古典概型中的幾類基本問題

[3]26[3]26古典概型中的幾類基問題1引言對(duì)于古典概型問題的求解，首先做到這三方面的工作

：一是明確分辨問題的性質(zhì)，即不是古典概型問題掌古概型的公式根據(jù)公式要求

基本事件總數(shù)

有利事件總數(shù)）的值

[2]17

，這是解題的關(guān)鍵一步，計(jì)算方靈活多變，沒有一個(gè)固定的模式，但古典概型的種種解法大體上都是圍繞n和k展的拋硬幣、擲骰子、摸球、取數(shù)等機(jī)試驗(yàn)，在概率問題的研究中有著十分重要的意義．一方面這些模型是人們從大量的隨機(jī)現(xiàn)中篩選出來的理想化的概率模型，它們的內(nèi)容生動(dòng)形象，結(jié)清楚明確，富有直觀性和典型性，于深入淺出地反映事物的本質(zhì)，揭示事物的規(guī)律．另一方面這種模式化的解決，常常歸結(jié)為某簡(jiǎn)單的模型．因此，有目的地考察并掌握若干常見的概率模，有助于我們舉一反三，觸類旁通豐富解題的技能和技巧，不斷提高解題能力．通過對(duì)相關(guān)資料的查詢及老師的導(dǎo)，本文主要討論古典概率的三類基本問題：摸球問題、質(zhì)點(diǎn)入盒問題、隨機(jī)取數(shù)問題，給它們的一般解法，指出其典型意義，并介紹其推廣應(yīng)用．2摸球模型摸球模型是指從

個(gè)可分辨的球中按照不同的要求例如是否放回、是否計(jì)序等）一個(gè)一個(gè)地從中取出

（

n

而不同的樣本空間在各自的樣本空間中計(jì)算事件的概率般說來，根據(jù)摸球的方式不同，分為四種情況來討論，得如下表一的四種不同的樣本空間表一

：摸球方式

不同摸法總數(shù)從個(gè)球中摸m個(gè)球

有放回

計(jì)序不計(jì)序

nm

無放回

計(jì)序不計(jì)序

A

mn其中

Hmm

表示從

個(gè)不同元素中取

個(gè)元素進(jìn)行元素的可重復(fù)的組合其不同的組

m合個(gè)數(shù)，對(duì)各種情況先舉例及推應(yīng)用：m有放且計(jì)序球如果摸球是從n個(gè)辨的球按有放回且計(jì)序的方式一個(gè)一個(gè)地中取出m個(gè)這時(shí)樣本空間的基本事件，總數(shù)應(yīng)按相異元素許重復(fù)的排列公式計(jì)算，因而有個(gè)種形是我們經(jīng)常遇的，下面來看個(gè)例子．例

1

用

1

、

2

兩個(gè)數(shù)字組成

3

個(gè)數(shù)，組成多少個(gè)數(shù)？思考方法在字排序的問題中百位、十位、個(gè)位這三個(gè)位置上必須找出一個(gè)數(shù)字，至于每個(gè)是否均有位置，則不作要求，以這是個(gè)有放回且計(jì)序的摸球問題，從而在各個(gè)位置上可以2

的任一個(gè)．依乘法原理不同的組數(shù)有

n

m

2

3

8

個(gè)．有放且計(jì)序球從

個(gè)相異元素每次取出允許重復(fù)的

個(gè)元素，不計(jì)次序并成一組，叫從

個(gè)相異元素允許重復(fù)的

元組合，其所有組合的個(gè)數(shù)為

n

，通過下面的這個(gè)例子我們也可看出它的典型性．例

2

匣內(nèi)裝顏色分別為紅、白、黑的個(gè)球，有放回不按序選取，問匣內(nèi)任取兩個(gè)不同顏色的球的概率為多少？思考方法為有放回不按序摸問題，設(shè)示從匣內(nèi)有放回不計(jì)序選取兩個(gè)同顏色的球的事件．由題設(shè)可知，樣本空間基本事件總數(shù)為23數(shù)為求概率為．23

1

，事件

A

所含的基本事件無放且序摸如果摸球是無放回且計(jì)序摸球，時(shí)樣本空間的基本事件總數(shù)等于從n個(gè)同中取出m元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)為A，是n互異元素的全排列

n

，種情形也是摸球模型的重要類型．例

3

袋中有

個(gè)白球，

個(gè)黑球，從中陸續(xù)取出

個(gè)求這

3

個(gè)球依次為黑白黑的概率．思考方法每樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)著

個(gè)球中依次取出三個(gè)球的一種取慮先后順序，屬于排列問題

A

表示事取出

3

個(gè)球依次為黑白黑

個(gè)球中依次任取三個(gè)

