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文檔簡介
2022-2023學年重慶市北藉區(qū)高一上學期期末數(shù)學試題
一、單選題
I.已知全集。=R,A={x|-l<x<2),則()
A.|x|x<-l|B.{x[x<-4或xW2}
C.{x|x>21D.{x|xVT或x>2}
【答案】B
【分析】根據(jù)補集的定義計算可得.
【詳解】解:因為全集。=11,A={x|-l<x<2},
所以6A={x|x<-1或x±2}.
故選:B
2.若xeR,則—是“(x+D(x-2)=0”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】解:由(x+l)(x—2)=0,解得卡一1或x=2,
所以由x=-l推得出(x+l)(x—2)=0,故充分性成立,
由(x+D(x-2)=0推不出x=-l,故必要性不成立,
所以“尸-1”是“(x+l)(x-2)=0”的充分不必要條件.
故選:A
3
3.若sina=、,。為第四象限角,貝Ussa的值為()
A4「3-3
A.—B.--C.-D
555-?
【答案】D
【分析】直接利用平方關系即可得解.
3
【詳解】解:因為sina=-§,a為第四象限角,
所以costz=Jl-sin?a=[
故選:D.
4.己知基函數(shù)/(x)=(>—加一1卜~,在(0,y)上單調遞減,則,〃=()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】D
【分析】根據(jù)第函數(shù)的定義和單調性進行求解即可.
【詳解】由題意,4函數(shù)/'(由=,可得“-吁1=1,
即,/-m-2=0,解得帆=2或機=-1,
當帆=2時,函數(shù)/(x)=E',可得函數(shù)〃x)在(0,+8)上單調遞減,符合題意;
當機=-1時,函數(shù)/(x)=d,可得函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調遞增,不符合題意.
故選:D
5.函數(shù)〃")=愴\-卜2-2|的零點個數(shù)為()
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【分析】轉化為函數(shù)y=ig|x|和函數(shù)y=|f-斗的交點個數(shù),數(shù)形結合即可得到結果.
【詳解】本題轉化為函數(shù)y=ig|H和函數(shù)y=|V-2|的交點個數(shù),做出兩個函數(shù)的圖像,如圖,
根據(jù)圖像可得兩個函數(shù)交點的個數(shù)為4個,所以函數(shù)/(x)=lg|x|-卜2-4的零點個數(shù)為4個.
故選:C.
6.若々=e°$,匕=0.8。,c=In0.8,則a,b,c的人小關系為()
A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性進行求解即可.
【詳解】因為e°*>e°=l,0<0.8c<0.8°=l,lnO.8<lnl=O,
所以c<b<4,
故選:C
7.若a,夕都是銳角,且cosa=《,sin(a-£)=^^,貝lJcos/=()
A.也B.亞c.一亞或一變D.旦或旦
210210210
【答案】A
【分析】由平方關系求得sine,cos(a-£),然后由兩角差的余弦公式計算.
【詳解】a,4都是銳角,則
則由題意得cos?-/?)=J1—嚕了=嚕,又sina=卜凈=不,
.,〃、■,/m,m石3回2君M6
cosp-cosr[a-(a—p)]=cosacos(a一/)+sinasin(a-p)=—x—x.
故選:A.
8.已知x>0,y>0,且x+2y=4,則(1+x)(l+2y)的最大值為()
A.36B.4C.16D.9
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到(l+x)+(l+2y)=6,進而通過基本不等式求得答案.
___2
【詳解】由題意,(l+x)+(l+2y)=6,l+x>l,l+2y>l,所以(l+x)(l+2y)<。+力;(1+2田=9,
x=2
當且僅當l+x=l+2y=時取
y=lt
故選:D.
二、多選題
9.若a<6<0,則下列不等式一定成立的是()
11
a2>a6->-D
B.a8a-
【答案】ABC
【分析】根據(jù)不等式的性質判斷.
【詳解】a</?<0=>-a>-&>0BP|?|>|ZJ|,A正確;
avbvbna2>ab,B正確;
<b<0^>—<—,gp->-,C正確;
aababab
〃<〃<()時,〃-力與。的大小關系不確定,因此」不一定成立,D錯誤.
a-ba
故選:ABC.
