2011年考研數(shù)學(xué)微積分基礎(chǔ)3老師

基礎(chǔ)班微積分第3章導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)定義與概念是一元函數(shù)微分學(xué)的內(nèi)容，對它的背景與概念，應(yīng)從極限的角度去認(rèn)識，并且應(yīng)把導(dǎo)數(shù)的定義看作一種標(biāo)準(zhǔn)極限模式。由導(dǎo)數(shù)概念本身，可以得到一性質(zhì)，而這些性質(zhì)是研究函數(shù)性態(tài)的重要依據(jù)與工具。在計(jì)算方面，應(yīng)訓(xùn)練準(zhǔn)確快速的導(dǎo)數(shù)計(jì)算能力。在學(xué)習(xí)中要掌握好基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，以及反函數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)及要點(diǎn)。3．1．1導(dǎo)數(shù)定義及其變形形3.1設(shè)函數(shù)yf(xx0xxx0，yf(x0x)f(x0)f(x0 limylimf(x0x)f(x0)f(x)f(x)limf(x)f( 0x0 x0導(dǎo)數(shù)f(x0的幾何意義:切線斜率。f(x0)A(xAf(x0。其中(xx0f(x0)f(x0)x(x) f(x)f(x0)f(x0)x(x(xxx0導(dǎo)數(shù)定義的描述，還可以擴(kuò)展理解 f

)limf(x0(x))f(x0

3.2如果limylimf(x0xf(x0x0 編考研培訓(xùn)網(wǎng) f(x0x)f(x0顯然由極限存在的充要條件，左、右導(dǎo)數(shù)都存在，且相等f(b)

f(xx0f(xx0f(af(x)在閉區(qū)間[ab上可導(dǎo)，是指f(x)(ab內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，并且f(af(b)均存在。3.1limx[sin

3sinln(11 【解】令t1，則 原極限＝limsinln(13t)sinln(1t) t0 [3sinln(13tsinln(1t)]|t023.2（1）若f(aklimhf(a1f(a h （A）k。（B）k （C）0 （D）不存在limhf(a1f(a h f(a1)f limf(at)f h

t f(a)f(a)上述第最后用到了導(dǎo)數(shù)存在的充要條件：左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，因此應(yīng)選（A2（ 若若

fx)f(0)xf(x)f(f(0)x若limf(xf(0) 編考研培訓(xùn)網(wǎng) 若limf(xf(xf(0) 【解】答案D考點(diǎn)：點(diǎn)連續(xù)概念，導(dǎo)數(shù)定義，無窮小量比階的概念與極限運(yùn)算法則。(D)的成立不一定保證導(dǎo)致可導(dǎo)的兩個(gè)極限存在。請看錯(cuò)誤做法：limf(x)f limf(x)f(0)limf(x)f f(0)f(0)2ff(0)存在。xarctan13.3f(x

x

f(xf(x討論其連續(xù)性。

(esinx xf(xx0f(xx處的可微性，為此考慮極限xarctanf(0) x

esinx f(0) 2

2=ff(xx0f(x(,xarctanx2f(x)2

3 x2 2(x1)

xx0cosxesinx x limf(x)f(0)f(xx0f(x 編考研培訓(xùn)網(wǎng) 局性質(zhì)。3.5f(0)x0fx)f(0)，且f(0)1,若

1cosf(x)sin )xe,則f(0) 2(A)0 (B)1 。 2【解】答案：Clim(1

1cosf(x)sinx

xex0lim1ln(11cosf(x))1,lim11cosf(x)x0 sin x0 sin因?yàn)閒(0)1limf(x0

f(0)于是lim11cosf(x)1limf2x)x0 sin 2 f(0)[f(0)]2limf(x)limf(x)2，得 f(0) 13.6設(shè)f(xx0x0f(x0f(0)0,f(0)2lim(12f(x))sinx【解】所求極限為“1”型，設(shè)法利用標(biāo)準(zhǔn)極限，并與導(dǎo)數(shù)f(0)2相聯(lián)系。

lim(12f

2f(

2f(x)sinx由復(fù)合極限定理，只須考慮極限lim2f(x)lim2f(x) sin sinf(0)0,f(0)2]lim2f(x)2[limf(x)f(0) x]2f(0)] sin x0sin1于是lim(12f(x))sinxe4注：利用導(dǎo)數(shù)定義求某些極限是一類重要題型，應(yīng)熟悉導(dǎo)數(shù)定義的極限構(gòu)造形式，并注意利用復(fù)合極限定理與已知重要極限的結(jié)論。微分概念與相對變化率微分概念f(xxd(f(x)g(x))df(x)dg(x)d(f(x)g(x))f(xdg(x)g(xdf(x)，d(cf(x))cdf c為常數(shù) df(x)g(x)df(x)f(x)d g [f(x)g(x)h(x)]f(x)g(x)h(x)[f(x)g(x)h(x)]f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)f3.7yy(xx,y

