向量與線性方程組

向量與線性方程組第一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二向量的定義及線性運算第二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●向量與線性方程組引例一個方程對應一組數(shù)矩陣的一行對應一組數(shù)線性方程組可對應一組數(shù)組；矩陣也可對應一組數(shù)組?！裣蛄康亩x由n個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個n維行向量，記作，其中稱為向量的第i個分量（或坐標）。如果將有序數(shù)組寫成一列的形式，則稱向量為列向量。實際上，行向量即為一個行矩陣，列向量即為一個列矩陣。第三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●幾個概念1、同維向量：分量個數(shù)相等的向量稱為同維向量。2、相等向量：如果向量與是同維向量，而且對應的分量相等，則稱向量與相等。3、零向量：分量都是0的向量稱為零向量，記作O。4、負向量：稱向量為向量的負向量，記作。5、向量組：如果n個向量是同維向量，則稱為向量組第四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●向量的線性運算1、向量的加減法，稱向量設(shè)，則稱向量為向量與向量的和向量，記作為向量與向量的差向量，記作。2、數(shù)乘向量向量的加、減、數(shù)乘運算稱為向量的線性運算。設(shè)向量則稱向量為數(shù)與向量的數(shù)稱向量，記作第五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●向量線性運算的運算律交換律結(jié)合律分配律第六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二例1解

練習：已知，求解

第七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二（1）則方程組有向量形式

●線性方程組的向量表達式若記線性方程組即為系數(shù)矩陣的第列第八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二向量的線性關(guān)系第九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●向量的線性關(guān)系解設(shè)則所以線性組合的概念：設(shè)有同維向量，如果存在一組數(shù)，使得成立，則稱向量可由向量組線性表示，或稱向量是向量組的線性組合。例2設(shè)判斷向量能否由向量組線性表示？如果可以，求出表達式。小結(jié)：可由向量組線性表示線性方程組有解第十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念●顯然：含有零向量的向量組是線性相關(guān)的。因為設(shè)有向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則稱向量組線性相關(guān)，否則，稱向量組線性無關(guān)。即當且僅當

全為零時，才成立，則稱向量組

線性無關(guān)?！駜蓚€向量線性相關(guān)的充要條件是對應分量成比例。第十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二證明例3證明下列向量組線性無關(guān)。設(shè)則所以所以向量組線性無關(guān)。稱向量組為n維向量空間的單位坐標向量組。任何一個n維向量都可由向量組線性表示，第十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二例4討論向量組的線性相關(guān)性解設(shè)則利用矩陣的初等變換，可求得注：有無窮多組解可見，向量組線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解所以向量組線性相關(guān)。第十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二練習判斷向量組的線性相關(guān)性解設(shè)則有因為是方程組的一組非零解所以線性相關(guān)第十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二證明例5已知向量組線性無關(guān)，證明：向量組線性無關(guān)。設(shè)則因為線性無關(guān)所以有解得所以向量組線性無關(guān)。第十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二例6設(shè)線性無關(guān)，又，試證明線性相關(guān)證明設(shè)則有因為線性無關(guān)所以有由于所以不全為零所以線性相關(guān)事實上，可取第十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二證明因為向量組線性相關(guān)所以存在一組不全為零的數(shù)，使得則否則，若則由線性無關(guān)，可推得于是向量組線性無關(guān)這與已知矛盾，所以定理若向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表示，而且表示方法惟一。第十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二于是假設(shè)另有表達式則可得由于線性無關(guān)，所以且表示方法唯一所以可由向量組線性表示，所以可由向量組線性表示。第十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二定理向量組線性相關(guān)的充分必要條件是該向量組中至少有一個向量可由其余的向量組線性表示。證明因為向量組線性相關(guān)所以存在不全為零的數(shù)使得不妨設(shè)于是有反過來，若有可由線性表示則有所以線性相關(guān)第十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二例7設(shè)試問為何值時，可由線性表示，且表示方法唯一？解設(shè)則有（*）因為可由線性表示，且表示方法唯一所以，方程組（*）只有唯一的一組解所以有解得第二十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二小結(jié)：齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組只有零解線性相關(guān)向量組（1）向量組線性無關(guān)（2）(3)向量可由向量組線性表示線性方程組有解第二十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●向量組的線性相關(guān)性的幾個性質(zhì)定理1、單個非零向量是線性無關(guān)的。2、兩個向量線性相關(guān)的充分必要條件是對應分量成比例。3、增加向量，不改變向量組線性相關(guān)；減少向量，不改變向量組線性無關(guān)。即部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，則部分無關(guān)。4、增加分量，不改變向量組線性無關(guān)；減少分量，不改變向量組線性相關(guān)。即低維無關(guān)，則高維無關(guān)；高維相關(guān)，則低維相關(guān)。5、n+1個n維的向量構(gòu)成的向量組是線性相關(guān)的。個數(shù)大于維數(shù)的向量組是線性相關(guān)的。第二十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二向量組與矩陣的秩第二十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●矩陣的K階子式的概念從矩陣A中任取K行K列，其交叉位置上的元素保持相對位置不變，而構(gòu)成的K階行列式，稱之為矩陣A的一個K階子式。如則矩陣A共有個二階子式。它們是：第二十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●矩陣的秩的概念矩陣A中所有不為零的子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記作R(A)或r(A)。顯然，如果R(A)=r，則A中至少有一個r階子式不等于零，所有高于r階的子式都為零。例如因為所以如果A為mχn矩陣，則R(A)≤min(m,n)。特別當R(A)=m時，稱矩陣A為行滿秩；當R(A)=n時，稱矩陣A為列滿秩；當R(A)=m=n時，稱矩陣A為滿秩矩陣。第二十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二定理推論

