浙江省湖州市三賢聯(lián)盟2021-2022學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題Word版含答案

絕密★考試結束前湖州市三賢聯(lián)盟2021-2022學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.在空間坐標系中，點關于軸的對稱點為A.B.C.D.2.在平面直角坐標系中，直線的斜率是A.B.C.D.3.已知向量，且與互相垂直，則k＝A.B.C.D.4.“且”是“方程表示橢圓”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.已知直線分別與軸、軸交于，兩點，點在圓=2上，則面積的取值范圍是A.B.C.D.6.已知橢圓的左右焦點分別為,,離心率為,若橢圓上存在點,使得QUOTE,則該離心率的取值范圍是A.B.C.D.7.如圖，某市有相交于點的一條東西走向的公路與一條南北走向的公路，有一商城的部分邊界是橢圓的四分之一，這兩條公路為橢圓的對稱軸，橢圓的長半軸長為2，短半軸長為1（單位：千米）．根據(jù)市民建議，欲新建一條公路，點，分別在公路，上，且要求與橢圓形商城相切，當公路長最短時，(第7題圖)的長為(第7題圖)A.B.C.D.8.在三棱錐中，兩兩垂直且相等，若空間中動一點滿足，其中且.記與平面所成的角為，則的最大值為A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分；在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.已知直線經(jīng)過點，且直線的一個方向向量為，則下列結論中正確的是A.在軸上的截距為B.的傾斜角等于C.與直線垂直D.向量為直線的一個法向量10.若，分別為，上的動點，且∥，下面說法正確的有A.直線的斜率為定值 B.當時，的最小值為C.當?shù)淖钚≈禐?時，D.11.直線與曲線恰有一個交點，實數(shù)可取下列哪些值A.B.C.1D.12.在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則A.當時,的周長為定值B.當時,三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，有且僅有一個點，使得平面非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，，若，，共面，則實數(shù)＝▲.14.過點作圓的切線，則切線的方程為▲.15.經(jīng)過橢圓的左焦點作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于兩點，則線段的長為▲．16.舒騰尺是荷蘭數(shù)學家舒騰（1615-1660）設計的一種作圖工具，如圖，是滑槽的中點，短桿可繞轉動，長桿通過處的鉸鏈與連接，上的栓子QUOTE可沿滑槽滑動.當點QUOTE在滑槽內(nèi)作往復移動時，帶動點繞轉動，點也隨之而運動.記點的運動軌跡為,點的運動軌跡為.若，，過(第16題圖)上的點向作切線，則切線長的最大值為▲．(第16題圖)四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)如圖，在平行六面體中，，.求：(Ⅰ)；(Ⅱ)的長.(第17題圖)(第17題圖)18.(本小題滿分12分)已知直線經(jīng)過點.（Ⅰ）當在兩坐標軸上的截距相等時，求的方程；（Ⅱ）若與軸、軸的正半軸分別相交于、兩點，當三角形的面積最小時，求的方程.19.(本小題滿分12分)如圖所示，某隧道內(nèi)設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構成．已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側墻高，為，弧頂高為.(Ⅰ)以所在直線為軸，所在直線為軸，為單位長度建立平面直角坐標系，求圓弧所在的圓的標準方程；(Ⅱ)為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部(設為平頂)在豎直方向上的高度之差至少為，問車輛通過隧道的限制高度是多少？(第19題圖)(第19題圖)20.(本小題滿分12分)已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?(第20題圖)(第20題圖)21.(本小題滿分12分)已知兩個定點,，動點滿足，設動點的軌跡為曲線，直線.（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；（Ⅱ）若是直線上的動點，過作曲線的兩條切線,，切點為，，探究：直線是否過定點QUOTE若有，請求出定點，否則說明理由．22.(本小題滿分12分)在平面直角坐標系中,過橢圓右焦點的直線交于，兩點，為的中點，且的斜率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知,為上的兩點，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.湖州市三賢聯(lián)盟2021-2022學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學學科參考答案題號123456789101112答案CACBACDBACDABDACBD13.14.15.16.10.簡解1：已知且，點的可行域為三棱錐的表面及其內(nèi)部.設三棱錐中，則三棱錐中棱.與平面所成的角的正弦值即轉化為與平面所成的角的正弦值.取的中點，則，過作交的延長線于點.點即點在平面內(nèi)的投影，且點落在外部.所以當點取點時，取到最大值.此時，，，，進一步解得.簡解2:由上面分析可知，當點取點時，取到的最大值，如圖建立坐標系，則平面的法向為，，此時.16.簡解：點在以為圓心，1為半徑的圓周上()，點在以為圓心，3為半徑的圓周上()，當、、三點共線時，線段取到最大值4，此時上的點作的切線，切線長取到最大值為.17.解析：(1)…（3分）；…（5分）(2)………（7分），所以..………………（10分）18.（1）在兩坐標軸上的截距相等，當直線不經(jīng)過原點時，設它的方程為，把點代入可得，故的方程為，即.……………（3分）當直線過原點時，設它的方程為，把點代入可得，故的方程為，即.……（5分）綜上可得，直線的方程為或.（2）設直線的方程為，則.………..（6分）得，當且僅當時，等號成立，………..（8分）此時△面積最小，最小值為48.直線的方程為，即.…（10分）19．(1)由題意，有．∵所求圓的圓心在軸上，∴設圓的方程為，∵)都在圓上，∴解得∴圓的標準方程是................................................................（6分）(2)設限高為，作，交圓弧于點(圖略)，則.將點的橫坐標代入圓的方程，得，得或(舍去)．∴．故車輛通過隧道的限制高度為....................（12分）20.因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因為，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．（需證明后方可建系，否則適當扣分）以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．所以，．.......................................................（2分）由題設（）．（1）因為，所以，所以．..................................................（5分）（2）設平面的法向量為，因為，所以，即．令，則...........................................（7分）因為平面的法向量為，設平面與平面的二面角的平面角為，則．當時，取最小值為，此時取最大值為．........................................（10分）所以，此時．.............（12分）21.（1）設點，由可得，，整理可得，所以曲線的軌跡方程為．................（5分）（2）依題意，，則都在以為直徑的圓上，是直線上的動點，設，則圓的圓心為，且經(jīng)過坐標原點，即圓的方程為，又因為在曲線上，由QUOTE可得，即直線的方程為，..............................................（10分）由且，可得，解得.所以直線是過定點...............................................（12分）22.把右焦點代入直線，得............（1分）設，的中點為，則，相減得，即，即，即.又，則又，解得，故橢圓的方程為..............（5分）（2）聯(lián)立消去，可得，解得