3-03-泰勒展開(kāi)定理匯總課件

泰勒中值定理泰勒中值定理B.Taylor1685-1731

英國(guó)42246420246觀察sinx與一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)f(x)42246420246問(wèn)題的提出（如下圖）以平直代曲以切直代曲不足:問(wèn)題:1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì).分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好1.若在點(diǎn)相交泰勒(Taylor)中值定理證明:拉格朗日形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)用于極限計(jì)算麥克勞林(Maclaurin)公式

Maclaurin

公式是Taylor中值定理的特殊形式，但卻是獨(dú)立于Taylor中值定理并且遲于它被提出來(lái)的。Maclaurin

1698-1746英國(guó)注意:3.凡是用一元微分學(xué)中的定理、技巧能解決的問(wèn)題，大部分都可以用Taylor定理來(lái)解決。掌握了Taylor定理以后，回過(guò)頭來(lái)看前面的那些理論，似乎一切都在你的掌握之中了，你或許會(huì)有一種“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的感覺(jué)！從這個(gè)意義上來(lái)講，說(shuō)“Taylor定理是一元微分學(xué)的頂峰”并非妄言。Taylor公式Maclaurin公式簡(jiǎn)單的應(yīng)用解代入公式,得由公式可知估計(jì)誤差其誤差對(duì)于我們初學(xué)者來(lái)說(shuō)，在給出函數(shù)的Taylor展開(kāi)式或者M(jìn)aclaurin展開(kāi)式時(shí)，我們要知道有一個(gè)余項(xiàng)存在，也就是說(shuō)一個(gè)一般的函數(shù)不與一個(gè)n

次多項(xiàng)式函數(shù)完全相等，兩者有些差別，差別用余項(xiàng)來(lái)體現(xiàn)。但是余項(xiàng)具體的表達(dá)式我們現(xiàn)在可以不用考慮太多。比如，給出函數(shù)的Maclaurin展開(kāi)式常用簡(jiǎn)單函數(shù)的麥克勞林公式可以注意到，正弦函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，所以的Maclaurin展開(kāi)的表達(dá)式中只有x的奇數(shù)次方項(xiàng)，并且所以我們可以通過(guò)這種方式來(lái)很快捷地掌握的Maclaurin展開(kāi)式所以，我們可以得到用n次多項(xiàng)式來(lái)近似表示正弦、余弦函數(shù)的近似計(jì)算結(jié)果，而且可以看到，隨著n的增大，近似效果就越來(lái)越好，x的取值范圍就可以隨之而擴(kuò)大。播放所以，有一個(gè)公式就可以想象并得到其它的幾個(gè)公式。例2

解這就是所謂的“間接展開(kāi)”。解例3

麥克勞林(Maclaurin)公式Taylor公式Maclaurin公式對(duì)于我們初學(xué)者來(lái)說(shuō)，在給出函數(shù)的Taylor展開(kāi)式或者M(jìn)aclaurin展開(kāi)式時(shí)，我們要知道有一個(gè)余項(xiàng)存在，也就是說(shuō)一個(gè)一般的函數(shù)不與一個(gè)n

次多項(xiàng)式函數(shù)完全相等，兩者有些差別，差別用余項(xiàng)來(lái)