任意m個n維的向量線性相關(guān)m*n矩陣A的m個行向量線性相關(guān)的重要條件是R(A)<m定理

矩陣A的秩為的充要條件是A中存在r個行向量線性無關(guān)，且任意r+1個行向量(如果存在）線性相關(guān)n個n維的向量線性無關(guān)的充要條件是他們組成的矩陣的行列式不等于零推論m個n維向量線性相關(guān)的充要條件是由他們組成的m*n矩陣的秩為m(m≤n)推論第二十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二行階梯矩陣，行最簡單矩陣

設(shè)A為m*n的矩陣，若A為行階梯，滿足下列三個條件（1）a11,a22，…，ann以下的元素全為零

(2)每一行的每一個非零元前面的零元個數(shù)大與前一行的這種零元的個數(shù)（3）如果某一行的元全為零，則以下額所有行的元全為零

非零行的每一個零元為1，且這些非零元1所在的列的其他元素都為零的行階梯矩陣稱為行最簡單矩陣。第二十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二行階梯矩陣的秩等于非零行的個數(shù)，行最簡單行矩陣的秩等與1的個數(shù)第二十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●利用矩陣的初等變換求矩陣的秩矩陣的初等變換不改變行列式是否為零的性質(zhì)。所以有：定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。例求矩陣的秩解將矩陣作初等變換所以R(A)=3行階梯形

第二十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●課堂練習：利用矩陣的初等變換求下列矩陣的秩答案：問題：矩陣B中是否所有的三階子式都不為零？第三十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●向量組的極大無關(guān)組如果向量組的部分組滿足（1）線性無關(guān)；（2）任意增加一個向量（如果存在的話），向量組線性相關(guān)。則稱向量組為向量組的一個極大線性無關(guān)組，簡稱為極大無關(guān)組。例如：向量組線性相關(guān)，線性無關(guān)。向量組是向量組的一個極大無關(guān)組。向量組也是向量組的一個極大無關(guān)組?？梢?，一個向量組的極大無關(guān)組可以不是惟一的。第三十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●向量組的秩向量組的極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)，稱為向量組的秩。記作例如：向量組的秩為2。如果向量組的秩小于向量組所含向量的個數(shù)，即，則向量組線性相關(guān)。矩陣A的秩=矩陣A的行向量組的秩=矩陣A的列向量組的秩可利用矩陣的初等變換判斷向量組的線性相關(guān)性、求向量組的秩及極大無關(guān)組。如果向量組的秩等于向量組所含向量的個數(shù)，即，則向量組線性無關(guān)。第三十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二例1

判別下列向量組的線性相關(guān)性解令因為所以線性相關(guān)。第三十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二例2

判別下列向量組的線性相關(guān)性解：令因為所以線性無關(guān)。第三十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二●向量組的等價關(guān)系

如果向量組A：中的每一個向量可由向量組B：線性表示，同時，向量組B中的每一個向量可由向量組A線性表示，則稱向量組A與向量組B等價。定理：等價向量組的秩相等。一個向量組和它的任意一個極大無關(guān)組是等價的。等價向量組的性質(zhì)（1）反身性：向量組A與自身等價；（2）對稱性：如果向量組A與B等價，則向量組B與A等價；（3）傳遞性：如果A與B等價，B與C等價，則A與C等價。若矩陣A矩陣B，則矩陣A的行向量組與矩陣B的行向量組等價；行初等變換

若矩陣A矩陣B，則矩陣A的列向量組與矩陣B的列向量組等價；列初等變換

第三十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二例3

求下列向量組的一個極大無關(guān)組解法1：作矩陣記作第三十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期二例3