2022-2023學(xué)年山東省諸城高二年級上冊學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題（一）含答案

2022-2023學(xué)年山東省諸城高二上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題（一）

一、單選題

1.已知b,c為三條不同的直線名尸，/為三個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若bua,則a//aB,若aua,bu0,〃//>,則夕

C.若a%,alia,則“〃6D.若ac/7=a,/口/=6,ac/=c,aHb,則

b//c

【答案】D

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系，逐個選項(xiàng)分析.

【詳解】若bua,則a//a或aua,故A選項(xiàng)錯誤；

若aua,bu0,。//，則a〃夕或a與/相交，故B選項(xiàng)錯誤.

若a〃尸，alia,則a〃尸或au",故c選項(xiàng)錯誤；

若ec4=a,acy=c,aHb,則b//c,正確，

證明如下：皿,buy,;.a//7,

又aua,且acy=c,:.aHc,則6〃c,故D選項(xiàng)正確；

故選：D.

2.一個正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球，作正方體的對角面，所得的截面圖形是（）

【答案】B

【分析】由對角線組成的面稱為對角面，易得正方體的對角面是一個矩形，而球截面在矩形正中間,

與矩形的兩條邊相切，據(jù)此即可判斷

【詳解】由組合體的結(jié)構(gòu)特征可知球與正方體的各面相切，而與各棱相離，所以截面圖形中的圓與

上下底面的對角線相切，與兩側(cè)棱相離，只有B符合

故選：B

3.已知直線4：（"，+2）x+（w+3）y-5=0和4：6x+（2"Ll）_y=5互相平行，則加=

_5_59

A.4B.2C.4,2D.-1,2

【答案】B

【解析】由"4或44重合直線方程的系數(shù)關(guān)系，求出〃，，再代入直線方程驗(yàn)證，排除重合，即可

求解.

【詳解】若"4或4,‘2重合，（機(jī)+2）（2加一1）一6（〃?+3）=0,

5

m——

即2〃廣0-3〃？-20=0,解得機(jī)=4或2,

當(dāng)〃?=4時4：6x+7y-5=OZ2:6x+-5=0

44重合，不合題意，舍去；

55

=一二,［八l\x-y——=0

當(dāng)2,/|：x—y+10=n0,2,6

此時“〃2.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查直線的位置關(guān)系，要明確直線一般式方程與位置關(guān)系的充要條件，屬于中檔題.

4.經(jīng)過“（°2）,以1，0）兩點(diǎn)的直線的方向向量為M）,則上的值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【分析】由兩點(diǎn)的斜率公式計算即可.

k,—_2_-_0_——2-

【詳解】解：由已知得一0T一.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)的斜率公式及直線方向向量的概念，是基礎(chǔ)題.

5.平移直線x-V+l=°使其與圓（x-2）、（y-l）2=l相切，則平移的最短距離為（）

A.近B.2-V2C.血TD.0+1

【答案】C

M=i

【解析】設(shè)直線方程x-〉+c=°,則圓心（2,1）到x—y+c=°的距離為J2,求出C,再求平移

的最短距離.

【詳解】設(shè)直線方程x-'+c=°,

M=1

則圓心（2,1）到x-y+c=°的距離為V2,

解得C=-1±0,

所以平移最短距離后，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線，直線到直線的距離公式，考查學(xué)生的計算

能力，比較基礎(chǔ).

6.已知圓G：/+V_+/_1=0和圓:/+/-2號+“2-9=0恰有三條公共切線，貝|J

（5—6）2+（/8）2的最小值為（）

A.6B.36C.10D.加

【答案】B

【分析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得機(jī)，〃的關(guān)系，從而點(diǎn)°（嘰〃）在以原點(diǎn)為圓心，4為

半徑的圓上，記尸（6,8）,由歸°1求得歸@的最小值，平方后即得結(jié)論.

