二次微分方程的通解

rxrx2rx2rx2rx海量資源，歡rxrx2rx2rx2rx第六節(jié)階常系數(shù)齊線性微方程教學(xué)目：使學(xué)生掌二階常數(shù)齊次線性分方程解法，了解階常系非齊次線性分方程的解教學(xué)重：二階常系齊次線微分方程的法教學(xué)過

：一二階常數(shù)齊次線性分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程y稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方、q均常如果y、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)y就是它的通1我們看選r滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方y(tǒng)代方程y得(r由此可r滿代數(shù)方程r

就是微分方程的特征方r做微分方程rr可公1式求出特征方程的根與通解的關(guān)(1)特征方程有兩個不相等的實根r、r12

y

r

、

y

r

是方程的兩個線性無關(guān)的這是因函數(shù)

y

r

、

y

r

是方程的解

1y2x

(r)

不是常數(shù)因此方程的通解為rryee(2)特征方程有兩個相等的實根r時12

y

r

、

y

r

是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的解這是因

y

r

是方程的解

r(((i(r(((i(i((1222322x(2rp)(rpr)

所以

y

r

也是方程的解

2y1e

不是常數(shù)因此方程的通解為yex

rx

(3)特征方程有一對共軛復(fù)根r1,2

是微分方程的兩個線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解cosysin是微分方程的兩個線性無關(guān)的數(shù)形式的函數(shù)y1

和y2

都是方程的解公y1y2

(cos(cosy12

cos

cos

12

y12

e

1i

y)1

故ecos也方程2可以驗1

cosy2

sin是程的線性無關(guān)因此方程的通解為y(Csin1求二階常系數(shù)齊次線性微分方程第一步寫出微分方程的特征方程r第二步求出特征方程的兩個根r、r1第三步根據(jù)特征方程的兩個根的不同情方程的通解例微分方程y解所給微分方程的特征方程為rrr其根r不等的實通為1ye12例方程y解x解所給方程的特征方程為rr其根r個相等的實微分方程的通解為12yx)12

2(n(n(nn023n(nrxrxnnnrxrx2(n(n(nn023n(nrxrxnnnrxrxrxnnnrxrx將條件y代入通1y)e2

將上式對x求導(dǎo)y)2再把條件y上式解為2x)例微分方程y解所給方程的特征方程為rr特征方程的根為r復(fù)12因此所求通解為y(Ccos2xsin2)1常系數(shù)齊次線性微分方y(tǒng)y1

2

nn稱為n階系數(shù)齊次線微分方12n二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形階系數(shù)齊次線性微分方程上去引入微分算子子n次項L(D)=D

D1

n

D2

n

n則常系數(shù)齊次線性微分方程可記作(D

n

D1

n

D2

n

Lnn注做分算子分析L(D)(D)

r1

r2n

r)e

因此如果r多項式Lr)根是微分方程(D)的常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方Lr)

r1

r2

n稱為微分方程Ly的征方程特征方程的根與通解中項的對單實根r對應(yīng)于一項

一對單復(fù)根rcos112k重根r對于k項(Cx12一對k重根r12e[(xx12k2k

(4)42(4)444222m(4)42(4)444222mm222例方程y解這里的特征方程為rr(r它的根是r和r123因此所給微分方程的通解為y)123例方程y通解解這里的特征方程為r它的根為

r

(1)

r3,4

(1)

因此所給微分方程的通解為

x

2

sin

2

x

x

2

sin

2

x

二、二常系數(shù)非齊線性微方程簡介二階常系數(shù)非齊次線性微分方y(tǒng)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方、q是數(shù)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程的通解yx)與非齊次方程本身的一個特解y*(x)之yx*()當(dāng)fx為兩種特殊形式解求法一、())型m當(dāng)f))m

時解也應(yīng)具有這種形為*)e

入方程Qm(1)如果征方程r

的根m次項Q()m01m通過比較等式兩邊同次項系數(shù)b0my*()m

(2)如果方程r的單根Qm成立)應(yīng)設(shè)為多項式Q()()m

mm2222mm22mm2222mm222Q()m01m通過比較等式兩邊同次項系數(shù)b0my*()m(3)如果方程r的二重根Q

x)()m成立)應(yīng)設(shè)為多項式Q()Q(xmQ()m0

1

m通過比較等式兩邊同次項系數(shù)b0my*(x)em綜上所下論f))常系數(shù)非齊次線性微分方程m形如y*

Q()m的特解(x是與(同次的多項特征方程的根征程單根或是特mm征方程的的重根依次取為、1或2例微分方程y解這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方f(x)是(x)e型(其中P(x)mm

與所給方程對應(yīng)的齊次方程為y它的特征方程為rr由于這特方程的特為y*0把它代入所給方01比較兩端x同冪的系

0由此求得01y*3

b

13

所方程的一個特解為例微分方程y解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方)是P(x型其中m

2232112222222222222222222222222x2212232112222222222222222222222222x221212(x(與所給方程對應(yīng)的齊次方程為y它的特征方程為rr特征方程有兩個實根r對的齊次方程的通解為12e1由于征程的單設(shè)方程的特解為y*xe0

把它代入所給方0比較兩端x同冪的系

001由此求得b0

12

程一個特解為1y*x

x

從而所給方程的通解為e2x(x2xe2

2

提示y*xexe0[()]x)xx01[()0

])x)00101

]

y*x)])e]x)e]0100bx)x)e5[(2bx)xx)e00101bxx)]e0001

]001

方程y(x)sin]的特解形式ln應(yīng)用歐拉公式可得e[P((x]lx)

(

x

(

(

x

其中

x)Pil

(Pil

max{l設(shè)方程y

的特解為y*()1m

ee(1)(2)21海量資源，歡ee(1)(2)21則

y*

(x)e

(

必是方程

y

)e

(

的特解其中k按方程的根或是特征方程根依次取01于是方程y

[(x)cos()sin的特解為ln

[R

(1)m

()cos

(2)m

]綜上所下論如果f()

[((x]常系數(shù)非齊次線性微分方程lny的特解可設(shè)為y*

[R

(1)m

()cos

(2)m

(其中)、R)m次項l按的根或是特征m方程的單根依次取0或例微分方程y特解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方且fx屬于e[((x)sin型(其中l(wèi)nl與所給方程對應(yīng)