第三節(jié)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)課件

證明：如圖，為避免涉及在圓周CR上級(jí)數(shù)的收斂或者發(fā)散問(wèn)題，作比CR小，但包含z且與CR同心的圓周應(yīng)用柯西公式得下面我們把展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，且展開(kāi)式以z0為中心，右邊第二個(gè)式子可得代入（1）可得（1）代入然后逐項(xiàng)積分可得根據(jù)柯西公式上式就是以z0為中心的泰勒級(jí)數(shù)下面證明以上得到的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的如果另有一個(gè)以z0為中心的不同于上面的泰勒級(jí)數(shù)則有令z＝z0，得然后求導(dǎo)一次，令z＝z0，可得然后求導(dǎo)一次，令z＝z0，可得依次進(jìn)行下去，可得到與前完全一樣的展開(kāi)式，這樣就證明了解析函數(shù)可以展開(kāi)為唯一的泰勒級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)與解析函數(shù)有密切的關(guān)系。例1在z0＝0的鄰域上把展開(kāi)解：函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)并且有由此可以寫(xiě)出在z0＝0的鄰域上的泰勒級(jí)數(shù)由可知泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑為無(wú)限大，只要z是有限的，則泰勒級(jí)數(shù)就是收斂的！例2在z0＝0的鄰域上把展開(kāi)解：的前四階導(dǎo)數(shù)是往后依次重復(fù)二、解析函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)舉例：在z0＝0處，f1(z)和前四階導(dǎo)數(shù)的值是由此可以寫(xiě)出sinz在z0＝0的鄰域上的泰勒級(jí)數(shù)同樣也可求得其收斂半徑為無(wú)限大！同理可求得cosz在z0＝0的鄰域上的泰勒級(jí)數(shù)為可求得其收斂半徑為無(wú)限大！例3在z0＝1的鄰域上把展開(kāi)解：多值函數(shù)f(z)＝lnz的支點(diǎn)在而現(xiàn)在的展開(kāi)中心z0＝1不是支點(diǎn)，在它的鄰域上，各個(gè)單值分支相互獨(dú)立，各自是一個(gè)單值函數(shù)，可按照單值函數(shù)的展開(kāi)方法加以展開(kāi)。展開(kāi)系數(shù)計(jì)算如下：由泰勒展開(kāi)的公式我們可以寫(xiě)出lnz在z0＝1的鄰域上的泰勒級(jí)數(shù)如下：同時(shí)可求得其收斂半徑為1，則有在上述展開(kāi)式中，n＝0的那個(gè)單值分支叫做lnz的主值例4在z0＝0的鄰域上把展開(kāi)解：（m不是整數(shù)）先計(jì)算展開(kāi)系數(shù)由此我們可以寫(xiě)出在z0＝0的鄰域上的泰勒級(jí)數(shù)可求得收斂半徑為1，由此可得其中這許多單值分支中，n＝0，即1m＝1的這個(gè)分支叫做主值同時(shí)也是指數(shù)為非整數(shù)的二項(xiàng)式定理復(fù)變函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)和實(shí)變函數(shù)的運(yùn)算法則一樣，但要注意復(fù)數(shù)運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算的異同，在計(jì)算的時(shí)候，考慮全面！解析函數(shù)的一