以B為原點，以BA、BE、BC所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz，則Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（2)，2)a,0,1－\f（\r(2）,2)a）），Neq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)，2)a，\f（\r(2),2)a，0））。(1)｜MN｜＝eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)，2）a－\f（\r(2），2）a))2＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0－\f(\r（2）,2)a）)2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r（2），2)a－0））2)＝eq\r（a2－\r(2）a＋1)＝eq\r（\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f（\r(2)，2）))2＋\f(1，2)）。（2）由(1)得當a＝eq\f(\r(2）,2）時，|MN｜最短，最短為eq\f(\r（2）,2)，這時M、N恰好為AC、BF的中點．反思與感悟距離是幾何中的基本度量問題，無論是在幾何問題中，還是在實際問題中，都會涉及距離的問題，它的命題方向往往有三個：(1）求空間任意兩點間的距離；(2)判斷幾何圖形的形狀；(3)利用距離公式求最值．跟蹤訓練3如圖所示,正方體棱長為1，以正方體的同一頂點上的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系Oxyz，點P在正方體的體對角線AB上,點Q在正方體的棱CD上．當點P為體對角線AB的中點,點Q在棱CD上運動時，求|PQ｜的最小值．解建立如圖所示的空間直角坐標系,則P(eq\f(1，2)，eq\f(1，2），eq\f（1，2））．∵Q點在CD上，∴設Q（0,1，z)，z∈[0,1]，∴|PQ｜＝eq\r（\f（1，2）－02＋\f（1，2)－12＋\f（1，2）－z2)＝eq\r(\f（1,2)＋\f(1,2）－z2），∴當z＝eq\f(1，2）時，｜PQ|min＝eq\f（\r(2）,2）.1．坐標原點到下列各點距離最大的點是（)A．（1，1,1) B．(1，2,2）C．（2，－3，5) D．（3,0,4）答案C2．已知點A(x,1，2）和點B（2,3,4)，且｜AB｜＝2eq\r(6),則實數x的值是（)A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2答案D解析由空間兩點間的距離公式，得eq\r（x－22＋1－32＋2－42)＝2eq\r(6）,解得x＝6或x＝－2。3．已知三角形的三個頂點A（2,－1,4),B（3，2,－6）,C（5,0,2），則過A點的中線長為()A.eq\r(11）B．2eq\r(11)C．11eq\r(2）D．3eq\r（11)答案B解析∵BC的中點坐標為(4,1，－2),∴過A點的中線長為eq\r（4－22＋1＋12＋－2－42）＝2eq\r(11).4。如圖，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCD－A′B′C′D′，A′C的中點E與AB的中點F的距離為()A。eq\r(2)a B.eq\f（\r（2）,2）aC．a D.eq\f(1，2)a答案B解析∵A′（a，0，a），C（0,a,0），A(a,0，0)，B(a，a,0)，∴E點坐標為（eq\f(a,2)，eq\f（a,2),eq\f（a，2)）,F點坐標為（a，eq\f(a,2)，0),∴｜EF|＝eq\r(\f（a2,4)＋02＋\f（a2,4))＝eq\f(\r(2）,2)a.5．已知點A（1，a，－5），B（2a，－7，－2),則｜AB|的最小值為________．答案3eq\r(6）解析|AB|＝eq\r(2a－12＋－7－a2＋－2＋52)＝eq\r（5a＋12＋54）。當a＝－1時，｜AB|的值最小,最小值為eq\r(54）＝3eq\r（6）。1．空間兩點間的距離公式是平面上兩點間距離公式的推廣，它可以求空間直角坐標系下任意兩點間的距離，其推導過程體現了化空間為平面的轉化思想．2．若已知兩點坐標求距離，則直接代入公式即可．若已知兩點間距離求參數或點的坐標時,應利用公式建立相應方程求解．課時作業(yè)一、選擇題1．點A在z軸上，它到點(2eq\r(2），eq\r(5)，1）的距離是eq\r（13）,則A點的坐標為（)A．（0,0，－1) B．(0，1，1)C．(0,0,1) D．（0,0，13)答案C解析設A(0，0,c），則eq\r（2\r(2)2＋\r(5）2＋1－c2)＝eq\r（13），解得c＝1。所以點A的坐標為(0,0,1)．2．設點B是點A（2,－3，5)關于xOy平面的對稱點,則A，B兩點的距離為()A．10B。eq\r(10)C.eq\r（38)D．38答案A解析∵點B是A(2，－3，5）關于xOy平面的對稱點，∴點B的橫坐標和縱坐標與點A相同，豎坐標相反，∴B（2，－3，－5）,∴AB的長度是5－（－5)＝10。故選A。3．在空間直角坐標系中，一定點到三個坐標軸的距離都是1,則該點到原點的距離是（)A。eq\f（\r（6),2）B。eq\r（3）C.eq\f(\r(3），2)D。eq\f(\r（6),3)答案A解析如圖,不妨設B1點為定點．由題意知，|B1A｜＝|B1C｜＝｜B1D｜＝1.|OB1｜＝eq\r(|B1D|2＋|OD｜2)＝eq\r（1＋\f(1，2)）＝eq\f(\r（6),2）。