【詳解】圓G標(biāo)準(zhǔn)方程為=G（嘰0）,半徑為4=1,

圓G標(biāo)準(zhǔn)方程為=9,G（°，〃），半徑為弓=3,

兩圓有三條公切線，則兩圓外切，

所以==1+3=4,即加2+〃2=[6,

點(diǎn)Q（見〃）在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記尸（6,8）,

|尸。卜J（0-6『+（0-8）2=1。,所以同Ln=10-4=6,

所以（加-6）2+（〃-8了的最小值為62=36.

故選：B.

7.己知/＞，°分別為圓"：（》-6）、（六3）2=4與圓汽：0+4）2+3-2）2=1上的動點(diǎn)，A為*軸上

的動點(diǎn)，則MPI+M0的最小值是（）

A.7B.8C.5舊-3D.5石-2

【答案】C

【分析】作圓N關(guān)于x軸對稱的圓G,根據(jù)兩邊之差小于等于第三邊，兩邊之和大于等于第三邊，

轉(zhuǎn)化為IMG|的長度可得.

【詳解】如圖，作圓N關(guān)于x軸對稱的圓G,則圓G：（x+4）2+（y+2『=l.

所以+巨

=||+1/G|-3>|MG\-3=J(6+4)2+(3+2)2.3=5石-3

當(dāng)且僅當(dāng)M,4G三點(diǎn)共線時，等號成立.

貝/"勺+1/。1的最小值為5右-3,

故選：C.

8.如圖，已知?！晔钦?8C的中位線，沿/。將“8C折成直二面角8-/0-C,則翻折后異面

直線AB與DE所成角的余弦值為（）

22

A.4B.3C.2D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)08c為正三角形，。為中點(diǎn)，所以折疊后平面BDC,又二面角8-/3-C為

直二面角，以。為原點(diǎn)，分別以。8,DC,DA為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得向量

快.國

cosa國同求解

甌在由

【詳解】因?yàn)椤?c為正三角形，。為中點(diǎn)，所以折疊后力。1平面BDC,

又二面角8-NO-C為直二面角,

所以，

以。為原點(diǎn)，分別以。8,DC,DA為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

E

力長,0,73）,8（1,0,0）,C（0,1,0）,E0,；，*

設(shè)正三角形的邊長為：2,則IJ

石=1,0,⑸庫=0,1,y

\/

恒日3

cosa

4

異面直線Z8與。E所成角a同國

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量法求異面直線所成角，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、多選題

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.若［直線/方向向量，/人平面則'"（'eR）是平面a的一個法向量

B,坐標(biāo)平面內(nèi)過點(diǎn)"&/。）的直線可以寫成"（I。）+8&-%）=08+八o）

C.直線/過點(diǎn)（々3）,且原點(diǎn)到/的距離是2,則/的方程是外+12^-26=°

D.設(shè)二次函數(shù)y=（x—2°20）*+2021）的圖象與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)，則過這三個點(diǎn)的圓與坐標(biāo)軸的

另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（°，1）

【答案】BD

【分析】當(dāng)2=0時，幾丁=6,不能作為平面的法向量可判斷A；設(shè)過點(diǎn)P（//。）的直線方程一般式

為Zx+B），+C=0（才+1*0）,可得C=-/x°-8%,代入直線可判斷&直線/斜率存在和不存在

兩種情況可判斷C：求出二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)，再利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)可判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)久=°時，^=0,不能作為平面的法向量，故A錯誤:

對于B,設(shè)過點(diǎn)尸（毛/。）的直線方程一般式為Ax+By+C=0（4+8?X0）,

可得"Xo+8y（,+C=°,即C=-/x（）-圾。，代入直線方程得“x+8y-/x。一塊。=°,

提取公因式得Z（x_Xo）+8（y-%）=°（/+82#O）,故B正確：

對于C,當(dāng)直線/斜率不存在時，即x=-2,檢驗(yàn)原點(diǎn)到/的距離是2,所以符合;

當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)為九則/方程為：V-3=A（X+2）,即米-y+2A+3=°,

心昨1=2-9

利用原點(diǎn)到直線的距離爐力，解得一一石，所以5x+12y-26=0,

故直線/的方程是x=-2或5x+12y-26=0,故c錯誤；

對于D,由題知，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)為（°，-2021x2020）,

（-2021,0）,（2020,0）,設(shè)過這三個點(diǎn)的圓的方程為x"+m+Ey+F=S+E-F>。），

令y=0,x2+Dt+"=°的兩根為2020,-2021,由韋達(dá)定理知尸=-2021x2020,

令x=0,y?+￡>+尸=0的其中一個根為一2021x2020,所以另一個根為1,

即圓過點(diǎn)（0,1）,故D正確.