P

3種取法即樣本點(diǎn)總數(shù)．對(duì)于利事件，第一個(gè)和第三個(gè)黑球可在黑球中依次取得P種

取法；第二個(gè)白球可在

個(gè)白球中取得，有P取法．因此，包含樣本點(diǎn)總數(shù)為PP，于是

23

．

無回不序題如果摸球是無放回且不計(jì)序，其本空間的基本事件總數(shù)是從不同元素中取出若干個(gè)元素的所有不同的組合個(gè)數(shù)．例

4

袋中有

個(gè)白球，個(gè)球中回取出

（

m、nN，n

）個(gè)球，試求所取出的球恰有個(gè)球的概率．思考方法：這些同類球都不加區(qū)，即不計(jì)序，又抽取后部返回，因而本例屬無放回且不計(jì)序的摸球模型，其基本事件總數(shù)為

C

，此事件

A

為“取出

n

個(gè)球中恰有

m

個(gè)白球件

A所包含的樣本點(diǎn)數(shù)，相當(dāng)于從

個(gè)白球中取出

個(gè)，從另外

m

個(gè)球中任取

個(gè)取法種數(shù)共CmC

，所以

(A)

mCmn

．前面我們對(duì)摸球模型的各種類型行了歸納，如果把白球、黑球換成產(chǎn)品中的正品、次品，或換成甲物、乙物，這樣的人、那的人……就可以得到形形色色的摸球問題．如果能靈活地將些實(shí)際問題與前面的模型類型對(duì)號(hào)座，我們就能解決有關(guān)的實(shí)際問題，為我們的生活帶來方便樂趣，例如燈泡廠檢驗(yàn)合格率等這產(chǎn)品抽樣問題；還有可以把全班學(xué)生分成兩組，求每組中男生人數(shù)相對(duì)等的概率副撲克中任取

6

張

3

張紅色的和

3

張黑色的概率安值班的問題中，也可以按照無放回模型進(jìn)分析；在買彩票的過程中，可以把雙色球、3D

、

36

選

7

等玩法的中獎(jiǎng)概率求出，增加自己中獎(jiǎng)會(huì)．這樣不僅把古典概率的知識(shí)應(yīng)用在了生活中，給生活帶方便，同時(shí)也使數(shù)學(xué)給自己帶來了趣，激發(fā)了對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的動(dòng)力．3

質(zhì)點(diǎn)入盒模型該模型是指有

個(gè)可分辨的盒子，

（

）個(gè)質(zhì)點(diǎn)，按照質(zhì)點(diǎn)是否可分辨每盒可容納質(zhì)點(diǎn)的多少等不同情況，把m個(gè)點(diǎn)放入n可分辨的盒子，從而形成不同的樣本空間，然后在各樣本空間計(jì)算事件的概率，與摸模型類似，這里也可分四種情況討論，清晰地可見這種模型具體分類情況，如表二

[3]p(37)

：表二放入方式

不同摸法總數(shù)

每盒可容納任

質(zhì)點(diǎn)可分辨

n

m意多個(gè)質(zhì)點(diǎn)

質(zhì)點(diǎn)不可分辨

每盒最多容納一個(gè)質(zhì)點(diǎn)

質(zhì)點(diǎn)可分辨質(zhì)點(diǎn)不可分辨

A

mn每盒容任意個(gè)點(diǎn)質(zhì)可辨質(zhì)點(diǎn)需要分辨的問題就是排列問，盒子能容納任意多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的問題就是重復(fù)排列問題．例

1

有5不同的質(zhì)點(diǎn)個(gè)樣以

110

的概率落入1個(gè)子件定的一個(gè)盒子中恰有個(gè)概率．思考方法：由題意知，盒子容納點(diǎn)的數(shù)目不限，又質(zhì)點(diǎn)可分辨，故為重復(fù)排列問題，其基本事件總數(shù)為

n

m105

．在指定的一個(gè)盒子中恰有3個(gè)質(zhì)，有C種，余下的個(gè)點(diǎn)可任意放入余下的

9

個(gè)盒中，共有

9

2

種不同選法，因而事件

所包含的基本事件總數(shù)為

9

C

，故所求概率為

P(A)

92C105

35

810100000

008

．每盒容任意個(gè)點(diǎn)質(zhì)不分

個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)進(jìn)入

個(gè)盒中，質(zhì)點(diǎn)不需分辨屬組合問，又每盒能容納任意多個(gè)質(zhì)點(diǎn)，該組合為元素允許重復(fù)的組合，樣本空中含有

