三年級奧數教程

-.z.......word..目錄TOC\o"1-3"\h\u27648第一講速算與巧算 130822(一)加減法中的計算 27568(二)乘除法中的計算 31394第二講找規(guī)律 625692〔一〕豎列規(guī)律 628121〔二〕圖形規(guī)律 824801第三講數字謎 94795〔一〕橫式字謎 928682〔二〕豎式字謎 121143〔三〕趣味九宮格 1516723第四講圖解法解應用題 1716628第五講列方程式解應用題 203295第六講植樹問題 2113543第七講雞兔同籠問題 255351第八講移多補少平均數 2714928第九講歸一問題 2920681第十講倒推法 3313422第十一講列舉法 368894第十二講奇數與偶數 408390第十三講周期性問題 4419895第十四講有趣的幾何圖形 463064第十五講邏輯推理 504965第十六講一筆畫 5216959第十七講火柴棍游戲 55826(一)擺圖形游戲 5516607(二)移動火柴，變換圖形游戲 562717(三)去掉火柴，變換圖形游戲 57第一講速算與巧算計算是數學的根底，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的開展。森林王國的歌舞比賽進展得既緊*又劇烈。選手們?yōu)闋帄Z冠軍，都在舞臺上發(fā)揮著自己的最好水平。臺下的工作人員小熊和小白兔正在統(tǒng)計著最后的得分。由于他們對每個選手分數的及時通報，臺下的觀眾頻頻為選手取得的好成績而熱烈鼓掌，同時，觀眾也帶著更濃厚的興趣邊看邊猜想誰能拿到冠軍。觀眾的情緒也影響著兩位分數統(tǒng)計者。只見分數一到小白兔手中，就像變魔術般地得出了答案。等小熊滿頭大汗地算出來時，小白兔已欣賞了一陣比賽，結果每次小熊算得結果和小白兔是一樣的。小熊不禁問："白兔弟弟，你這么快就算出了答案，有什么決竅嗎？〞小白兔說："比方2號選手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90為基準數，超過90的表示成90+‘零頭數’，缺乏90的表示成90－‘零頭數’。于是〔93+95+96+88+89+91+93+91〕÷8=90+〔3+5+6―2―1+1+3+1〕÷8=90+2=92。你可以試一試。〞