故選：BD.

10.如圖，以垂直于以48為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)C是圓周上異于A,B任一點(diǎn)，則下列結(jié)

論中正確的是

A.PBLACB.PCLBC

C.NCJ_平面尸8cD.平面「4C，平面「8c

【答案】BD

【分析】由題意結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及平面幾何知識可得P/'8C、AC1BC,再由線面垂直的

判定、性質(zhì)可判斷B,由面面垂直的判定可判斷D：結(jié)合線面垂直的判定、性質(zhì)可判斷A、C；即

可得解.

【詳解】因?yàn)?垂直于以48為直徑的圓所在的平面，所以PALAC,

又點(diǎn)C是圓周上異于A,B任一點(diǎn)，所以

對于A,若P8_LZC,則可得4C,平面P8C,則/C1PC,與P/LZC矛盾，故A錯誤；

對于B、D,可知8C/平面尸/C,所以PCL8C,由BCu平面P8C可得平面PZCJ?平面P8C,

故B、D正確；

對于C,由"C與PC不垂直可得ZC1平面P8C不成立，故c錯誤.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題考查了線面、面面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理，

屬于基礎(chǔ)題.

11.以下四個命題表述正確的是（）

A.若兩條直線互相平行，則它們的斜率相等

B.已知圓C：》+廣=4,點(diǎn)尸為直線42上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸向圓C引兩條切線

PA、PB,A.8為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)（L2）

C.曲線G；x2+V+2x=0與曲線C2：x2+/_4x_8y+〃?=0恰有三條公切線，則相=4

D.圓x、V=4上存在4個點(diǎn)到直線/：x-y+啦=°的距離都等于1

【答案】BC

【分析】對于A:當(dāng)兩條直線互相平行，可能斜率不存在即可判斷；

對于B:根據(jù)Z8為切點(diǎn)，得出。，OBVPB,由此判斷在以。尸為直徑的圓上，以此求

出公共弦48的直線方程，找到定點(diǎn).

對于C:兩圓三條公切線，說明兩圓外切，兩圓心距離應(yīng)該等于兩圓半徑之和.

對于D:判斷直線與圓上各點(diǎn)距離兩個方向的最遠(yuǎn)距離，兩值大于1則有四個滿足條件的點(diǎn).

【詳解】對于A:若兩條直線平行，則斜率不存在或斜率相等，故A錯誤；

對于B:設(shè)點(diǎn)「（”，〃），因?yàn)?8為切點(diǎn)，所以。4,尸/,OBLPB,連接°尸，根據(jù)圓周角與圓直徑

關(guān)系可知，兩點(diǎn)在以°P為直徑的圓上，圓的方程為/+町'=°,兩圓公共弦48所在直

線方程為'》+理=4,

mx-^ny=4

聯(lián)立方程￡2得4（x-l）+”（y-2x）=0,令x=l,則片2

故B正確.

對于C:曲線G：（x+l）-+/=l,曲線°2：0-2）-+&-4）一=20-切，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所

以兩圓外切，故J（l+2>+（0+4）='20一"+得人

故C正確.

對于D:直線》一夕+2&=0與圓/+/=4相切，且x-y+2上=0與x_y+Q=0距離為］,因此

圓/+/=4上存在3個點(diǎn)到直線/：x-y+&=°的距離都等于1

故D錯誤.