個(gè)樣本點(diǎn)，即其基本事件總為nm1

．例

2

將例1“5個(gè)同的質(zhì)點(diǎn)”換“個(gè)同的質(zhì)點(diǎn)思考方法：質(zhì)點(diǎn)不需分辨屬組合題，又每個(gè)盒子容納的質(zhì)點(diǎn)不限，故該組合為元素可重復(fù)的組合，其基本事件總數(shù)為

，因3質(zhì)點(diǎn)有C種，其兩質(zhì)點(diǎn)可能落入兩個(gè)盒中，有

C

種選法；也可能落入一個(gè)盒中有

種選法，故有(A)

31599

2每盒多容納質(zhì)且點(diǎn)分這樣的問題是屬于元素不允許重的排列問題．

例

3

將3不同質(zhì)點(diǎn)投入盒中質(zhì)點(diǎn)都以

15

的概率進(jìn)入每一個(gè)盒中限每最只容納一質(zhì)點(diǎn)，求：事件

A

={指定個(gè)盒子為的思考方法因點(diǎn)互異，且每盒多只容納一質(zhì)點(diǎn)，故屬元素不允許重復(fù)的排列問題，因而其基本事件總數(shù)為

A

60，件A所基本事件為

34

，P(A)

343

4

．每盒多容納質(zhì)且點(diǎn)需辨例

4

將將

3

個(gè)相同質(zhì)點(diǎn)投入

5

個(gè)盒中，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都以

15

的概率進(jìn)入每一個(gè)盒中，且限定盒最多只容納一質(zhì)點(diǎn)，求：事件A={定的一個(gè)盒為的率．思考方法：質(zhì)點(diǎn)不需分辨，屬組問題，又每盒最多只容納一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，該組合為元素不允許重復(fù)的組合，因而其基本事件總數(shù)

，事件

A

所包含的基本事件總數(shù)為

34

，故(A)45

．質(zhì)點(diǎn)入盒模型概括了很多的古典型問題果把盒子看作65天可究n個(gè)的生日問題；如果把盒子看作每周的

7

天，又可研究值班的安排問題；果把質(zhì)點(diǎn)看作人，盒子看作房子，又可研究住房分配問題；如果把粒子作質(zhì)點(diǎn)，子作間小，又可研究統(tǒng)計(jì)物理的MaxwellBoltzmann

統(tǒng)計(jì)模型；如果把信看作質(zhì)點(diǎn)，子看作郵筒，又可研究投信問題；如果把骰（硬幣質(zhì)點(diǎn)（上面和反面看

個(gè)盒子又究骰硬幣）問題；如果將旅客視為質(zhì)點(diǎn)各個(gè)車站看作盒子，又可研究旅客下車問題等．不難看出質(zhì)入盒模型可以用來描述很多直觀景不同但實(shí)質(zhì)都完全一樣的隨機(jī)試驗(yàn)透過表面抓住本，把相關(guān)問題與相應(yīng)的模型聯(lián)系起，加以轉(zhuǎn)化，這樣問題就不難解決了．4

隨機(jī)取數(shù)模型與前面的兩種模型相比，此模型類情況較簡(jiǎn)單些，分為有放回地隨機(jī)取數(shù)和無放回地隨機(jī)取數(shù)兩種情況

．有放地機(jī)取取出的數(shù)字還原時(shí)，其樣本空間基本事件總數(shù)可按從n個(gè)不同字里取出m個(gè)重復(fù)排列計(jì)算問題．例

1

從

10

這十個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，假定各個(gè)都以同樣的概率被取中，然后還原，先后取出

7

個(gè)數(shù)，試求下列各事件的概率：

1

:

7

個(gè)數(shù)全不相同；

A

2

:不含

9

和

2

；

A

3

:

8

至少出現(xiàn)三次；

A:少現(xiàn)兩次；4

A

6

:到的最大數(shù)恰為6．

4思考方法本所及的隨機(jī)試驗(yàn)就取樣方法來說，屬于返回取樣．也就是說，把某數(shù)取出后4還原，下次仍有同樣的可能再取這個(gè)數(shù)．注意到這一特點(diǎn)，運(yùn)用上面介紹的思想方法，此題不難得解．解依設(shè)，樣本空間就10個(gè)異元素允許重復(fù)的7排列．所以，樣本點(diǎn)總數(shù)1．事，所取的個(gè)互不相同的，慮到各個(gè)數(shù)取出時(shí)有先后順序之分，所以有1利場(chǎng)合相當(dāng)于從10相異元素每次取出7個(gè)相素的排列因此，所的樣本點(diǎn)數(shù)為1P