小熊照著小白兔說的去做，果然既快又對。這下小熊明白了，掌握了速算的技巧，在工作和生活中的作用很大。它不僅可以節(jié)省運算時間，更主要的是提高了我們的工作效率。我們在進展速算時，要根據題目的具體情況靈活運用有關定律和法則，選擇合理的方法。下面介紹在整數加減法運算中常用的幾種速算方法。加減法中的計算例題與方法指導：例1、用簡便方法計算下面各題：〔1〕63+48+173+37+52〔2〕9+99+999+9999+4例2、用簡便方法計算計算下面各題：⑴1000－90－80－20－10〔2〕1508－561＋61例3、用簡便方法計算計算下面各題：⑴576＋〔432－176〕⑵1689＋999－689例4、計算〔22＋24＋26＋28＋30＋32〕－〔21＋23＋25＋27＋29＋31〕訓練穩(wěn)固1．用簡便方法計算計算下面各題：⑴1362＋973＋638＋27⑵7443＋2485＋567＋2452．下面各題，怎樣簡便就怎樣計算：⑴1886＋1998⑵5426－29953．計算：⑴1088＋988＋88＋36⑵49999＋4999＋499＋49＋44.計算：⑴103＋99＋103＋97＋106＋102＋98＋98＋101+102拓展提升1．用簡便方法計算下面各題：⑴9＋99＋999＋9999⑵4996＋3993＋2992＋1991＋982．下面各題，怎樣簡便就怎樣計算：⑴93＋92＋88＋89＋90＋91＋88＋87＋94＋89⑵20＋19－18－17＋16＋15－14－13＋12＋11－10－9＋8＋7－6－5＋4＋3－2－13.計算下面各題：⑴〔38＋42＋46＋50＋54＋58＋62＋66＋70〕－〔37＋41＋45＋49＋53＋57＋61＋65＋69〕⑵〔1999＋1997＋1995＋……＋3＋1〕－〔1998＋1996＋1994＋……＋4＋2〕(二)乘除法中的計算一、例題與方法指導：兩個數之和等于10，則稱這兩個數互補。在整數乘法運算中，常會遇到像72×78，26×86等被乘數與乘數的十位數字一樣或互補，或被乘數與乘數的個位數字一樣或互補的情況。72×78的被乘數與乘數的十位數字一樣、個位數字互補，這類式子我們稱為"頭一樣、尾互補〞型；26×86的被乘數與乘數的十位數字互補、個位數字一樣，這類式子我們稱為"頭互補、尾一樣〞型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為"同補〞速算法和"補同〞速算法。例1〔1〕76×74＝？〔2〕31×39＝？思路導航：本例兩題都是"頭一樣、尾互補〞類型?！?〕由乘法分配律和結合律，得到76×74＝〔7＋6〕×〔70+4〕＝〔70＋6〕×70＋〔7＋6〕×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4＝70×〔70＋6＋4〕＋6×4＝70×〔70＋10〕＋6×4＝7×〔7+1〕×100＋6×4。于是，我們得到下面的速算式：〔2〕與〔1〕類似可得到下面的速算式：由例1看出，在"頭一樣、尾互補〞的兩個兩位數乘法中，積的末兩位數是兩個因數的個位數之積〔不夠兩位時前面補0，如1×9＝09〕，積中從百位起前面的數是被乘數〔或乘數〕的十位數與十位數加1的乘積。"同補〞速算法簡單地說就是：積的末兩位是"尾×尾〞，前面是"頭×〔頭+1〕〞。我們在學到的15×15，25×25，…，95×95的速算，實際上就是"同補〞速算法。例2〔1〕78×38＝？〔2〕43×63＝？思路導航：本例兩題都是"頭互補、尾一樣〞類型。〔1〕由乘法分配律和結合律，得到78×38＝〔70＋8〕×〔30＋8〕＝〔70＋8〕×30＋〔70＋8〕×8＝70×30+8×30＋70×8＋8×8＝70×30＋8×〔30＋70〕＋8×8＝7×3×100＋8×100＋8×8＝〔7×3＋8〕×100＋8×8。于是，我們得到下面的速算式：〔2〕與〔1〕類似可得到下面的速算式：由例2看出，在"頭互補、尾一樣〞的兩個兩位數乘法中，積的末兩位數是兩個因數的個位數之積〔不夠兩位時前面補0，如3×3＝09〕，積中從百位起前面的數是兩個因數的十位數之積加上被乘數〔或乘數〕的個位數。"補同〞速算法簡單地說就是：積的末兩位數是"尾×尾〞，前面是"頭×頭+尾〞。例1和例2介紹了兩位數乘以兩位數的"同補〞或"補同〞形式的速算法。當被乘數和乘數多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數的和是10，100，1000，…時，這兩個數互為補數，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。在一個乘法算式中，當被乘數與乘數前面的幾位數一樣，后面的幾位數互補時，這個算式就是"同補〞型，即"頭一樣，尾互補〞型。例如7077×7023，因為被乘數與乘數的前兩位數一樣，都是70，后兩位數互補，77＋23＝100，所以是"同補〞型。又如148×152，238×232等都是"同補〞型。當被乘數與乘數前面的幾位數互補，后面的幾位數一樣時，這個乘法算式就是"補同〞型，即"頭互補，尾一樣〞型。例如，734×274，9826×226，681×481等都是"補同〞型。在計算多位數的"同補〞型乘法時，例1的方法仍然適用。例3〔1〕702×708=？〔2〕1708×1792＝？解：〔1〕〔2〕計算多位數的"同補〞型乘法時，將"頭×〔頭+1〕〞作為乘積的前幾位，將兩個互補數之積作為乘積的后幾位。注意：互補數如果是n位數，則應占乘積的后2n位，缺乏的位補"0〞。在計算多位數的"補同〞型乘法時，如果"補〞與"同〞，即"頭〞與"尾〞的位數一樣，則例2的方法仍然適用〔見例4〕；如果"補〞與"同〞的位數不一樣，則例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例42865×7265＝？解：二、訓練穩(wěn)固計算以下各題：1.68×62；2.93×97；3.27×87；4.79×39；5.42×62； 6.603×607；7.693×607； 8.4085×6085。第二講找規(guī)律〔一〕豎列規(guī)律按照一定次序排列起來的一列數，叫做數列。如自然數列：1、2、3、4……；雙數列：2、4、6、8……。我們研究數列，目的就是為了發(fā)現數列中數排列的規(guī)律，并依據這個規(guī)律來填寫空缺的數。按照一定的順序排列的一列數，只要從連續(xù)的幾個數中找到規(guī)律，則就可以知道其余所有的數。尋找數列的排列規(guī)律，除了從相鄰兩數的和、差考慮，有時還要從積、商考慮。善于發(fā)現數列的規(guī)律是填數的關鍵。例題與方法指導例1在括號內填上適宜的數?！?〕3，6，9，12，〔〕，〔〕〔2〕1，2，4，7，11，〔〕，〔〕〔3〕2，6，18，54，〔〕，〔〕思路導航：〔1〕在數列3，6，9，12，〔〕，〔〕中，前一個數加上3就等于后一個數，相鄰兩個數的差都是3，根據這一規(guī)律，可以確定〔〕里分別填15和18；〔2〕在數列1，2，4，7，11，〔〕，〔〕中，第一個數增加1等于第二個數，第二個數增加2等于第三個數，也就是相鄰兩個數的差依次是1，2，3，4……這樣下一個數應為11增加5，所以應填16；再下一個數應比16大6，填22?！?〕在數列2，6，18，54，〔〕，〔〕中，后一個數是前一個數的3倍，根據這一規(guī)律可知道〔〕里應分別填162和486。例2先找出規(guī)律，再在括號里填上適宜的數?！?〕15，2，12，2，9，2，〔〕，〔〕；〔2〕21，4，18，5，15，6，〔〕，〔〕；思路導航：〔1〕在15，2，12，2，9，2，〔〕，〔〕中隔著看，第一個數減3是第三個數，第三個數減3是第五個數，第二、四、六的數不變。根據這一規(guī)律，可以確定括號里分別應填6、2；〔2〕在21，4，18，5，15，6，〔〕，〔〕中，隔著看第一個數減3為第三個數，第三個數減3為第五個數。第二個數增加1為第四個數，第四個數增加1是第六個數。根據這一規(guī)律，可以確定括號里分別應填12和7。訓練穩(wěn)固1，在括號里填數?！?〕2，4，6，8，10，〔〕，〔〕〔2〕1，2，5，10，17，〔〕，〔〕2，按規(guī)律填數?！?〕2，8，32，128，〔〕，〔〕〔2〕1，5，25，125，〔〕，〔〕3，先找規(guī)律再填數?！?〕2，1，4，1，6，1，〔〕，〔〕〔2〕3，2，9，2，27，2，〔〕，〔〕〔3〕12，1，10，1，8，1，〔〕，〔〕4，在括號里填數。答〔1〕18，3，15，4，12，5，〔〕，〔〕〔2〕1，15，3，13，5，11，〔〕，〔〕〔3〕1，2，5，14，〔〕，〔〕〔二〕圖形規(guī)律一、例題與方法指導例：根據前面圖形里的數的排列規(guī)律，填入適當的數。思路導航：〔1〕橫著看，右邊的比左邊的數多5，豎著看，下面的數比上面的數多4。根據這一規(guī)律，方格里填18；〔2〕通過觀察可以發(fā)現，前兩個圖形三個數之間有這樣的關系：4×8÷2=16，7×8÷4=14，也就是說中心數是上面的數與左下方數的乘積除以右下方的數。根據這個規(guī)律，第三個圖形空格中的數為9×4÷3=12；〔3〕橫著看，第一行和第二行中，第一個數除以3等于第二個數，第一個數乘3等于第三個數。根據這一規(guī)律，36×3=108就是空格中的數。訓練穩(wěn)固根據規(guī)律，在空格內填數?！?〕187，286，385，〔〕，〔〕；思路導航：〔1〕在187，286，385，〔〕，〔〕中，十位上的數字8不變，百位上的數字是1，2，3…依次增加1，個位上的數字是7，6，5…依次減少1，并且百位上的數字與個位上的數字的和為8。根據這一規(guī)律，括號里應填484，583；〔2〕通過觀察可以發(fā)現，前兩個圖形之間有一定聯(lián)系：左上數十位上的數字和右上數個位上的數字分別與下面數的千位、個位上的數字一樣；左上數與右上數十位上的數字之和為下面數的百位上的數字，左上數與右上數個位上的數字之和為下面數的十位上的數字。根據這一規(guī)律，空格內應填3594。第三講數字謎小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如"空中碼頭〞〔打一城市名〕。謎底你還記得嗎？記不得也沒關系，想想"空中〞指什么？"天〞。這個地名第1個字可能是天。"碼頭〞指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個地名開頭是"天〞字，容易想到"**〞這個地名，而"津〞正好又是"渡口〞的意思。這樣謎底就出來了：**。算式謎又被稱為"蟲食算〞，意思是說一道算式中的*些數字被蟲子吃掉了無法識別，需要運用四則運算各局部之間的關系，通過推理判定被吃掉的數字，把算式復原。"蟲食算〞主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數字常常用□、△、☆等圖形符號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數字，一樣的數字或字母表示同一個數字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數學里面，文字也可以組成許許多多的數學游戲，就讓我們一起來看看吧。橫式字謎例題與方法指導例1□，□8，□97在上面的3個方框內分別填入恰當的數字，可以使得這3個數的平均數是150。則所填的3個數字之和是多少？思路導航：150*3-8-97-5=340

所以3個數之和為3+4+5=12。例2在以下算式的□中填上適當的數字，使得等式成立：

〔1〕6□□4÷56=□0□，

〔2〕7□□8÷37=□1□，

〔3〕3□□3÷2□=□17，

〔4〕8□□□÷58=□□6。分析：〔1〕6104/56=109〔2〕7548/37=204

〔3〕3393/29=117

〔4〕8468/58=146例3在算式40796÷□□□=□99……98的各個方框內填入適當的數字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數。分析：40796/102=399...98。例4我學數學樂×我學數學樂=數數數學數數學學數學

在上面的乘法算式中，"我、學、數、樂〞分別代表的4個不同的數字。如果"樂〞代表9，則"我數學〞代表的三位數是多少？分析：學=1，我=8，數=6，81619*81619=6661661161例5□÷〔□÷□÷□〕=24在式中的4個方框內填入4個不同的一位數，使左邊的數比右邊的數小，并且等式成立。思路導航：這樣，我們可以先用字母代替數字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a<b<c<d)

