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文檔簡介

§4.2洛必達法則一、未定式五、其他類型未定式的極限二、“

”型未定式的極限三、“

”型未定式的極限四、洛必達法則失效的情況一、未定式例如

下列極限都是未定式

如果在某一過程中函數(shù)f(x)與F(x)同是無窮小量或同是無窮大對于型極限有沒有更簡單、更一般的求解方法??因式分解復(fù)雜二、“

”型未定式的極限定理41(洛必達法則I)說明

當定理中xa改為x時洛必達法則同樣有效

(L’Hospital,1661-1704,法國數(shù)學(xué)家)設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件

令f(a)g(a)0

于是f(x)及g(x)在點a的某鄰域內(nèi)連續(xù)在該鄰域內(nèi)應(yīng)用柯西中值定理有

簡要證明

定理41(洛必達法則I)如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足

(1)當xa時

f(x)0

g(x)0

(2)在點a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)且g(x)0

原式

例2.

驗型

例3.例4.例5.解:原式=

存在非零因子化簡例7.例8.

因ex1~x(x0)

故有exsinx1~xsinx(x0)

因arcsinx~x(x0)

故有arcsinx3~x3(x0)例9.

注:

洛必達法則是求解未定式極限的有效方法,但是要結(jié)合各種方法,以求最捷方式.1)等價無窮小替換法2)將極限存在的非零因子分離出來不參與洛必達法則的運算.3)過程中注意化簡.2.只要滿足條件,可多次使用洛必達法則.但每次使用前都必須檢驗極限類型是否為型.

定理42(洛必達法則II)

設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足

說明

當定理中xa改為x時洛必達法則同樣有效

三、“

”型未定式的極限

例10.例11.例12.結(jié)論:都是無窮大量,但是它們的階數(shù)不相同,即有:極限不存在出現(xiàn)循環(huán)四、洛必達法則失效的情況

注:

使用洛必達法則時,若不存在,也不為,這不能說明原極限不存在,此時洛必達法則“失效”,應(yīng)改用其它方法計算.五、其他類型未定式的極限

對于未定式0、、00、1、0都可以轉(zhuǎn)化為例13.

例14.

因為例15.

解因為例16.例17.洛必達

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