710

．于是

P)1

P10107

06048

．事A，后取出的數(shù)不含9和2，所這7個(gè)能從2

數(shù)中取得．注意到試驗(yàn)屬于有返取樣，則

A

2

的有利場(chǎng)合，相當(dāng)于

8

個(gè)互異元素允許重復(fù)的

7

元排列．于是

A

2

所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為

8

7

，有

P)2

8710

2097

．事件A中的三次8，可取數(shù)的意三次，有C種選法；其余的4次次可37以去剩下的9個(gè)中的任一個(gè)，有9種．因此

P)3

C39710

4

0230

．

事件

A

4

是六個(gè)兩兩互不相容事件“

5

恰好出現(xiàn)

k

次”

4

7k2

k7

77

1497

．也可考慮A的事件．這里A事件5恰好出一次或次現(xiàn)然44P)4

C19710

7

8503所以，

)14事

5

的有利場(chǎng)合，就是

6

個(gè)相異元素

允許重復(fù)的最大數(shù)恰好為

6

的

7

元排列．這種排列可以分為6出1次1次2次，次，4次5，77類然，們的排列數(shù)依次為CC55,5,C5,于是777P5

7k1

Ck5k7107

0202

77事件A的場(chǎng)合的有利場(chǎng)合也可以這樣來考慮數(shù)不大于6的重排列577

6

7種，它可以分為兩類，一類是最數(shù)恰好是

6

的

7

元重復(fù)排列；一類是最大數(shù)小于

6

的

7

元重復(fù)排列意到第類重復(fù)列5種，則一重復(fù)排列有65種．于P)5

6

710

57

7

無放地機(jī)取如取出的數(shù)字不還原，其樣本空的事件總數(shù)要根據(jù)取數(shù)是計(jì)序或不計(jì)序，按不重復(fù)的排列或組合計(jì)算．例

2

從任取三個(gè)同的數(shù)字，試求下列事件的概率：

A1

:三個(gè)數(shù)字中不含05A

2

:三個(gè)數(shù)字中不含5．解所三個(gè)數(shù)不計(jì)序，本例屬素不允許重復(fù)的組合問題，其基本事件總數(shù)為

．有于的基事件總數(shù)為1

m

C

,是所求概率為

)1

383

．在的十個(gè)數(shù)字中任取

3

個(gè)不含

0

的數(shù)字共有

C

個(gè)，同樣任取

3

個(gè)不含

5

的數(shù)字共有

C

個(gè)．這些個(gè)數(shù)中均包含既不含

0

又不含

5

的

3

個(gè)數(shù)字的個(gè)數(shù)

C

．于是這樣的

3

個(gè)不同數(shù)字被算了兩次，即多算了一次，造成了重復(fù)因而有利于事件A的本件2

,故所率為

)2

3)983

．隨機(jī)取數(shù)模型作為典型的古典概，解題的思想方法對(duì)于同類問題具有指導(dǎo)意義．但絕不能把它作為現(xiàn)成的公式亂套，有些問表面看機(jī)構(gòu)相仿，實(shí)質(zhì)上差別較大，須斟酌題意靈活運(yùn)用．機(jī)取數(shù)模型在日常生活也可應(yīng)用在訊公司計(jì)算電話號(hào)碼，單位票據(jù)編號(hào)完全不同的概率等實(shí)際題中．作為古典概型在事件生活中的應(yīng)，現(xiàn)例舉一綜合例子：我們?cè)趶R會(huì)，公園里都可以看到這種游戲的，袋中有3顏色的相同玻璃球，有個(gè)，大家可以免費(fèi)參加摸球游戲，每從袋中摸3球，獎(jiǎng)罰規(guī)則下：摸出3個(gè)若：顏只有一種獎(jiǎng)勵(lì)玩家

5

元；

有種顏色的情況罰玩家

元；

有三種顏色的情況獎(jiǎng)勵(lì)玩家

2

元．面對(duì)這種情形，我們大多數(shù)人都對(duì)其產(chǎn)生誘惑，會(huì)高興地“免費(fèi)”試試身手，但我們學(xué)習(xí)完

古典概型的知識(shí)后，可以看到這游戲背后的真相．對(duì)、概率利用古典概型的識(shí)可得為

1339

11,P3233C9

111,P3339

．直觀地說，就是在84

次的摸球中，第一種情況有3次老得

3515

元，第二種情況有54次，玩家輸去54*154

元，