當a=1時，有6*8/2=24，8*9/3=24；

當a=2時，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；

所以，滿足要求的等式有：1÷〔2÷6÷8〕=24，1÷〔3÷8÷9〕=24，2÷〔3÷4÷9〕=24，2÷〔4÷6÷8〕=24，2÷〔6÷8÷9〕=24。例6①□×□=5□；②12+□－□=□，把1至9這9個數字分別填入上面兩個算式的各個方框中，使等式成立，這里有3個數字已經填好。

分析：根據第一個等式，只有兩種可能：7*8=56，6*9=54；如果為7*8=56，則余下的數字有：3、4、9，顯然不行；而當6*9=54時，余下的數字有：3、7、8，則，12+3-7=8或12+3-8=7都能滿足。訓練穩(wěn)固1.迎迎×春春=杯迎迎杯，數數×學學=數賽賽數，春春×春春=迎迎賽賽在上面的3個算式中，一樣的漢字代表一樣的數字，不同的漢字代表不同的數字。如果這3個等式都成立，則，"迎+春+杯+數+學+賽〞等于多少？分析：考察上面三個等式，可以從最后一個等式入手：能夠滿足：春春×春春=迎迎賽賽的只有88*88=7744，于是，春=8，迎=7，賽=4；這樣，不難得到第一個為：77*88=6776，第二個為：55*99=5445；

所以，迎+春+杯+數+學+賽=7+8+6+5+9+4=39。2.迎+春×春=迎春，〔迎+杯〕×〔迎+杯〕=迎杯

在上面的兩個橫式中，一樣的漢字代表一樣的數字，不同的漢字代表不同的數字。則"迎+春+杯〞等于多少？分析：同樣可以從第二個算式入手，發(fā)現滿足要求的只有〔8+1〕*〔8+1〕=81，于是，迎=8；

這樣，第一個算式顯然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。拓展提升1.在以下各式的□中分別填入一樣的兩位數：(1)5×□=2□； (2)6×□＝3□。將3～9中的數填入以下各式，使算式成立，要求各式中無重復的數字：(1)□÷□=□÷□； (2)□÷□＞□÷□。3.在以下各式的□中填入適宜的數字：(1)448÷□□=□； (2)2822÷□□=□□；(3)13×□□=4□6。在以下各式的□中填入適宜的數：(1)□÷32＝8……31； (2)573÷32＝□……29；(3)4837÷□＝74……27。答案與提示練習224.(1)287；(2)17；()65。豎式字謎例1在圖4-1所示的算式中，每一個漢字代表一個數字，不同的漢字代表不同的數字．則"喜歡〞這兩個漢字所代表的兩位數是多少？分析：首先看個位，可以得到"歡〞是0或5，但是"歡〞是第二個數的十位，所以"歡〞不能是0，只能是5。再看十位，"歡〞是5，加上個位有進位1，則，加起來后得到的"人〞就應該是偶數，因為結果的百位也是"人〞，所以"人〞只能是2；由此可知，"喜〞等于8。所以，"喜歡〞這兩個漢字所代表的兩位數就是85。例2在圖4-2所示的豎式中，一樣的漢字表示一樣的數字，不同的漢字表示不同的數字．如果：巧+解+數+字+謎=30，則"數字謎〞所代表的三位數是多少？分析：還是先看個位，5個"謎〞相加的結果個位還是等于"謎〞，"謎〞必定是5〔0顯然可以排出〕；接著看十位，四個"字〞相加再加上進位2，結果尾數還是"字〞，那說明"字〞只能是6；再看百位，三個"數〞相加再加上進位2，結果尾數還是"數〞，"數〞可能是4或9；再看千位，〔1〕如果"數〞為4，兩個"解〞相加再加上進位1，結果尾數還是"解〞，那說明"解〞只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，"巧〞等于6與"字〞等于6重復，不能；〔2〕如果"數〞為9，兩個"解〞相加再加上進位2，結果尾數還是"解〞，那說明"解〞只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。所以"數字謎〞代表的三位數是965。例3在圖4-3所示的加法算式中，一樣的漢字表示一樣的數字，不同的漢字表示不同的數字．請把這個豎式翻譯成數字算式．

分析：首先萬位上"華〞=1；再看千位，"香〞只能是8或9，則"人〞就相應的只能是0或1。但是"華〞=1，所以，"人〞就是0；再看百位，"人〞=0，則，十位上必須有進位，否則"港〞+"人〞還是"港〞。由此可知"回〞比"港〞大1，這樣就說明"港〞不是9，百位向千位也沒有進位。于是可以確定"香〞等于9的；再看十位，"回〞+"愛〞="港〞要有進位的，而"回〞比"港〞大1，則"愛〞就等于8；同時，個位必須有進位；再看個位，兩數相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，顯然"港〞=5，"回〞=6，"歸〞=7。這樣，整個算式就是：9567+1085=10652。例4圖4-4是一個加法豎式，其中E，F，I，N，O，RS，T，*，Y分別表示從0到9的不同數字，且F，S不等于零．則這個算式的結果是多少？

分析：先看個位和十位，N應為0，E應為5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因為N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位進位是2，且*不能是0，因此決定了T、R只能是7、8這兩個；如果T=7，*=3，這是只剩下了2、4、6三個數，無法滿足S、F是兩個連續(xù)數的要求。所以，T=8、R=7；由此得到*=4；則，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式結果是31486。訓練穩(wěn)固1.在圖4-5所示的減法算式中，每一個字母代表一個數字，不同的字母代表不同的數字．則D+G等于多少？分析：先從最高位看，顯然A=1，B=0，E=9；接著看十位，因為E等于9，說明個位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；這樣，D、G有2、4，3、5和4、6三種可能。所以，D＋G就可以等于6，8或10。2.王教師家的是一個七位數，把它前四位組成的數與后三位組成的數相加得9063，把它前三位數組成的數與后四位數組成的數相加得2529．求王教師家的．分析：我們可以用abcdefg來表示這個七位數。由題意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；

首先從第一個算式可以看出，a=8，從第二個算式可以看出，d=1；再回到第一個算式，g=2，掉到第二個算式，c=7；又回到第一個算式，f=9，掉到第二個算式，b=3；則，e=6。所以，王教師家的是8371692。3.將一個四位數的各位順序顛倒過來，得到一個新的四位數．如果新數比原數大7902，則在所有符合這樣條件的四位數中，原數最大是多少？分析：用abcd來表示愿四位數，則新四位數為dcba，dcba-abcd=7902；由最高為看起，a最大為2，則d=9；但個位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接下來看百位，b最大是9，則，c=8正好能滿足要求。所以，原四位數最大是1989。拓展提升1.圖4-6所示的乘法豎式成立．則ABCDE是多少？

分析：由1/7的特點易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。2.*個自然數的個位數字是4，將這個4移到左邊首位數字的前面，所構成的新數恰好是原數的4倍．問原數最小是多少？分析：由個位起逐個遞推：4*4=16，原十位為6；4*6+1=25，原百位為5；4*5+2=22，原千位為2；

4*2+2=10，原萬位為0；1*4=4，正好。所以，原數最小是102564。3.在圖4-7所示的豎式中，一樣的漢字表示一樣的數字，不同的漢字表示不同的數字．則符合題意的數"迎春杯競賽贊〞是多少？