故選:BC

12.如圖四棱錐P-/8cO,平面P/。，平面?zhèn)让媸?。是邊長為久后的正三角形，底面

“SCO為矩形，。=2石，點(diǎn)。是心的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.00_1平面左。

20

B.PC與平面”℃所成角的余弦值為亍

C.三棱錐8-/C。的體積為6及

D.四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為24e

【答案】BD

【分析】取力。的中點(diǎn)°,8c的中點(diǎn)E,連接°瓦°尸，則由已知可得。戶，平面”88,而底面

“8CO為矩形，所以以°為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以°口，°瓦°尸所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量依次求解即可.

【詳解】解：取工。的中點(diǎn)°,8c的中點(diǎn)E,連接。瓦°「，

因?yàn)槿切问?。為等邊三角形，所以°?力°,

因?yàn)槠矫嫫矫?8CO,所以。平面ABCD,

因?yàn)?Z）_L°E,所以°°，°區(qū)°尸兩兩垂直，

所以，如下圖，以°為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以02°E,°尸所在的直線為x軸，V軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，則°（。，0，。），"（布，0,0），,（-逐，。，。）,

P(0,0,3偽,C(跖2省,0),5(-76,2^,0)

Q匹0逑）

因?yàn)辄c(diǎn)。是尸3的中點(diǎn)，所以2''2

平面尸/D的一個法向量為加=（0,1，°）,

~QQ=2Azi3五）_

2''2）,顯然，"與℃不共線，

所以C。與平面PZO不垂直，所以A不正確；

PC=（76,273,-372），而=（亞,0,逑）,AC=Q瓜26,0）

設(shè)平面4℃的法向量為"=（x,y,z）,則

-F3&乎八

n-AQ=---x+z=0

22

n-AC=2瓜x+y=0

令X=l,則夕=_&,2=一百，

所以"=（1,一"一物,

設(shè)尸C與平面所成角為

—?—?

n-PC2V6]_

sin￡=

RR6c3

則

2>/2

cos6=^-

所以3,所以B正確;

三棱錐8—4c°的體積為

，B.ACO=^Q-ABC~飛S^ABC50P

=-xlx2V3x2>/6xlx3V2=6

322

所以C不正確;

設(shè)四棱錐Q-"SC。外接球的球心為"（°，6M）,則MQ=MD,

解得4=0,即加（0,百,0）為矩形/8CO對角線的交點(diǎn),

所以四棱錐°一”88外接球的半徑為3,

設(shè)四棱錐0—“8CO外接球的內(nèi)接正四面體的棱長為X,

將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體面的對角線,

電x3隹J=6?

故正方體的棱長為2，所以I2)，得/=24,

4x—%2=24G

所以正四面體的表面積為4,所以D正確.

【點(diǎn)睛】此題考查線面垂直，線面角，棱錐的體積，棱錐的外接球等知識，綜合性強(qiáng)，考查了計算

能力，屬于較難題.

三、填空題

13.點(diǎn)'(T7)到直線12x+5y-l=0的距離為.

【答案】2

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，直接求解，即可得出結(jié)果.

j2x(_5)+5x7T=?

【詳解】點(diǎn)士5,7)到直線12x+5y-l=°的距離為V122+52

故答案為:2.

【點(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)到直線的距離，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

14.一棱長為4的正四面體木塊如圖所示，尸是棱口的中點(diǎn)，過點(diǎn)尸將木塊鋸開，使截面尸尸。平

行于棱-8和ZC,則截面尸、D、EF刊話。的面積為.

【答案】4

【解析】利用線面平行的判定定理可得四邊形尸尸瓦9為所求的截面，易知四邊形尸尸。是邊長為2

的正方形，即可求得截面的面積.

在平面以0內(nèi)作直線PDHAC,交W于點(diǎn)Q,

在平面電力內(nèi)作直線尸產(chǎn)〃K8,交4B于點(diǎn)F,

過點(diǎn)。作直線DE/%8,交BC于點(diǎn)E,

所以PF〃DE,

所以P、D、E尸四點(diǎn)共面，且面尸尸即與直線”和NC都平行，

因?yàn)檎拿骟w中所以尸。，

所以四邊形巴花。是邊長為2的正方形，所以面積為2x2=4

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定和實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是作出截面，屬于基礎(chǔ)題.