1x

xo(xy(1e4

3)e3【解】x,f(x(,yy

，dy

，積分后得到1x 1lnyarctanxlnCyCearctanxy(1)e4，得C。于是yearctanx

3)e3例3.8(2004-2-16）設(shè)函數(shù)fx在,上有定義，在區(qū)間0,2上，fxxx24,若對任意的 都滿fxkfx2k為常數(shù)。（1）寫出fx2,0上的表達(dá)式；（2）k為何值時(shí)，fxx0處可導(dǎo)【解】(1)2x0，即0x22fxkfx2kx2x224kxx2x（2）由題設(shè)知f0f'0

fxf0

xx24

x

f'0limfxf0limkxx2x4 x 0f0，得。即k1時(shí)，fxx0處可導(dǎo) 高階導(dǎo)數(shù)計(jì) d2 如果函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)y(x)仍有導(dǎo)數(shù)[f(x)]，則稱[f(x)]為 f(x)的二階導(dǎo)數(shù)記為y,f(x), d2

f數(shù) 一f數(shù)dxdx

的 d d

f 階導(dǎo)數(shù)，記為 , (x),dxn或dxn例 f(x)ln(23x)的10階導(dǎo)數(shù)是

310(2

310；(2

310(2

310。(2【解】答案為(D)。只須注意到(-1)的次數(shù)（19次、階乘的結(jié)果及3的方冪即可。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與微分法3.2如果u(xxdu(xy

f(u在對應(yīng)點(diǎn)u(u(xdy

f(u，則復(fù)合yf[(xxdydydu或f[(x)]}f(u duarctan例 y x與yln(x x21)的導(dǎo)數(shù)

arctan x)

arctanxln

11

(x2)

1

arctan 2x2[ln(x x21)] 22x23.15yxsinx(x0)【解】(方法1)這類函數(shù)叫做冪指函數(shù)。首先兩邊取對數(shù)，得隱函數(shù) lnysinxlnx。再由隱函數(shù)求導(dǎo)法得1ycosxlnxsinx，從而yxsinx[cosxlnxsinx] 這種先取對數(shù)再求導(dǎo)的方法叫做取對數(shù)求導(dǎo)法。除適用于冪指函數(shù)yu(x)v(x)外，對含有多個(gè)因式相乘除或帶乘方、開方的函數(shù)也適用。(方法 將冪指函數(shù)改寫為yxsinxesinxlnx后，再用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及乘法e2ee2e2x例3.16（2004-4-02）設(shè)yarctanex

，

e2【解】將函數(shù)表達(dá)式改寫為yarctanexx

12

1y

1

2e，ee2x

1 1

e2 1。e21在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)計(jì)算時(shí)，需要引入中間變量，把函數(shù)分解成一串已知導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，再用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，最后要y2x1反函數(shù)與參數(shù)方程的求導(dǎo)法則3.3(反函數(shù)求導(dǎo)法則)xy在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且y0yf(x1內(nèi)也可導(dǎo)， f(x)(y)注：這里的反函數(shù)沒有改變原來函數(shù)yf(x的變量記號例3.19設(shè)f(x)為單調(diào)函數(shù)，g(x)為其反函數(shù)，且f(1)2,f(1) ，f(1)1g(2)；(2)求

f(1x)f。(1)g(xf(x的反函數(shù)的條件中，已經(jīng)改變了變量記號，為利用反函數(shù)導(dǎo)數(shù)，應(yīng)將g(x)易為g(y)，其中yf(x)。由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)可得 f(x)g(y)xf(x)gyf(x)gyyx0 f(x)g(y)[f(x)]2g(y)3令x1，應(yīng)有y2。注意到g(2) 3f

，因此得到g(2) limf(1xf(1)1f(1 3。注：上述(2)是用到了導(dǎo)數(shù)定義。 定理3.4(參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則)若xx(tyy(ttT都可導(dǎo)，且(t0，則由參數(shù)方程x tTdyyty(t)y應(yīng)特別注意：

yx(t)，正

d2

d(yt)

y(t)x(t)y(t)x(t) tt

y(t)x(t)y(t)x(t)

dx

xa(tsin

3.20ya(1cos 在t2【解】由于dyyt

asin

sin (t2k1

f(x)lim1 lim lim f(x)11 sinxx02

f(x)

1 sinxx02 1limf(x)1limsinx xsin

1limf(x)1lim 1limf(x)f(0)0 x 運(yùn)用極限運(yùn)算法則，可推斷極限f(x)f(0) f(x)f(0) lim 存在，且lim 錯(cuò)誤做法：

0limln(1x)sinxf(x)limxxf(x)limf(x)10因此

ex2sinxf(x)sinxex21

0

（方法2）應(yīng)用泰勒則limln(1x)sinxf(x)

x1x2o(x2)sinxf(x)

（2）由導(dǎo)數(shù)定義，極限

f(x)1