分析：同第10題一樣，也是利用1/7的特點。因為每個字母代表不同的數字，因此"好〞只有3和6可選：

好=3，則：142857*3=428571；好=6，則：142857*6=857142；兩個都能滿足，所以，符合題意的數"迎春杯競賽贊〞可能是428571或857142。趣味九宮格九宮格型數字推理即在九宮格中8個數，根據數之間的關系，求出未知的項。此種類型的觀察角度為橫向、縱向、對角線，考察最多的是橫向，一般考察三個數之間的線性關系，可從大數入手考慮。有時，會整體考，比方行列各個數之和的關系。1．A．7 B．5 C．3 D．9【答案】C。解析：每行三個數字之和依次是20，〔30〕，40，是等差數列。2．A．27 B．8 C．21 D．18【答案】D。解析：每行前兩個數字之差除以3等于第三個數?！?3-9〕÷3=〔18〕。3．A．14．2 B．16．4 C．18．6 D．15【答案】A。解析：每行第一個數字加1等于后兩個數字之和。4．A．6．1 B．5．3 C．4 D．2【答案】D。解析：從每行來看，第一個數字加2，再乘以第三個數字等于中間數字。5．A．20．4 B．18．6 C．11．6 D．8．6【答案】B。解析：每行第三個數字減去第二個數字，再乘以2等于第一個數字。第四講圖解法解應用題例題與方法指導例1小明早晨起床,要完成這幾件事:起床穿衣5分鐘,刷牙洗臉6分鐘,在火爐上燒水煮面要16分鐘,整理房間8分鐘,為了盡快做完這些事,最少要分鐘.思路導航：用圖表示:3345分起床516分燒、煮218分整理6分刷牙、洗臉所以是5+16=21(分)例2少先隊員參加植樹勞動,每人植樹2棵,如果一個人挖坑,一個要25分,運樹苗一趟(最多可運4棵)要20分,提一桶水(可澆4棵樹)要10分,栽好一棵樹要10分.現以兩個人為一小組合作,完成植樹任務最少要分鐘.思路導航：挖3個坑挖3個坑運苗種1棵樹栽3棵樹挖1個坑提水完成20分乙甲75分10分25分10分所以:75+10=85(分)例3甲、乙兩地相距6千米,小晶從甲地、小紅從乙地同時相向而行,在兩村之間不斷地往返行走,在出發(fā)后40分鐘,兩人第一次相遇.小紅到達甲村后返回,在離甲村2千米處,兩人第二次相遇,求小晶和小紅的速度各是、.思路導航：小晶5千米/小時;小紅4千米/小時.甲甲相遇相遇紅晶乙合走1個全程要40分,3個應是40×3÷60=2(小時)晶:(6+4)÷2=5(千米/小時)紅:(6+2)÷2=4(千米/小時)例4早上10點8分,小明放學回家,8分鐘后,周教師騎車追他,在離學校4千米的地方追上了他,然后周教師立即回校,回到校后又追小明,第二次追上時剛好離家8千米,求這時是時分.思路導航：早上10點8分放學,小明從學校回家,8分鐘后,周教師騎車追他,追上時離校4千米,后來教師馬上回校后又追他,追上時小明也只走了4千米,從以下圖可知,照后來速度算,周教師前面應走4×3=12(千米).因為少走8分鐘,所以少走12-4=8千米.所以現在時間應是:10:08+0.08+0.16=10:32.校校明4千米周4千米時間一樣穩(wěn)固訓練1.A,B,C,D,E五位同學進展象棋單循環(huán)比賽,A,B,C,D已經賽過的盤數依次為4,3,2,1盤,此時,E賽了盤.2.有為1,2,3,4四名運發(fā)動,在一次比賽中獲得了前4名,:①每個運發(fā)動的都與自己的名次不符;②*運發(fā)動的名次是第四名運發(fā)動的,而此人的又是2號運發(fā)動的名次.③3號運發(fā)動不是第一名,則1號得名,二號得名,三號得名,四號得名.3.四名棋手進展循環(huán)比賽,勝一局得2分,平一局得1分,負一局得0分.如果各人得的總分不同,第一名不是全勝,則,至多有局平局.4.京華小學五年級學生采集標本,采集昆蟲標本的有25人,采集植物標本的有19人,兩種標本都采集的有8人,全班共40人,沒有采集標本的有人.答案：1.兩盤.AEBDC用連線表示兩人已賽過一場,A應畫四條線,B應畫3條,但不能連D,又有一條AB,所以,B只畫BC,BE.從AEBDC2.1號第三,2號第一,3號第四,4號第二.由①、③可知,第一名是2或4,依題意畫圖如下:143143①2341②413③123④312⑤21⑥4以上六種情況中,符合題意的只有③方案.3.3局.四名棋手應賽4×3÷2=6(局),應決出2×6=12(分)又各人得分不同,且第一名不是全勝,可知他們得分只有:12=5+4+2+1或12=5+4+3+0兩種.再由"平局最多〞可決定甲5分,乙4分,丙2分,丁1分.這樣應:甲丙甲丙乙丁勝平平平勝勝4.4人.25人825人8人19人昆蟲、植物標本植物標本昆蟲標本40-(25+19-8)=4(人)拓展提升1.有100名旅客,其中有10人不懂英語又不懂俄語,有75人懂英語,83人懂俄語,既懂英語又懂俄語的有人.2.*班數字、英語的期中考試成績如下,英語得100分的有12人,數學得100分的有10人,兩門功課都得100分的有3人,兩門功課都未得100分的有26人,這個班有學生人.答案：9.68人.作以下圖:英語英語75人俄語83人不懂的有10人都懂的75+83-(100-10)=68(人)10.45名.12人10人12人10人兩門都不得10026人兩門100英語100數學1003人12+(10-3)+26=45(人)第五講列方程式解應用題一、例題與方法指導例1買來一批蘋果,分給幼兒園大班的小朋友,如果每人分3個,則還剩32個.如果每人分8個,還有5個小朋友分不到蘋果.這批蘋果的個數是多少個"蘋果數不變(抓不變量)、間接設未知數例2一條鯊魚，頭長3米，身長等于頭長加尾長，尾長等于頭長再加上半個身長，這條魚全長多少米？間接設未知數設鯊魚身長*米。身長=頭長+尾長，尾長=*÷2＋3身長＝3＋*÷2＋3，例3雞、兔共60只，雞腳比兔腳多60只。問：雞、兔各多少只"解答：假設60只都是雞，沒有兔，則就有雞腳120只，而兔的腳數為零。這樣雞腳比兔腳多120只，而實際上只多60只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多120-60=60(只)?，F在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數中就會減少4+2=6(只)，而60÷6=10，因此有兔子10只，雞60-10=50(只)。二、穩(wěn)固訓練1.有一些糖，每人分5塊多10塊；如果現有的人數增加到原人數的1.5倍，則每人4塊就少2塊.問這些糖共有多少塊"解，等量關系為兩種分法的糖總數不變設開場共有*人，5*+10=4×1.5*-2，解得*=12，所以這些糖共有12×5+10=70塊．2.甲、乙、丙、丁四人今年分別是16、12、11、9歲。問：多少年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍？解答：這是一道年齡問題，也可以用方程來解決。等量關系為：多少年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍。關鍵：在一樣的時間內，每個人增加或減少的年齡是一樣的。設*年前，甲乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍.16+12-2*=2×(11+9-2*),解得*=6.所以，6年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍.第六講植樹問題只要我們稍加留意，都會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細心觀察，這些樹木的間距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數之間存在著確定的關系，我們把這種關系叫做"植樹問題〞。而植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的〔開放型的〕。封閉型的和不封閉型的植樹問題，區(qū)別在于間隔數〔段數〕與棵數的關系：1、不封閉型的〔多為直線上〕，一般情況為兩端植樹，如以下圖所示，其路長、間距、棵數的關系是：但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時路長、間距、棵數的關系就是：如果兩端都不植樹，則棵數比一端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數的關系就是：2、封閉型的情況〔多為圓周形〕，如以下圖所示，則：植樹問題的三要素：總路線長、間距(棵距)長、棵數．只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個．植樹問題的分類：⑴直線型的植樹問題⑵封閉型植樹問題⑶特殊類型的植樹問題例題與方法指導例1有一條公路長1000米，在公路的一側每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵"

