(完整word版)數(shù)列求和常見的7種方法

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦(完整word版)數(shù)列求和常見的7種方法數(shù)列求和的基本辦法和技巧

一、總論：數(shù)列求和7種辦法：利用等差、等比數(shù)列求和公式

錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和

分段求和法（合并法求和）利用數(shù)列通項法求和

二、等差數(shù)列求和的辦法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和辦法是錯位相減法，

三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本辦法。

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)比賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分數(shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)比賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本辦法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的辦法.1、等差數(shù)列求和公式：dnnnaaanSnn2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比數(shù)列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

qqqaaq

qaqnaSnn

n

3、)1(211+==∑=nnkSn

kn4、)12)(1(611

2

++==∑=nnnkSn

kn

5、21

3

)]1(2

1

[+==

∑=nnk

Snkn[例1]已知3

log1log23-=

x，求???++???+++n

xxxx32的前n項和.解：由2

1

2loglog3log1log3323=?-=?-=

xxx

由等比數(shù)列求和公式得n

nxxxxS+???+++=32（利用常用公式）

＝xxxn--1)1(＝

2

11)211(21--n＝1－n21

[例2]設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1

)32()(++=

nn

SnSnf的最大值.

解：由等差數(shù)列求和公式得)1(21+=nnSn，)2)(1(2

1

++=nnSn（利用常用公式）∴1)32()(++=

nnSnSnf＝64

342++nnn

＝

n

n64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n50

1≤

∴當8

8-

n，即n＝8時，501)(max=nf

二、錯位相減法求和

這種辦法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的辦法，這種辦法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分離是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

[例3]求和：1

32)12(7531--+???++++=nnxnxxxS………①

解：由題可知，{1

)12(--nx

n}的通項是等差數(shù)列{2n－1}的通項與等比數(shù)列{1

-nx

}的通項之積

設(shè)n

nxnxxxxxS)12(7531432-+???++++=……….②（設(shè)制錯位）①－②得n

nnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432--+???+++++=--（錯位相減）

再利用等比數(shù)列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1

?

+=--∴2

1)1()

1()12()12(xxxnxnSnnn-+++--=+

[例4]求數(shù)列

??????,2

2,,26,24,2232nn

前n項的和.解：由題可知，{nn22}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{n2

1

}的通項之積

設(shè)nnn

S2226242232+???+++=

…………………①14322

226242221++???+++=nnn

S………………②（設(shè)制錯位）①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-nnnn

S（錯位相減）

1122212+=nnn

∴12

2

4-+-=nnnS

三、反序相加法求和

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的辦法，就是將一個數(shù)列倒過來羅列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個)(1naa+.

[例5]求證：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210+=++???+++

證實：設(shè)n

nnnnnCnCCCS)12(53210++???+++=…………..①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得

113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS++???+-++=-（反序）

又由m

nnmnCC-=可得

n

nnnnnnCCCnCnS++???+-++=-1103)12()12(…………..……..②

①+②得n

nnnnnnnnCCCCnS2)1(2))(22(2110?+=++???+++=-（反序相加）∴n

nnS2)1(?+=

[例6]求

89sin88sin3sin2sin1sin22222++???+++的值

解：設(shè)

89sin88sin3sin2sin1sin22222++???+++=S………….①

將①式右邊反序得

1sin2sin3sin88sin89sin22222+++???++=S…………..②（反序）又由于1cossin),90cos(sin2

2

=+-=xxxx

①+②得（反序相加）

)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222++???++++=S＝89

∴S＝44.5

題1已知函數(shù)

（1）證實：；

（2）求的值.

解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證實左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證實的結(jié)論可知，

兩式相加得：

所以

.

練習(xí)、求值：

四、分組法求和

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分離求和，再將其合并即可.[例7]求數(shù)列的前n項和：231

,,71,41,

1112-+???+++-naaan，…解：設(shè))231

()71()41()11(12-++???++++++=-na

aaSnn

將其每一項拆開再重新組合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-na

aaSnn（分組）當a＝1時，2)13(nnnSn-+=＝2)13(n

n+（分組求和）

當1≠a時，2)13(1111nna

aSn

n-+--=＝2)13(11nnaaan-+[例8]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項和.

