傾斜角與斜率

3.1直線(xiàn)的傾斜角斜率3.1.1傾斜角與斜率思考題：

我們都知道，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，一點(diǎn)能確定一條直線(xiàn)的位置嗎？已知直線(xiàn)L經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，直線(xiàn)L的位置能夠確定嗎？過(guò)點(diǎn)P可以做無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，而這些直線(xiàn)區(qū)別在哪里呢？

容易看出上述這些直線(xiàn)的區(qū)別在于直線(xiàn)的傾斜程度。當(dāng)直線(xiàn)L與X軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線(xiàn)L向上方向之間所成的角a叫做直線(xiàn)L的傾斜角。圖3.1-2

圖3.1-2中直線(xiàn)L的傾斜角為銳角，直線(xiàn)L`的傾斜角為鈍角。當(dāng)直線(xiàn)L與x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0°，因此直線(xiàn)的傾斜角a的取值范圍為

0°≦a≦180°.這樣平面直角坐標(biāo)系內(nèi)每一條直線(xiàn)都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜角程度相同的直線(xiàn)，傾斜角相等，否則不相等。

如上所述，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)上的一點(diǎn)不能確定一條直線(xiàn)的位置，同樣已知直線(xiàn)的傾斜角a，也不能確定一條直線(xiàn)的位置，但是，直線(xiàn)上的一點(diǎn)和這條直線(xiàn)的傾斜角可以唯一確定一條直線(xiàn)，因此，確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線(xiàn)的幾何要素：直線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可。思考題：日常生活中，還有沒(méi)有表示傾斜角的量？如圖

如圖，日常生活中我們經(jīng)常用“升高與前進(jìn)量的比”表示傾斜面的“坡度”（傾斜程度），即

***坡度=升高量/前進(jìn)量升高前進(jìn)圖3.1-3

如果我們使用“傾斜角”這個(gè)概念，那么這里的坡度（比）實(shí)際就是傾斜角a的正切，我們把一條直線(xiàn)的傾斜角a的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，斜率常用字母k表示，即

k=tana。例如：傾斜角a=45°時(shí)，這條直線(xiàn)的斜率

k=tan45°=1傾斜角a=135°時(shí)，由（180-45°）=-tan45°=-1注意：傾斜角90°的沒(méi)有斜率。

傾斜角a不是90°的直線(xiàn)都有斜率，傾斜角相同，直線(xiàn)的斜率也不同，因此我們可以用斜率表示直線(xiàn)的傾斜程度。給定兩點(diǎn)p`(x`,y`)，p``(x``,y``)，x`≠x``我們求直線(xiàn)p`p``的斜率k.如圖3.1-4（1）(2)設(shè)直線(xiàn)p`p``的傾斜角a（a≠90°）當(dāng)直線(xiàn)p`p``的方向向上時(shí)，過(guò)點(diǎn)p`作x軸的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)p``作y軸的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)相交于Q，于是Q的坐標(biāo)為（x``,y`）。下面我們就探究如何由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算直線(xiàn)的斜率圖3.1-4如圖3.1-4（1），當(dāng)a為銳角時(shí)a=∠QP`P``x`<x``,y`<y``在RT三角形P`P``Q中，tana=tan∠Qp`p``=y``-y`/x``-x`于是可得

tana=y``-y`/x``-x`即

k=y``-y`/x``-x`同樣當(dāng)p``p`方向向上時(shí)，也有tana=y``-y`/x``-x`即k=y``-y`/x``-x`總上述所述，我們得到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)p`(x`,y`)，p``(x``,y``)（x`≠x``）的直線(xiàn)的斜率公式得

K=y``-y`/x``-x`例1：如圖3.1-5，已知A（3，2）B（-4,1）C(0,-1),求直線(xiàn)AB,BC,CA的斜率？并判斷這些直線(xiàn)的傾斜角是銳角還是鈍角？解：直線(xiàn)AB的斜率k`=1/7

直線(xiàn)BC的斜率k``=-1/2

直線(xiàn)CA的斜率k```=1由k`>0,及k```>0,直線(xiàn)AB，CA的傾斜角均為銳角，由k``<0,知直線(xiàn)BC的傾斜角為鈍角。例2：在直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且斜率分別為1，-1，2及-3的直線(xiàn)L`,L``,L```及l(fā)````分析：要畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l`,只須在找出位于l`上的某一點(diǎn)A`來(lái)，A`的坐標(biāo)可以由0A`的斜率確定。解：設(shè)A`(X`,Y`)是直線(xiàn)l`上的一點(diǎn)，根據(jù)斜率公式有1=y`-0/X`-0設(shè)x`=1,則y`=1,于是A`的坐標(biāo)是（1，1）過(guò)原點(diǎn)及A`(1,1)的直線(xiàn)即為L(zhǎng)`,如圖3.1-6同理，有-1=y``-0/x``-0,得y``=-x``,設(shè)x``=1,則y``=-1,于是得直