中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí) 專題一 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題

因點(diǎn)生相三形題相似三角形的判定定理有3個(gè)其中判定定理1和定定理2都對應(yīng)角等的條件，因此探求兩個(gè)三角形相似的動(dòng)態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等．判定定理是最常用的解題依據(jù)般分三步找一組等角兩種情況列比例方程，解方程并檢驗(yàn)．如果已知∠＝∠探求△與DEF相只要夾和D的兩邊表示出來，按照對應(yīng)邊成比例，分

ABABDF和兩情況列方程．DFDE應(yīng)用判定定理1解，尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等．應(yīng)用判定定理3解不見，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組還有一種情況討兩個(gè)直角三形相似如果一組銳角相等其中一個(gè)直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個(gè)三角形是直角三角形的問題．求線段的長，要用到兩點(diǎn)間的距離公式，而這個(gè)公式容易記錯(cuò)．理解記憶比較好．如圖，如果已知A、兩的坐標(biāo)，怎樣求、B兩間的距離呢？我們以為邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標(biāo)軸平行，這樣用勾股定理就可求斜邊AB的了．水平距離BC的就是AB兩間的水平距離，等于兩的橫坐標(biāo)相減；豎直距離AC就A、兩點(diǎn)間的豎直距離，等于A兩的縱坐標(biāo)相減．圖1

22222222222212014第28二次函數(shù)y＝ax＋x＋（≠）的圖象與x交于A(0)兩點(diǎn)，與y交于點(diǎn)C(0,－)＞點(diǎn)D（1求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含的數(shù)式表示（2如圖，當(dāng)m＝時(shí)，點(diǎn)P為三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積為S，試求出S與點(diǎn)P的坐標(biāo)之的函數(shù)關(guān)系式及的大值；（3如圖，當(dāng)m取值時(shí)，以、D、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形OBC相？圖

圖2請打開幾何畫板文件名14衡動(dòng)P運(yùn)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)到的中點(diǎn)的正下方時(shí)，APC面積最大．拖動(dòng)y軸表示實(shí)數(shù)的運(yùn)動(dòng)，拋物線的形狀會改變，可以體驗(yàn)到，∠ACD和∠ADC可以成為直角．．用交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便．．連結(jié)，△可割補(bǔ)為：△與△的，再減eq\o\ac(△,去)．．討論ACD與OBC相，先確eq\o\ac(△,定)是直角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)直角三角形是否相似．．直角三角形在兩種情況．（1因?yàn)閽佄锞€與x軸于(－、0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(＋x－1)．代入點(diǎn)C(0,－)，得3m＝－3．解得＝m．所以該二次函數(shù)的解析式為y＝(x＋3)(x－1)＝mx＋－3m．（2如圖，連結(jié)．當(dāng)m2時(shí)，C－，y＝2x＋－6那么P,2x

＋4－．由于＝OA)＝x＋x－6)＝－3x－6＋9，2

2APCAOPCOPeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)2222APCAOPCOPeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)222S＝)

＝－x，＝，27所以＝＝＋－＝x－x＝x)．所以當(dāng)x

時(shí)，得最大值，最大值為．4圖3

圖4

圖（3如圖，過點(diǎn)D作軸垂線，垂足為E．過點(diǎn)Ax軸垂線交DE于F由y＝(＋3)(－＝(x＋－4m，得D(－－4．在eq\o\ac(△,Rt)OBC中，∶OC＝∶3．如果△ADC與△OBC相么是角三角形且兩條直角邊的比為∶3．①如圖，當(dāng)∠＝°時(shí)，

3．以．得m＝．m1此時(shí)

OCOC，．以EDOBOB

．所eq\o\ac(△,以)∽．②如圖，當(dāng)∠＝°時(shí)，

FAFD4．所以．得ED

．此時(shí)

DAFD23而DCEC2

．因eq\o\ac(△,此)與不似．綜上所述，當(dāng)＝1時(shí)△∽．考點(diǎn)伸展第（）題還可以這樣割補(bǔ)：如圖，過點(diǎn)P軸垂線與AC交點(diǎn)H．由直線AC＝2x－6可得H(x,－2－6)．又因?yàn)?x,2x＋x－，所以HP－2x－．因?yàn)椤鱌AH與△PCH公共底邊HP，高的和為AC兩點(diǎn)間的水平距離，所以S＝S＝＋APCAPH

＝

(－x－x27＝)2．

圖6

111122014第21如圖，在直角梯形ABCD中，//CD，，∠＝60°，AB＝，BC＝，點(diǎn)P沿線段AB點(diǎn)A向B運(yùn)，設(shè)＝．

（1求AD的；（2點(diǎn)P在動(dòng)過程中，是否存在以、D為點(diǎn)的三角形與以P、、B頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出x的；若不存在請說明理由；（3△與外接圓的面積分別為，若S＝＋，求的最小值.