解：設(shè)kkkkkkak++=++=2

332)12)(1(

∴∑=++=

nknkkkS1

)12)(1(＝)32(23

1

kkk

n

k++∑=

將其每一項拆開再重新組合得

Sn＝kkkn

knkn

k∑∑∑

===++1

2

1

3

132

（分組）

＝)21()21(3)21(22

2

2

3

3

3

nnn+???++++???++++???++

＝2)

1(2)12)(1(2)1(22++++++nnnnnnn（分組求和）＝2

)

2()1(2++nnn

五、裂項法求和

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的詳細應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，終于達到求和的目的.通項分解（裂項）如：

（1）)()1(nfnfan-+=（2）

nnnntan)1tan()1cos(cos1sin-+=+（3）1

1

1)1(1+-=+=nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

nnnnnan（5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

nnnnnnnan

(6)n

n

nnnnnnSnnnnnnnnna2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-則（7）)1

1(1))((1C

AnBAnBCCAnBAnan+-+-=++=

（8

）na==

[例9]求數(shù)列

???++???++,1

1,

,321,

2

11nn的前n項和.

解：設(shè)nnnnan-+=++=

11

1

（裂項）

則1

13

212

11+++

???+++

+=

nnSn（裂項求和）

＝)1()23()12(nn-++???+-+-＝11-+n[例10]在數(shù)列{an}中，1

1211++

???++++=

nn

nnan，又12+?=nnnaab，求數(shù)列{bn}的前n項的和.解：∵211211n

nnnnan=++???++++=

∴)11

1(82

122+-=+?=nnnnbn（裂項）

∴數(shù)列{bn}的前n項和

)]1

11(

)41

31()3121()211[(8+-+???+-+-+-=nnSn（裂項求和）＝)1

11(8+-n＝

18+nn

[例11]求證：

1

sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12=+???++解：設(shè)

89

cos88cos1

2cos1cos11cos0cos1+???++=

S∵

nnnntan)1tan()

1cos(cos1sin-+=+（裂項）∴89cos88cos1

2cos1cos11cos0cos1+

???++=

S（裂項求和）＝]}88tan89[tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1{(tan1

sin1

-+-+-+-＝)0tan89(tan1sin1-＝

1cot1

sin1?＝1sin1cos2∴原等式成立

答案：

六、分段求和法（合并法求和）

針對一些特別的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特別的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.

解：設(shè)Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°

∵)180cos(cos

nn--=（找特別性質(zhì)項）

∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···

+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）

＝0

[例13]數(shù)列{an}：nnnaaaaaa-====++12321,2,3,1，求S2022.

解：設(shè)S2022＝2022321aaaa+???+++

由nnnaaaaaa-====++12321,2,3,1可得

,2,3,1654-=-=-=aaa

,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====aaaaaa

……

2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++kkkkkkaaaaaa

∵0665646362616=+++++++++++kkkkkkaaaaaa（找特別性質(zhì)項）∴S2022＝2022321aaaa+???+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++kkkaaaaaaaaaa

2022202220001999199819941993)(aaaaaaa+++++???+++???+

＝2022202220001999aaaa+++＝46362616+++++++kkkkaaaa＝5

[例14]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若103231365logloglog,9aaaaa+???++=求的值.

解：設(shè)1032313logloglogaaaSn+???++=

由等比數(shù)列的性質(zhì)qpnmaaaaqpnm=?+=+（找特別性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì)NMNMaaa?=+logloglog得

)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn++???++++=（合并求和）

＝)(log)(log)(log6539231013aaaaaa?+???+?+?

＝9log9log9log333+???++＝10

七、利用數(shù)列的通項求和

先按照數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征舉行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的邏輯來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的辦法.

[例15]求

1

1111111111個n???+???+++之和.解：因為)110(91

99999111111

1

-=????=???kkk

個個（找通項及特征）∴1

1111111111個n???+???+++＝

)110(91

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n（分組求和）＝

)1111(91)10101010(911

321個nn+???+++-+???+++＝9

110)110(1091n

n?

＝

)91010(81

1

1nn--+[例16]已知數(shù)列{an}：∑∞

=+-+++=

1

1))(1(,)3)(1(8

n