->

15.0=（1/，1）是平面廣的一個法向量，如果直線用與平面/垂直，則直線加的單位方向向量

—>

b=

（666、（73V361

【答案】、T'T'T/或r1）I

【分析】根據(jù)題意可知直線機(jī)的單位方向向量與”=（LI，I）共線，進(jìn)而求出答案.

【詳解】由題意，直線〃，的單位方向向量為；，因?yàn)橹本€旭與平面/垂直，所以

--工_1!A1=1A1712+12+12=V3|2|=1=>A=±—

bHa,所以設(shè)6-六一'（J/），于是?"3,

g"號'號'號卡7'一7'一了

所以iJ或\>.

故答案為：［3，3，3）或［3'3'3j

16.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心、重心、垂

心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角

形的歐拉線.已知“BC的頂點(diǎn)“（4,0），8（0,2）,C（0,-3）,則以18c歐拉線的方程為.

【答案】3=0

【分析】根據(jù)。8c的頂點(diǎn)為'（4,0），8（0,2）,C（0,-3）,求得重心坐標(biāo)，結(jié)合外心的性質(zhì)設(shè)

△/8C的外心田的坐標(biāo)，由I段1=1附I求得坐標(biāo)，然后寫出歐拉線方程.

【詳解】因?yàn)椋旱捻旤c(diǎn)為“（4，°），8（0,2）＜（0,-3）,

4

G

3，-3

所以重心

1

y=—

因?yàn)榫€段BC的垂直平分線方程為2,

所以可設(shè)“8C的外心為小4

（a-4）2+|-1-0

則|畋1|=|附|,即

5

a=—

解得4,

5_1_

W

4，-2

所以

1一3

y+-3=f—r

所以該三角形的歐拉線方程為3'

化簡可得，2x-y-3=0.

故答案為：2x-y-3=0.

四、解答題

17.在①圓經(jīng)過C（3,4）,②圓心在直線x+y-2=°上，③圓截y軸所得弦長為8且圓心E的坐標(biāo)

為整數(shù)；這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，進(jìn)行求解.

已知圓E經(jīng)過點(diǎn)'（T2）,8（6,3）且.

（1）求圓E的方程；

（2）己知直線/經(jīng)過點(diǎn)（一2,2）,直線/與圓E相交所得的弦長為8,求直線/的方程.

【答案】（1）（X-3）2+（y+l）2=25：（2）y=2或15x+8y+14=0

【解析】(1)設(shè)圓的方程為一+式+6+學(xué)+尸=0,根據(jù)待定系數(shù)法求解圓的方程即可；

(2)設(shè)圓心到直線的距離為d,則由(1)得"=3,易知直線的斜率存在，故設(shè)其方程為

y-2=k(x+2)t進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式解方程得k=0,故直線/的方程為

歹二2或15x+8y+14=0

【詳解】解：選條件①，

(1)設(shè)圓的方程為/+/+6+切+尸=0,

5-D+2￡*+F=0

<45+6O+3E+尸=0

依題意有卜5+3O+4E+尸=0,

解得。=-6,E=2,F=-\5,

所以圓的方程為/+V-6x+2y-15=°,

即圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：6-3)2+3+1)2=25.