思路導航：每隔5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長1000米，分成5米一段，則里包含有1000÷5=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的棵數比分成的段數多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。例2*一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株"可栽夾枝桃多少株"兩株夾枝桃之間相距多少米"

思路導航：在圓周上植樹時，由于可栽的株數等于分成的段數，所以，可栽柳樹=1350÷9=150株；由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數〔段數〕為150，所以栽夾枝桃的株數=2×150=300株；每隔9米種柳樹一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每兩株之間的距離=9÷(2+1)=3(米)。例3一條街上，一旁每隔8米有一個廣告牌，從頭到尾有16個廣告牌，現在要進展調整，變成每12米有一個廣告牌。則除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個牌不需要移動？思路導航：16個廣告牌，每相鄰的兩個廣告牌的間隔為8米，則共有16-1=15個間隔，這條街的總長度為8×15＝120〔米〕；現在要調整為每12米一個廣告牌，則不移動的牌離端點的距離一定既是8的倍數，同時也是12的倍數；8×3=12×2=24，也就是說，每24米及其倍數處的廣告牌可以不需要移動；120÷24＝5，即段數為5個，但要扣除兩端的2個，所以，中間不需要移動的有5-1=4個。事實上，所謂植樹問題只是我們對這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如，與之類似的還有爬樓〔梯〕問題、隊列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題的等。所以，植樹問題又稱上樓梯問題。穩(wěn)固訓練1*人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開。如果他從1層走到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？思路導航：：要求還需要多少秒才能到達，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，并且知道從4樓走到8樓共需要走幾層樓梯。從1層走到4層，事實所爬的層數只是4-1=3層，所以上一層樓梯需要的時間是48÷〔4-1〕=16〔秒〕；又，從4樓走到8樓共需走8-4=4層樓梯，所以還需要的時間是16×4=64秒。2光華路小學三年級學生有125人參加運動會入場式，他們每5人一行，前后每行間隔為2米，主席臺長42米，他們以每分鐘45米的速度通過主席臺需要多少分鐘"思路導航：：125人參加運動會入場式，每5人一行，共排了125÷5=25行，則這里25行就相當于直線上的25棵樹，所以，這列隊的長度為兩端植樹的路的長度，全長是2×(25-1)=48米；這列隊伍通過主席臺，所走的總路程應該是隊伍長度與主席臺長度之和，即：48+42=90米，所以，他們通過主席臺的時間是90÷45=2分鐘。3以下圖是五個大小一樣的鐵環(huán)連在一起的圖形，它的長度是多少？十個這樣的鐵環(huán)連在一起有多長？思路導航：：根據上圖所示，要求出它的總長度是多少，關鍵是求出重疊局部需要扣除的長度。每一個鐵環(huán)的厚度為6毫米，注意到重疊局部，后面連上的鐵環(huán)將有2個厚度是重疊的，也就是說實際每加一個鐵環(huán)所延伸的長度為4厘米-2×6毫米=40毫米-12毫米=28毫米；根據我們前面所講的植樹問題，五個鐵環(huán)連在一起，"環(huán)扣〞數為5-1＝4(個)，所以，五個大小一樣的鐵環(huán)連在一起時，總長度為40+4×28＝152(毫米)。同理，十個鐵環(huán)連在一起的長度為40+(10-1)×28=292(毫米)。4一個木工把一根長24米的木條鋸成了3米長的小段，每鋸斷一次要用5分鐘，共需多少分鐘"