圖請打開幾何畫板文件名“14益動(dòng)P在上動(dòng)，可以體到，圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段BC垂直平分線上的一條線段．觀察隨P運(yùn)的圖象，可以看到，S有最小值，此時(shí)點(diǎn)看去象是AB的點(diǎn)，其實(shí)離得很近而已．．第（）題先確eq\o\ac(△,定)是角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)三角形是否相似．．第（）題理解△的接圓的圓心O關(guān)鍵，圓心O在定的的直分線上同又在不確定的BP的直平分線上而與是關(guān)的，這樣就可以以AP為自變量，求的數(shù)關(guān)系式．（1如圖，作⊥AB于H，那么AD．在eq\o\ac(△,Rt)BCH中，∠B＝60°，BC，所以BH＝2，CH＝23．以AD＝．（2因?yàn)槭墙侨切?，如eq\o\ac(△,果)APD與PCB相似，那么△一定是直角三角形．①如圖，當(dāng)∠CPB＝90時(shí)AP＝10－2．所以

843＝＝，＝3．此時(shí)與△不似．AD圖

圖3

圖4②如圖，當(dāng)∠BCP＝90時(shí)BP＝2＝．以AP＝．23所以＝＝．以∠APD°．此時(shí)△APD∽△．AD

222222212222222122綜上所述，當(dāng)x＝時(shí)，△∽△．（3如圖，設(shè)△ADP的外接圓的圓心為G那么點(diǎn)G是邊DP的中點(diǎn)．設(shè)△外接圓的圓心為，那么點(diǎn)O在BC邊的垂直平分線上，設(shè)這條直線與BC交于點(diǎn)E，與交點(diǎn)F設(shè)＝2．⊥BP于，那么BM＝PM－．在eq\o\ac(△,Rt)中，＝，∠＝°，所以BF＝．在eq\o\ac(△,Rt)OFM中FM－＝－－m)m－，∠＝30，所以O(shè)M(．所以＝BM＋OM＝)

(m2

．在eq\o\ac(△,Rt)ADP中DP＝AD＋＝124m．以GP＝3＋m于是＝＋＝GP＋OB

2

)＝

22(m＝

．所以當(dāng)m

時(shí)，得最小值，最小值為．7圖5

圖6考點(diǎn)伸展關(guān)于第（）題，我們再討論個(gè)問題．問題，為什么設(shè)＝2m呢這是因?yàn)榫€段＝APPMBMAP＋BM．這樣BM＝5－，后續(xù)可以減少一些分?jǐn)?shù)運(yùn)算．這不影響求的最小值．問題，如果圓心O在段延長線上關(guān)于m的析式是什么？如圖心O在段EF的延長線上時(shí)同的是FM＝－＝(5－)－4＝1．此時(shí)＝BM＋OM＝)

(1)

．這并不影響關(guān)的析式．

22c222c2年湖南省湘第如圖，已知直線y＝－x3與軸軸別交于B兩點(diǎn)，拋物線＝－x＋bx＋經(jīng)過A、B兩，點(diǎn)在段OA上從點(diǎn)O出，向點(diǎn)以秒個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)在段上從點(diǎn)出發(fā)，向點(diǎn)B以秒個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)為t秒（1求拋物線的解析式；（2問：當(dāng)t為值時(shí)eq\o\ac(△,，)為直角三角形；（3過點(diǎn)作//軸交AB點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QF//軸，交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)EF，當(dāng)EF//時(shí)求點(diǎn)的標(biāo)；（4設(shè)拋物線頂點(diǎn)為，結(jié)、BMMQ，問：是否存在的，使以BM為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)B、為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請出的；若不存在，請說明理由．動(dòng)感體驗(yàn)

圖請打開幾何畫板文件“湘26，拖動(dòng)點(diǎn)在上動(dòng)，可以體驗(yàn)到有兩個(gè)時(shí)刻可以成為直角三角形，四邊形EPQF有個(gè)時(shí)刻可以成為平行四邊形MBQ與△BOP有次機(jī)會相似．思路點(diǎn)撥．在APQ，A＝45，夾的條邊APAQ都可用t表，分兩種情況討論直角三角形APQ．先用含t的式子表示點(diǎn)的標(biāo)，進(jìn)而表示點(diǎn)E、F的標(biāo)，根據(jù)PE＝QF列程就好了．．△△都直角三角形，根據(jù)直角邊應(yīng)成比例分兩種情況討論．圖文解析（1由＝－x＋3，得(3,0)，(0,3)將(3,0)B(0,分別代入y＝－＋＋c，得

解得

c所以拋物線的解析式為y＝－＋x＋．（2在中∠＝°AP＝－＝2t分兩種情況討論直角三角形：①當(dāng)∠PQA＝°時(shí)，AP2AQ．解方程－＝2t得t＝（如圖2②當(dāng)∠QPA＝°時(shí)，AQ＝AP．解方程2t2－，得t（圖3

22222222222222圖2

圖（3如圖，因?yàn)镻E//QF當(dāng)//時(shí)四邊形EPQF是行四邊形．所以EP＝FQ所以－y＝y(tǒng)－．EFQ因?yàn)閤＝，＝3，所以y＝3－，＝，y＝－t＋2(3t＋3＝－tPQQF

＋4t．因?yàn)閥－＝－y，解方程－t＝(－tEFQ的坐標(biāo)為(2,．

＋4t)－，得t＝1，或t＝（舍去以F圖

圖5（4由＝－x＋x＋3－x－＋4，M(1,4)由(3,0)B(0,，可、兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離相等＝32．由(0,