4．已知△ABC的頂點坐標是A(3,1,1），B(－5，2，1)，C（－eq\f（8,3）,2,3),則它在yOz平面上的射影圖形的面積是（）A．4B．3C．2D．1答案D解析△ABC的三個頂點A、B、C在yOz平面上的射影點的坐標分別為（0,1，1)、（0,2,1)、（0，2，3),它在yOz平面上是一個直角三角形，容易求出它的面積為1。5．已知三點A（－1，0，1),B（2，4，3），C（5,8,5),則()A．三點構成等腰三角形B．三點構成直角三角形C．三點構成等腰直角三角形D．三點構不成三角形答案D解析∵｜AB|＝eq\r(2＋12＋4－02＋3－12）＝eq\r(29)，|AC|＝2eq\r(29)，｜BC｜＝eq\r(29），∴|AB|＋|BC|＝｜AC｜，∴三點A，B，C共線，構不成三角形，故選D。6．已知A（x,5－x，2x－1），B(1，x＋2，2－x)，當｜AB｜取最小值時,x的值為()A．19B．－eq\f（8,7）C.eq\f（8,7)D。eq\f（19，14)答案C解析∵｜AB｜＝eq\r(x－12＋3－2x2＋3x－32）＝eq\r(14x2－32x＋19），∴當x＝－eq\f(－32,2×14）＝eq\f（8,7)時，|AB|最小．7．一束光線自點P(1，1,1）發(fā)出,遇到平面xOy被反射，到達點Q(3，3，6）被吸收,那么光所走的路程是（)A。eq\r(37)B。eq\r（47）C.eq\r（33）D.eq\r（57）答案D解析點P(1，1，1)關于平面xOy的對稱點M的坐標為(1,1，－1）．一束光線自點P（1，1，1）發(fā)出，遇到平面xOy被反射，到達點Q（3,3，6)被吸收，那么光所走的路程是eq\r(3－12＋3－12＋6＋12)＝eq\r(57）。二、填空題8．在空間直角坐標系中，已知點A（1,0,2)，B（1，－3，1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則點M的坐標為________．答案(0，－1，0）解析設點M的坐標為（0，y,0），由｜MA｜＝|MB|,得（0－1）2＋（y－0）2＋(0－2）2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋（0－1）2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即點M的坐標為（0，－1，0)．9．已知正方體的六個面中,不在同一平面的兩點的坐標分別為A（－1，2，－1)，B(3，－2,3），則正方體的體積是________．答案64解析｜AB｜＝eq\r(－1－32＋2＋22＋－1－32)＝4eq\r(3）。又因為A（－1,2，－1)，B(3，－2,3）不在同一平面上,所以A，B兩點間的距離即為正方體的體對角線長．設正方體的邊長為a，則eq\r(3)a＝4eq\r(3)，即a＝4,所以正方體的體積為64。10．以原點為球心，5為半徑的球面上的動點P的坐標為P（x,y，z)，則x,y，z滿足的關系式為______________．答案x2＋y2＋z2＝25解析由空間兩點間距離公式可得x2＋y2＋z2＝25.11.如圖,在空間直角坐標系中,｜BC｜＝2，原點O是BC的中點,點A（eq\f(\r(3）,2），eq\f(1，2)，0），點D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°,則三棱錐D－ABC的體積為__________．答案eq\f(1，4）解析因為∠BDC＝90°,∠DCB＝30°，｜BC｜＝2。所以|BD|＝1，｜CD|＝|BC｜cos30°＝eq\r（3），所以S△BCD＝eq\f(1,2）×｜BD｜×｜CD｜＝eq\f(\r(3）,2).因為A(eq\f（\r(3),2)，eq\f（1,2），0）,即點A到BC的距離為eq\f（\r(3）,2），所以三棱錐D－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f（\r(3）,2)×eq\f(\r(3），2)＝eq\f（1,4).三、解答題12．在空間直角坐標系Oxyz中，（1)在z軸上求一點P,使得它到點A（4,5，6）與到點B（－7，3，11)的距離相等；（2）已知點M到坐標原點的距離等于2eq\r(3)，且它的坐標分量相等，求該點的坐標．解（1)設P點坐標為(0,0，c),因為｜PA|＝|PB|，所以eq\r(16＋25＋c－62)＝eq\r(49＋9＋c－112）,所以c＝eq\f（51,5），所以P點坐標為（0,0，eq\f（51,5)）．(2）設M點坐標為(a,a，a）,由eq\r(a2＋a2＋a2)＝2eq\r(3）。得a2＝4，所以a＝±2,所以M點坐標為(2，2,2）或(－2,－2，－2)．13．如圖所示,正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，P，Q分別是D′B，B′C的中點，求｜PQ|.解以D為坐標原點，DA，DC,DD′所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，由題意得B（a,a,0），D′(0，0,a),所以P（eq\f(a，2)，eq\f(a，2),eq\f(a,2）)．又C（0,a,0）,B′(a,a,a），所以Q(eq\f（a，2)，a,eq\f（a，2）)．所以｜PQ|＝eq\r(\f（a,2）－\f(a,2)2＋\f(a，2)－a2＋\f(a,2)－\f(a，2)2)＝eq\f(a，2).四、探究與拓展14．對于任意實數x，y，z,則eq\r(x2＋y2＋z2）＋eq\r（x＋12＋y－22＋z