思路導航：：要求需要的時間，我們就要弄清楚共需鋸幾次。24米長的木條里面包含有24÷3=8個3米，8段有8-1=7個間隔，即木工只需鋸7次，則，每次5分鐘,一共需要用時5×7=35分鐘。穩(wěn)固訓練1一個街心花園如以下圖所示，它由四個大小相等的等邊三角形組成。從每個小三角形的頂點開場，到下一個頂點均勻栽有9棵花。問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？思路導航：：由題意可知，大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍，因為每個小三角形的邊上均勻栽9株，而大三角形的每條邊由兩個小三角形的邊重疊一個頂點而成，所以，大三角形的每條邊上栽的棵數為：9×2-1=17棵；又大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以，大三角形三條邊上共栽花：〔17-1〕×3=48棵；再看圖中間的陰影小三角形，每邊所栽花的棵數就是一個兩端不種樹的植樹問題，所以小三角形每條邊上栽花的棵數為9-2=7棵，中間共栽花：7×3=21棵，所以，整個花壇共栽花：48+21=69棵。2時鐘4點敲4下，用12秒敲完。則6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完？思路導航：：4點鐘敲4下，共12秒，而4下中間有3個間隔，說明每一個間隔的秒數為12÷〔4－1〕=4秒；12點敲12下，中間有11個間隔，所以一共需要4×〔12－1〕=44秒敲完。3鐵路旁每隔50米有一根電線桿，*旅客為了計算火車速度，測量出從經過第1根電線桿起到經過第37根電線桿止共用了2分。火車的速度是多少？思路導航：：從第1根電線桿起到第37根電線桿，共有37-1=36個間隔；每隔50米有一根電線桿，也就是說間隔為50米；則，行使的總路程為：50×〔37－1〕=1800米；2分鐘=2×60秒=120秒，共行1800米，所以，火車速度為：1800÷120＝15米／秒。第七講雞兔同籠問題雞兔同籠問題是指雞與兔同在一個籠中，雞與兔的總頭數以及雞與兔的總足數，求雞和兔各是多少只的應用題。這種類型題是古代趣題，在現實生活和生產中應用廣泛，有著十分重要的使用價值。雞兔問題，也叫簡換問題。解答時，一般采用假設法，即假定全部的只數都是雞或者是兔，算出假定情況下的足數和實際上的足數和、足數差，然后推算出雞和兔的只數。計算時的主要數量關系是：1.如果假定全部是兔，則雞的只數=〔每只兔的足數×總頭數－總足數〕÷〔每一只雞與兔足數的差〕簡單理解就是：雞的只數=〔4×總頭數－總足數〕÷2兔的只數=總頭數－雞的只數2.如果假定全部是雞，則兔的只數=〔總足數－每只雞的足數×總頭數〕÷〔每一只雞與兔足數的差〕簡單寫就是兔的只數=〔總足數－2×總頭數〕÷2雞的只數=總頭數－兔的只數例題與方法指導例1.雞兔同籠，共有100個頭，320只腳，問雞和兔各是多少只？思路導航：雞有2只腳，兔有4只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，當成一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，當成一只腳，則兔子和雞一樣，都是2只腳。雞和兔的總腳數就是100×2=200〔只〕，但比實際320只腳要少320－200=120〔只〕，為什么會少了120只腳呢？是因為每只兔子只算一只前腳，一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說每只兔子都少算了兩只腳，一共少算了120只腳，所以兔子應該有120÷2=60〔只〕。解法一： 解法二：2×100=200〔只〕 4×100=400〔只〕320－200=120〔只〕 400－320=80〔只〕120÷2=60〔只〕 80÷2=40〔只〕100－60=40〔只〕 100－40=60〔只〕答：雞有40只，兔有60只。例2.5元紙幣和2元紙幣總*數是200*，它們的總面值是940元，這兩種紙幣各多少*？思路導航：〔1〕假設200*紙幣完全是2元，共值：2×200=400〔元〕〔2〕比實際少：940－400=540〔元〕〔3〕2元換成5元，每*增加：5－2=3〔元〕〔4〕5元紙幣有：540÷3=180〔〕〔5〕2元紙幣有：200－180=20〔〕答：有180*5元、20*2元紙幣。例3.雞兔同籠，雞比兔多25只，腳數共176只，雞、兔各多少只？思路導航：假設去掉多的25只雞，則一共去掉2×25=50〔只〕腳，則176－50=126〔只〕腳是雞和兔一樣多的腳的總數量，而一對雞兔共有2＋4=6〔只〕腳，可以求出去掉25只雞以后一共多少對雞和兔，然后再加上去掉的25只雞。2×25=50〔只〕176－50=126〔只〕2＋4=6〔只〕126÷6=21〔對〕‥‥‥雞、兔各21只21+25=46〔只〕‥‥‥雞的只數答：雞有46只，兔有21只。穩(wěn)固訓練1.雞兔同籠，共有頭90只，腳252只。雞兔各多少只？2.雞兔同籠，共有頭80只，雞的腳數比兔的腳數多40只，雞兔各多少只？3.30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？拓展提升雞兔共100只，雞的腳數比兔少40只，雞兔各多少只？46人去劃船，一共乘坐10條船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少條？*車棚共停放三輪車和自行車共39輛，兩種車輪總和96個，三輪車和自行車各多少輛？第八講移多補少平均數 在日常生活中，我們經常遇到這樣的情況：有幾個杯子，里面的水有多有少。要想使杯中的水一樣多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反復幾次，直到幾個杯子里的水一樣多。這就是我們經常駐遇到的"移多補少〞……也就是求平均數問題。一、例題與方法指導例1.小剛有5個抽屜，分別有圖書33本，42本，20本，53本和32本，平均每個抽屜里有圖書多少本？思路導航：分析：如果要求平均每個抽屜里的圖書，就是把5個抽屜的總數除以5?！?3+42+20+53+32〕÷5=36〔本〕或取較為中間的一個數，如35作為基數，再把每個抽屜中的書本與35的差算出來。將這些差相加減，多出的為加數，缺乏的為減數，所得的數除以5，再加上基準數35，得出的就是要求的平均數。提出總數，份數，平均數5個抽屜書本書的總合就是"總數〞，5個抽屜式"份數〞。得到關系式：平均數=總數÷份數由此關系式可得出總數=份數×平均數份數=總數÷平均數例2.小名參加了四次語文測驗，平均成績是68分，他想通過一次語文測驗，講5次的平均成績提高最少70分，則在下次測驗中，他至少要得多少分？分析1：知道前四次的語文平均成績后可以求出前四次的總成績題目中要求是五次的平均成績提高到70分，則可以求出5次的總成績，再用五次的總成績減去四次的成績，得到的就是第五次最少應考多少分。思路導航：68×4－70×5=78〔分〕前四次平均為68分，要求平均分為70分，前四次一共差了〔70－68〕×4=8〔分〕則第五次至少要考70+8=78〔分〕例3.甲、乙兩人帶著同樣多的錢，用他們全部的錢買了香皂，甲拿走了12塊乙拿走了8塊，回家后甲補給乙4元，每塊香皂多少元？思路導航：因為甲乙兩人帶的是同樣多的錢，兩人的錢也已經全部用完，甲乙兩人平均買了〔8+12〕÷2=10〔塊〕香皂，而實際甲多拿了12－10=2〔塊〕香皂，2塊香皂是4元，則一塊香皂是4÷2=2〔元〕二、穩(wěn)固訓練 1.如果4個人的平均年齡是18歲，4個人中沒有小于14歲的，則年齡最大的人可能是多少歲？分析：4個人的平均年齡是18歲，則四個人一共就有18×4＝72〔歲〕，題目中告訴我們4個人中最小的只有14歲，如果要求年齡最大的則其余3個人都應是最小的，則72－14×3＝20〔歲〕2.有甲、乙、丙三個數，甲數和乙數的平均數是42，乙數和丙數的平均數是47，甲數和丙數的平均數是46，求甲、乙、丙這三個數各是多少？分析：從題目我們可以知道甲＋乙＝42×2=84乙＋丙＝47×2=94甲＋丙＝46×2=922〔甲+乙+丙〕=84+94+92=270甲：135－94=44乙：135－92=43丙：135－84＝51先求出甲乙丙三個數的和，知道另外兩個數的和酒可以求出第三個數。3.*人沿一條長為12千米的路上山，又從原路下山。上山時的速度是每小時2千米，下山時的速度是每小時6千米。則他在上、下山全過程中的平均速度是每小時多少千米？分析：要求上、下山的平均速度先求上下山的總路程和處以時間即可。解：2×12÷〔12÷2＋12÷6〕=3〔千米〕總結：今天我們學習了如何求平均數，平均數的意義，也知道在解題過程中，可以運用到平均數的意義。希望同學們通過今天的學習可以掌握所學的知識。拓展提升一位小朋友的語文成績是96分，數學成績是90分，英語成績是84分，求他三門的平均分。甲、乙、丙三個數的平均數是150，甲數是48，乙數與丙數一樣，求乙數。小明和小紅一起帶著同樣多的錢去學校旁邊的文具店買鉛筆，他們用全部的錢買了鉛筆，小明買了12只，小紅買了8只，回去后小明給了小紅4元，每支鉛筆多少元？如果4個人的平均年齡是18歲，4個人中沒有小于14歲的，則年齡最大的人可能是多少歲？有甲、乙、丙三個數，甲數和乙數的平均數是42，乙數和丙數的平均數是47，甲數和丙數的平均數是46，求甲、乙、丙這三個數各是多少？第九講歸一問題為什么把有的問題叫歸一問題？我國珠算除法中有一種方法，稱為歸除法.除數是幾，就稱幾歸；除數是8，就稱為8歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這大概就是歸一說法的來歷吧！歸一問題有兩種根本類型.一種是正歸一，也稱為直進歸一.如：一輛汽車3小時行150千米，照這樣，7小時行駛多少千米？