(2)設(shè)圓心到直線的距離為“，

則弦長L=-d。=8n,25-/=4=>d=3,

當(dāng)直線的斜率不存在時，1=5x3,所以直線的斜率存在,

設(shè)其方程為y_2=《(x+2),即h-y+2%+2=0,

伙+1+2%+2|15

"一〃/,7+1<一',解得左=°,k=---8,

所以所求直線的方程為'=2或15x+8y+14=0

選條件②，

(1)設(shè)圓的方程為+或+尸=°,

因?yàn)閳A￡經(jīng)過點(diǎn)"(-L2),8(6,3),且圓心在直線x+V-2=0上

5—O+2E+尸=0

45+6O+3E+E=0

-^-2=0

依題意有22

解得O=-6,E=2,F=-\5,

所以圓￡的方程為（~3）2+3+1）2=25

(2)設(shè)圓心到直線的距離為“，

貝lj弦長L=2\lr2-d~=8=>\l25-d2=4=d=3,

當(dāng)直線的斜率不存在時，"=5x3,所以直線的斜率存在,

設(shè)其方程為，-2=后。+2),即去_y+2A+2=0,

d」3%+l+2k+2j

而石，解得M=°,~京，

所以所求直線的方程為'=2或15x+8y+14=0

選條件③，

設(shè)圓E的方程為、2+/+m+或+尸=0,

\5-D+2E+F=0

由圓E經(jīng)過點(diǎn)4T2),8(6,3),故(45+6。+3￡+尸=0,

又因?yàn)閳A截夕軸所得弦長為8,

故方程V+砂+尸=°的兩個實(shí)數(shù)根如力的差的絕對值為8.

所以帆一閭=1(%+%)2-4必%=JE2-4F=8,即爐-4F=64

'5-D+2E+F=0

<45+60+3E+F=O

解方程組卜一4尸=64,

。=一3￡=_巴尸=箜

得D=-6,E=2,尸=一15或49,7,49,

由于圓心E的坐標(biāo)為整數(shù)，

故圓E的方程為(X-ST+5+17=25

(2)設(shè)圓心到直線的距離為"，

貝lj弦長￡=2\Jr2-d2=8n,25=4nd=3,

當(dāng)直線的斜率不存在時，”=5w3,所以直線的斜率存在,

設(shè)其方程為y_2=k(x+2),即h-y+2A?+2=0,

〃」3斤+1+2左+2|,A__15

護(hù)石，解得“=°,一一可，

所以所求直線的方程為k2或15x+8y+14=0

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，圓的弦長問題，考查運(yùn)算求解能力.本題解題的關(guān)鍵在

于利用弦長/,半徑，?與圓心到直線的距離"之間的關(guān)系，=2獷R求解.此外，本題的解題過程中,

還容易出現(xiàn)忽視直線斜率不存在的討論而導(dǎo)致解題不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}出現(xiàn)，需要格外注意.

18.如圖，六面體/G中，四邊形為菱形，AE,BF,CG,?！倍即怪庇谄矫?/p>

ABCD.若DA=DH=DB=4,AE=CG=3.

（1）求證：EGLDF；

（2）求與平面EFG/Z所成角的正弦值.

4-

【答案】（1）證明見解析；（2）25.

【分析】（1）證明：連接ZC,EG,由己知條件，利用平行四邊形的判定與性質(zhì)得到EG〃ZC,進(jìn)

而得到EG_L8。，EGLBF,利用線面垂直的判定定理得到EG,平面BDHF,進(jìn)而得到結(jié)論；

（2）設(shè)/Cn8O=O,EGCHF=P,由已知條件，利用線面垂直的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理

得到平面"O"""平面8CG凡利用面面平行的性質(zhì)定理得到.〃尸G,同理可得：EF//HG,得

到四邊形￡FG"為平行四邊形，得到P為EG的中點(diǎn)，從而可得0P1平面488,進(jìn)而可以判定

OA,OB,0P兩兩垂直，依此建立空間直角坐標(biāo)系°一中2,進(jìn)而利用空間向量計算求解即得.

【詳解】（1）證明：連接/c,EG，F(xiàn)H,

由AE||CG,AE=CG,可知四邊形AEGC為平行四邊形.

所以EG〃/C,rfnAC1.BD,AC1.BF,

所以EG18。，EGLBF,

因?yàn)樗訣GJL平面8ZV/F,

又DFu平面BDHF,所以

(2)設(shè)力Cn8D=O,EGQHF=P,

由已知可得：AE,8F都垂直于平面/18C￡>,

又???四邊形/BCD為菱形，'''ADIIBC>'-5FffiADHEH5F?BCGF,

所以E"〃尸G,同理可得：EF//HG,所以四邊形為平行四邊形,

所以P為EG的中點(diǎn)，。為/C的中點(diǎn)，所以瓦°「=/石，

從而OP1平面ABCD,

又OA1OB,所以。4,OB,。尸兩兩垂直，由平面幾何知識，得8尸=2.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

則8(0,2,0),E(2行，0,3),尸(0,2,2),尸(0,0,3),

所以詬=（2百，-2,3）,而=（2方，0,0）,麗=（0,2,-1）.

