外接球與內(nèi)切球

微專題：空間幾何體的外接球與內(nèi)切球20152017201820192020感悟高考延遲符

近幾年新課標全國卷空間幾何體外接球試題在題型、考查載體、考查能力、解題方法等方面呈現(xiàn)怎樣的特征?01考查以選擇、填空題形式；難度中等；02載體以柱體、錐體為主，對空間想象能力要求較高；03解題關(guān)鍵是找出球心、半徑與其它線面關(guān)系;04熟悉常見模型，將空間問題平面化.一、有關(guān)定義1．球的定義：空間中到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫球面，簡稱球.2．外接球的定義：若一個多面體的各個頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球.3．內(nèi)切球的定義：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球.復習回顧一、球體的體積與表面積①②二、長方體外接球復習回顧三、球體相關(guān)性質(zhì)OO1O2二、外接球的有關(guān)知識與方法1．性質(zhì)：性質(zhì)1：過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與

球的半徑相等；性質(zhì)2：經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該

平面截球所得圓是大圓；性質(zhì)3：過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面

（類比：圓的垂徑定理）；性質(zhì)4：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì)5：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面

的直線相交，交點是球心（類比：在同圓中，兩相

交弦的中垂線交點是圓心）.2．結(jié)論：結(jié)論1：長方體的外接球的球心在體對角線的交點處，

即長方體的體對角線的中點是球心；結(jié)論2：若由長方體切得的多面體的所有頂點是原長方體

的頂點，則所得多面體與原長方體的外接球相同；結(jié)論3：長方體的外接球直徑就是面對角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之，就是：

底面的一條對角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓；結(jié)論4：圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連線段中點處；典型例題

典型例題

思考？456

對棱相等，補全為長方體例2（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為

，則其外接球的表面積是.典型例題

9π典型例題

思考？36π

CAA1B1C1D1DCBO2O1O

ABCSDO2O1O

典型例題

典型例題

三、內(nèi)切球的有關(guān)知識與方法1．若球與平面相切，則切點與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結(jié)論有一致性）.2．內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等.（類比：多邊形的內(nèi)切圓、外接圓）.3．正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.4．正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合.5．基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法）.鏈接高考

1.鏈接高考

鏈接高考

2．(2020·全國Ⅰ)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為(

)A．64πB．48πC．36πD．32π當堂檢測

BBD三、內(nèi)切球的有關(guān)知識與方法1．若球與平面相切，則切點與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結(jié)論有一致性）.2．內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等.（類比：多邊形的內(nèi)切圓、外接圓）.3．正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.4．正棱