另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊6小時修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時？正、反歸一問題的一樣點是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點在第二步.正歸一問題是求幾個單一量是多少，反歸一是求包含多少個單一量。例題與方法指導例1.一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時爬行多少米？思路導航：為了求出蝸牛1小時爬多少米，必須先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個數目為依據按要求算出結果。解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米？12÷6=2〔分米〕②1小時爬幾米？1小時=60分。2×60=120〔分米〕=12〔米〕答：小蝸牛1小時爬行12米。還可以這樣想：先求出題目中的兩個同類量〔如時間與時間〕的倍數〔即60分是6分的幾倍〕，然后用1倍數〔6分鐘爬行12分米〕乘以倍數，使問題得解。解：1小時=60分鐘12×〔60÷6〕＝12×10＝120〔分米〕＝12〔米〕或12÷〔6÷60〕＝12÷0.1=120〔分米〕=12〔米〕答：小蝸牛1小時爬行12米。例2.一個糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時磨了6000千克.照這樣計算，磨完剩下的面粉還要幾小時？思路導航：通過3小時磨6000千克，可以求出1小時磨粉數量.問題求磨完剩下的要幾小時，所以剩下的量除以1小時磨的數量，得到問題所求。解：〔20000-6000〕÷〔6000÷3〕=7〔小時〕答：磨完剩下的面粉還要7小時。例3.學校買來一些足球和籃球.買3個足球和5個籃球共花了281元；買3個足球和7個籃球共花了355元.現在要買5個足球、4個籃球共花多少元？思路導航：要求5個足球和4個籃球共花多少元，關鍵在于先求出每個足球和每個籃球各多少元.根據條件分析出第一次和第二次買的足球個數相等，而籃球相差7-5＝2〔個〕，總價差355-281＝74〔元〕.74元正好是兩個籃球的價錢，從而可以求出一個籃球的價錢，一個足球的價錢也可以隨之求出，使問題得解。解：①一個籃球的價錢：〔355-281〕÷〔7-5〕=37元②一個足球的價錢：〔281-37×5〕÷3＝32〔元〕③共花多少元？32×5＋37×4=308〔元〕答：買5個足球，4個籃球共花308元。例4.*車間要加工一批零件，原方案由18人，每天工作8小時，7.5天完成任務.由于縮短工期，要求4天完成任務，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時？思路導航：我們把1個工人工作1小時，作為1個工時.根據條件，加工這批零件，原方案需要多少"工時〞呢？求出"工時〞數，使我們知道了工作總量.有了工作總量，以它為標準，不管人數增加或減少，工期延長或縮短，仍然按照原來的工作效率，只要能夠到達加工零件所需"工時〞總數，再求出要加班的工時數，問題就解決了。解：①原方案加工這批零件需要的"工時〞：8×18×7.5=1080〔工時〕②增加6人后每天工作幾小時？1080÷〔18+6〕÷4=11.25〔小時〕③每天加班工作幾小時？11.25-8=3.25〔小時〕答：每天要加班工作3.25小時。穩(wěn)固訓練1.一個長方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個進水管和一個排水管.單開進水管8小時可以把空池注滿；單開排水管6小時可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時把滿池水排空？分析要求兩管齊開需要多少小時把滿池水排光，關鍵在于先求出進水速度和排水速度.當兩管齊開時要把滿池水排空，排水速度必須大于進水速度，即單位時間內排出的水等于進水與排水速度差.解決了這個問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所需時間。解：①進水速度：480÷8=60〔噸/小時〕②排水速度：480÷6=80〔噸/小時〕③排空全池水所需的時間：480÷〔80-60〕=24〔小時〕列綜合算式：480÷〔480÷6-480÷8〕=24〔小時〕答：兩管齊開需24小時把滿池水排空。2.7輛"黃河牌〞卡車6趟運走336噸沙土.現有沙土560噸，要求5趟運完，求需要增加同樣的卡車多少輛？方法1：分析要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求5趟運完560噸沙土，每趟需多少輛卡車，應該知道一輛卡車一次能運多少噸沙土。解：①一輛卡車一次能運多少噸沙土？336÷6÷7=56÷7=8〔噸〕②560噸沙土，5趟運完，每趟必須運走幾噸？560÷5＝112〔噸〕③需要增加同樣的卡車多少輛？112÷8-7＝7〔輛〕列綜合算式：560÷5÷〔336÷6÷7〕-7＝7〔輛〕答：需增加同樣的卡車7輛。方法2：在求一輛卡車一次能運沙土的噸數時，可以列出兩種不同情況的算式：①336÷6÷7，②336÷7÷6.算式①先除以6，先求出7輛卡車1次運的噸數，再除以7求出每輛卡車的載重量；算式②，先除以7，求出一輛卡車6次運的噸數，再除以6，求出每輛卡車的載重量。在求560噸沙土5次運完需要多少輛卡車時，有以下幾種不同的計算方法：求出一共用車14輛后，再求增加的輛數就容易了。甲、乙兩個打字員4小時共打字3600個.現在二人同時工作，在一樣時間內，甲打字2450個，乙打字2050個.求甲、乙二人每小時各打字多少個？條件告訴我們："在一樣時間內甲打字2450個，乙打字2050個.〞既然知道了"時間一樣〞，問題就容易解決了.題目里還告訴我們："甲、乙二人4小時共打字3600個.〞這樣可以先求出"甲乙二人每小時打字個數之和〞，就可求出所用時間了.解：①甲、乙二人每小時共打字多少個？3600÷4＝900〔個〕②"一樣時間〞是幾小時？〔2450＋2050〕÷900＝5〔小時〕③甲打字員每小時打字的個數：2450÷5=490〔個〕④乙打字員每小時打字的個數：2050÷5=410〔個〕答：甲打字員每小時打字490個，乙打字員每小時打字410個。還可以這樣想：這道題的條件可以分兩層.第一層，甲乙二人4小時共打字3600個；第二層，在一樣時間內甲打字2450個，乙打字2050個.由這兩個條件可以求出在一樣的時間內，甲乙二人共打字2450+2050=4500〔個〕；打字3600個用4小時，打字4500個用幾小時呢？先求出4500是3600的幾倍，也一定是4小時的幾倍，即"一樣時間〞。解：①"一樣時間〞是幾小時？4×[〔2450＋2050〕÷3600]＝5〔小時〕②甲每小時打字多少個？2450÷5=490〔個〕③乙每小時打字多少個？2050÷5=410〔個〕答：甲每小時打字490個，乙每小時打字410個.拓展提升花果山上桃樹多，6只小猴分180棵.現有小猴72只，如數分后還余90棵，請算出桃樹有幾棵？5箱蜜蜂一年可以釀75千克蜂蜜，照這樣計算，釀300千克蜂蜜要增加幾箱蜜蜂？4輛汽車行駛300千米需要汽油240公升.現有5輛汽車同時運貨到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，問是否夠用？5臺拖拉機24天耕地12000公畝.要18天耕完54000公畝土地，需要增加同樣拖拉機多少臺？答案：1.180÷6×72+90=2250〔棵〕或：180×〔72÷6〕+90=2250〔棵〕答：桃樹共有2250棵。2.300÷〔75÷5〕-5=15〔箱〕或5×[〔300-75〕÷75]=5×3=15〔箱〕答：要增加15箱蜜蜂。3.提示：要想得知1000公升汽油是否夠用，先算一算行800千米需要的汽油，然后進展比擬.如果大于1000公升，說明不夠用；小于或等于1000公升，說明夠用。240÷4÷300×5×800=800〔公升〕800公升＜1000公升，說明夠用.答：1000公升汽油夠用。4.提示：先求出1臺拖拉機1天耕地公畝數，然后求出18天耕54000公畝需要拖拉機臺數，再求增加臺數。答：需要增加25臺拖拉機.第十講倒推法師說："這里有10*紙牌，依次寫著1-10，我閉上眼睛，你任意抽一*出來。〞"好，已抽好了。〞乙答復道。"嗯，把你的那*紙牌上的數乘上6再加9，然后除以3再加上2。算好后告訴我得數是幾?！部扇我庹覍W生抽卡片〕乙又說："得數是23。〞那她抽的那一*是幾呢？這個數是9，我們怎么知道？同學們，你們都知道其中的奧秘嗎？讓這節(jié)課來告訴大家吧，利用倒推法，倒推法是根據加法與減法、乘法與除法互相逆運算的關系，從最后的得數出發(fā)。因為23是加上2后得到的，就要減去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上3，得63；63是加上9后得到的，就就要減去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以6，得9。所以乙抽到的那一*一定是9。一些游戲，只要你知道其中的奧秘后，你就不會大驚小怪了。例題與方法指導例1.喜迎奧運，猜年齡:*翔的年齡除以4再減去2,乘25正好是100.你知道*翔今幾歲嗎？思路導航：①100÷25+2×4②100÷(25+2×4)③(100÷25+2)×4到底是哪個呢？倒推法的方法：從結果出發(fā)，從后向前運算，并且每個運算變成它的逆運算。正確答案③例2.籃子里有一些梨.小剛取走總數的一半多一個.小明取走余下的一半多1個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一個.這時籃子里還剩梨1個.問：籃子里原有梨多少個？思路導航：依題意，畫圖進展分析.