設(shè)平面ENG4的法向量為〃=（x,y,z）,

n-PE=0jx=0

由匕屏=0可得說1=0,

令y=l,則z=2,所以〃=（0』,2）.

Olliiz一■■———___

設(shè)8E與平面EFG”所成角為仇則避打|〃|25.

【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面面平行的判定與性質(zhì)，考查利用空間向量求線面

角問題，屬中檔題，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，利用有關(guān)定理進(jìn)行論證后建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，

進(jìn)而解決問題.

19.已知圓C：八尺』-4k28=0及直線人5+l）x+（〃I）尸6,〃（〃，eR）

（1）求證：不論加取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓C總相交；

（2）求直線/被圓C截得的弦長最短長度及此時的直線方程.

【答案】（1）證明見解析

⑵最短長度為2南，x+"6=0

【分析】（1）依據(jù)題意可知直線過定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.

（2）計算仁.1的長度以及分",然后依據(jù)弦長公式和直線的點(diǎn)斜式可得結(jié)果.

【詳解】（1）證明：把直線/的方程改寫成（x-y）+〃G+y-6）=o

卜+y-6=0卜=3

由方程組1"、=°,解得卜=3

二直線/過定點(diǎn)歷③3.

圓C的方程可寫成（x—2）-+。_2）一=36

???圓C的圓心為C（22）,半徑為6,

定點(diǎn)/③3到圓心°（2,2）的距離為J（3-2『+（3-2）2=也＜6,

二點(diǎn)也⑶3在圓C內(nèi).

???過點(diǎn)必③3的直線/總與圓。相交,

即不論機(jī)取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓C總相交.

（2）當(dāng)直線/過定點(diǎn)"③3且垂直于過點(diǎn)用的半徑時,

/被圓C截得的弦長最短.（如圖）

\CM\=J（3-2）2+（3-2）2=&L=占=1

k=__!_=_i

22

|AB|=27|/（C|-|CM|=2734,此時，竊kCM

???直線Z5的方程為k3=TG-3）,

即x+y-6=0

故直線/被圓C截得的弦長的最短長度為2國，

此時直線/的方程為x+'-6=0

20.如圖，四邊形PCBM是直角梯形，Z.PCB=90°,PM||BC,PM=1,BC=2.又

AC=1,Z.ACB=120°,AB1PC,直線AM與直線PC所成的角為60。.

（1）求證：PC1AC；

（2）求二面角MDACDB的余弦值；

（3）求點(diǎn)B到平面MAC的距離.

叵芭i

【答案】（I）詳見解析；（2）7；（3）

【詳解】方法1：(1)證明：-.-PC1BC,PC_L/8,...PC,平面力8C,...PCL/C.

（2）取8c的中點(diǎn)N,連MN....PMgN,：.MN4PC,：.MN1平面ABC

M

作NH14C,交PC的延長線于￡,連接

由三垂線定理得NELMH,...ZMHN為二面角M-AC-B的平面角.

?.?直線與直線尸C所成的角為60°,

...在R/AJAW中，N/MV=60°.

在ZL4CN中，AN=7AC2+CN2-2AC-CN'COS120°=V3.

在RtMMN中,MN二AN?cot/AMN=V^cot60°=1.

在Rt^CH中,NH=CN-sinZNCH=lXsin60°=有

MH22

在RtAMNH中,...-VMN+NH=-y-i.

V21

故二面角M-AC-B的余弦值為〒.

(3)作幅JLW于N.?.?^^平面收4。，.../5。_1/，...M/。平面初忙,

MN?NH二五!

???點(diǎn)N到平面MAC的距離為心MH=7.

???點(diǎn)N是線段8c的中點(diǎn)，

2匹

...點(diǎn)B到平面M4c的距離是點(diǎn)N到平面M4C的距離的兩倍為7.

方法2：(1)證明：-.-PC1BC,PCJ./5,...PCL平面48C,...PC_L/IC.

設(shè)立00*）,ljl|jCP=（0,0,z）.

AM=（0,1,z）-（堂,0）=（-率,，z）

乙乙乙乙

2

cos60°=|cos<AM?CP>I=IAM>CP,

2

IAM|,|CP|A/3+Z,|zI,

且二＞。一..百號得I,..正（一冬看°

n*AM=0

設(shè)平面朋ZC的一個法向量為"-㈠則由n*CA=0

1=0產(chǎn)一艮-（-E--）

M10

得〔尸-1.「（亍1'1）

得

平面”C的一個法向量為而=（0,0,1）,C0S＜n，CP＞一肅篙者.

V21

顯然，二面角M-/C-8為銳二面角，...二面角M-4C-8的余弦值為7.

（3）點(diǎn)8到平面M4c的距離7

21.已知圓M的方程為父+3-2/=1,直線/的方程為x-3y=O,點(diǎn)尸在直線/上，過點(diǎn)尸作圓

0）求四邊形PAMB面積的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)：

*）求證：經(jīng)過小P,M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).

但,2]運(yùn)化”

【答案】⑴（°。或（55人（2）四邊形產(chǎn)/材8面積的最小值為5,P的坐標(biāo)為155人

（3）見解析.

【分析】⑴設(shè)°（3加，機(jī)），連接叼，分析易得刊P=2M4=2,即有（3⑼°+（”-2）2=4,解可得加

的值，即可得答案；

2222

G）根據(jù)題意，分析易得S四邊物MMB=2S“尸=V.^AP=MP-MA=MP-1,當(dāng)

加尸最小時，即直線M尸與直線/垂直時，四邊形尸/A"面積最小，設(shè)出尸的坐標(biāo)，則有

-^-=-3

3〃-0,解可得〃的值，進(jìn)而分析“尸的最小值，求出四邊形面積，即可得答案；

G）根據(jù)題意，分析可得：過4P,〃三點(diǎn)的圓為以A行為直徑的圓，設(shè)P的坐標(biāo)為0見"），用

〃，表示過7,P,M三點(diǎn)的圓為公十丁一2丁-〃?（3'+'-2）=0,結(jié)合直線與圓位置關(guān)系，分析可得

答案.

【詳解】°）根據(jù)題意，點(diǎn)P在直線/上，

設(shè)P（3"?,/n）,連接加尸，

因?yàn)閳AM的方程為—+3-2）2=1,

所以圓心W半徑廠=1.

因?yàn)檫^點(diǎn)尸作圓m的切線P/、PB,切點(diǎn)為/、B；

則有PB1MB,^_MA=MB=r=\,

易得“PM三ABPM,

又由/力尸8=60°,即AAPM=30°,

則MP=2MA=2,

即有（3〃?）2+（加一2）2=4,

2

m——

解可得：加=0或5,

即p的坐標(biāo)為（°，。）或（D）；

Q）根據(jù)題意，“PMwBPM,則$四HL^PAMB=2S.APM=M4,AP=AP

又由AP2=MP2-MA2=MP2,

當(dāng)MP最小時，即直線MP與直線/垂直時，四邊形面積最小，

設(shè)此時產(chǎn)的坐標(biāo)為（3凡〃）；有不彘一一，解可得“一二，

即尸的坐標(biāo)為（55人

此時S+95,則四邊形尸/MB面積的最小值為5

0）根據(jù)題意，尸/是圓M的切線，則尸/-LA/N,則過4,p,M三點(diǎn)的圓為以MP為直徑的圓，

設(shè)P的坐標(biāo)為（加"），/（°，2）,

則以心為直徑的圓為（X-°）（>-3〃7）+&F）（尸2）=0,

變形可得：“2+