解：列綜合算式：｛［〔1＋1〕×2＋1］×2＋1｝×2＝22〔個〕答：籃子里原有梨22個.例3.菜站原有冬貯大白菜假設干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運進200千克.第三天賣出現有白菜的一半又30千克，結果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？思路導航：解題時用倒推法進展分析.根據題目的條件畫線段圖〔見以下圖〕，使數量關系清晰的展現出來.解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600〔千克〕②第二天運進200千克后的一半是多少千克？600＋30＝630〔千克〕③第二天運進200千克后有白菜多少千克？630×2＝1260〔千克〕④原來的一半是多少千克？1260—200＝1060〔千克〕⑤原有貯存多少千克？1060×2＝2120〔千克〕答：菜站原來貯存大白菜2120千克.綜合算式：［〔1800÷3＋30〕×2—200］×2＝2120〔千克〕答：菜站原有冬貯大白菜2120千克.通過以上例題說明，用倒推法解題時要注意：①從結果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運算都是原來運算的逆運算.③列式時注意運算順序，正確使用括號穩(wěn)固訓練一次數學考試后，李軍問于昆數學考試得多少分.于昆說："用我得的分數減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.〞小朋友，你知道于昆得多少分嗎？馬小虎做一道整數減法題時，把減數個位上的1看成7，把減數十位上的7看成1，結果得出差是111.問正確答案應是幾？樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？拓展提升1. 一次數學考試后，李軍問于昆數學考試得多少分.于昆說："用我得的分數減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.〞小朋友，你知道于昆得多少分嗎？分析這道題如果順推思考，比擬麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進展分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的表達過程編成一道文字題：一個數減去8，加上10，再除以7，乘以4，結果是56.求這個數是多少？把一個數用□來表示，根據題目條件可得到這樣的等式：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的數呢？我們可以從結果56出發(fā)倒推回去.因為56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.解：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56［〔□－8〕＋10〕÷7＝56÷4答：于昆這次數學考試成績是96分.通過以上例題說明，用倒推法解題時要注意：①從結果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運算都是原來運算的逆運算.③列式時注意運算順序，正確使用括號.2. 馬小虎做一道整數減法題時，把減數個位上的1看成7，把減數十位上的7看成1，結果得出差是111.問正確答案應是幾？分析馬小虎錯把減數個位上1看成7，使差減少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此這道題歸結為*數減6，加60得111，求*數是幾的問題.解：111－〔70—10〕＋〔7—1〕＝57答：正確的答案是57.3. 樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？分析倒推時以"三棵樹上鳥的只數相等〞入手分析，可得出現在每棵樹上鳥的只數48÷3＝16〔只〕.第三棵樹上現有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16—6＝10〔只〕.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6—8＝14〔只〕.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24〔只〕，使問題得解.解：①現在三棵樹上各有鳥多少只？48÷3＝16〔只〕②第一棵樹上原有鳥只數.16＋8＝24〔只〕③第二棵樹上原有鳥只數.16＋6—8＝14〔只〕④第三棵樹上原有鳥只數.16—6＝10〔只〕答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥24只、14只和10只.4. 籃子里有一些梨.小剛取走總數的一半多一個.小明取走余下的一半多1個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一個.這時籃子里還剩梨1個.問：籃子里原有梨多少個？分析依題意，畫圖進展分析.解：列綜合算式：｛［〔1＋1〕×2＋1］×2＋1｝×2＝22〔個〕答：籃子里原有梨22個.5. 甲乙兩個油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一局部給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一局部給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個桶里各賣了多少千克油？分析解題關鍵是求出甲、乙兩個油桶最后各有油多少千克."甲、乙兩個油桶各裝油15千克.售貨員賣了14千克〞.可以求出甲、乙兩個油桶共剩油15×2－14＝16〔千克〕.又"甲、乙兩個油桶所剩油〞及"這時甲桶油恰是乙桶油的3倍〞.就可以求出甲、乙兩個油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個油桶最后各有油的千克數后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個油桶各賣出多少千克.解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？15×2-14＝16〔千克〕②乙桶油剩多少千克？16÷〔3＋1〕＝4〔千克〕③甲桶油剩多少千克？4×3＝12〔千克〕用倒推法畫圖如下：④從甲桶賣出油多少千克？15-11＝4〔千克〕⑤從乙桶賣出油多少千克？15—5＝10〔千克〕答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.第十一講列舉法解應用題時，為了解題的方便，把問題分為不重復、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終到達解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。用列舉法解應用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。例題與方法指導例1.一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數字是6的鉛字？思路導航：解：把個位是6和十位是6的數一個一個地列舉出來，數一數。個位是6的數字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個。十位是6的數字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個。 總共10+10=20〔個〕答：在排頁碼時要用20個數字是6的鉛字。例2.從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經過B市到C市有幾種走法？〔適于三年級程度〕思路導航：解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A①B④C第二種走法：A①B⑤C第三種走法：A②B④C第四種走法：A②B⑤C第五種走法：A③B④C第六種走法：A③B⑤C答：從A市經過B市到C市共有6種走法。例3.印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數碼，這本書有多少頁？思路導航：〔1〕數碼一共有10個：0、1、2……8、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數的頁有9頁，用數碼9個?！?〕頁碼是兩位數的從第10頁到第99頁。因為99-9=90，所以，頁碼是兩位數的頁有90頁，用數碼：2×90=180〔個〕〔3〕還剩下的數碼：1890-9-180=1701〔個〕〔4〕因為頁碼是三位數的頁，每頁用3個數碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個數碼除以3時，商缺乏600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數，不必考慮是4位數了。往下要看1701個數碼可以排多少頁。1701÷3=567〔頁〕〔5〕這本書的頁數：9+90+567=666〔頁〕穩(wěn)固訓練如圖9-10，有8*卡片，上面分別寫著自然數1至8。從中取出3*，要使這3*卡片上的數字之和為9。問有多少種不同的取法？解答：三數之和是9，不考慮順序。1+2+6=9，1+3+5=9，2+3+4=9答：有3種不同的取法。 2.從1至8這8個自然數中，每次取出兩個不同的數相加，要使它們的和大