10.下列命題中的真命題是()
A+1
A.VxeR,2>0B.3x()eR,Inx0<1
C./⑴二工與8⑴二口是相同函數(shù)D.f(x)=x+:的最小值為2
【答案】AB
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質判斷A;根據(jù)對數(shù)函數(shù)運算取特殊值判斷B;根據(jù)函數(shù)概念判斷C;根
據(jù)函數(shù)定義域與值域判斷D即可.
【詳解】解:對于A,由指數(shù)函數(shù)的性質可知2、“>0對任意的xeR恒成立,所以A為真命題;
對于B,當Xo=leR時,則lnx()=lnl=0<l,故B為真命題;
對于C,函數(shù)〃x)=x的定義域為R,函數(shù)g(x)="=N的定義域為R,但兩個函數(shù)的對應關系
不同,所以不是相同函數(shù),故C為假命題;
對于D,函數(shù)=的定義域為(y,0)U(0,W),所以〃-1)=一2<2,故〃司=》+^的最小
值不為2,故D為假命題.
故選:AB.
11.若將函數(shù)/(x)=cos(2x+笄)的圖象向右平移聿個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,則下列說
法正確的是()
A.g(x)的最小正周期為兀B.g(x)在上單調遞減
C.彳=展不是函數(shù)g(x)圖象的對稱軸D.g(x)在-旌上的最小值為
【答案】ACD
【分析】利用函數(shù)圖象平移變換的特點,結合余弦函數(shù)的周期公式、單調性、對稱軸及最值逐項判
斷即可求解..
【詳解】將函數(shù)/(x)=cos(2x+g)的圖象向右平移2個單位長度,得到函數(shù)g(x)
對A,g(x)的最小正周期為7=號=兀,故A正確;
對B,當xjo闈時,2x+ge],學時,故g(x)在?上有增有減,故B錯誤;
對c,g[昌=cos(2x尚+外=郎5=0,故x■不是g(x)圖象的一條對稱軸,故C正確;
對D,當xJ-士外時,2》+9[(),4],且當2x+g=§,jr
即x=2時,g(x)取最小值為
_66」3|_3J336
,兀、(c兀兀、2兀1,,r-A
=cos2X+=cos-=:故正確,
?7I7673)3r-o2)D
故選:ACD.
12.已知定義在R上的函數(shù)/(x),若函數(shù)y=/(x+l)的圖象關于點(-L0)對稱,且函數(shù)
/、-x2,xe(0,l)、,、/、/、
7")=e,、,關于x的方程/(力-2時(x)=2(〃7eR)有〃個不同的實數(shù)解,則”的
2—2,X£[r1,+8)
所有可能的值為()
A.2B.3C.4D.6
【答案】ABC
【分析】由題意可得函數(shù)/(x)關于原點對稱,令f=/(x)可得/_2相/-2=0,利用判別式和韋達定
理分析該方程根的分布,結合函數(shù)“X)的圖象,分類討論判斷乙=/(力和12=/(力的根的個數(shù).
【詳解】若函數(shù)y=/(x+l)的圖象關于點(TO)對稱,則函數(shù)〃x)關于原點對稱,
對于方程下(力-2時(x)=2,令f=/(x)可得產(chǎn)一2加=2,即2*2=0,
VA=W+8>0,貝IJ/-2機/=2有兩個不相等的實根,不妨設4<,2,
又?.?阜2=-2<0,即乙<0<%則有:
當0氣<1時,貝也<-2,如圖1,可得:=〃x)有且僅有一個實根,。2=/(外有3個不相等的實根,
故關于x的方程r(x)-2時(x)=2(meR)有4個不同的實數(shù)解;
圖I
當4=1時,則4=-2,如圖2,可得力=〃力有且僅有一個實根,/2=/(x)有2個不相等的實根,
故關于x的方程/2(力-2,明司=2(機€町有3個不同的實數(shù)解;
當1<弓<2時,則如圖3,可得4=/(6、f2=/(力均只有一個實根,
故關于x的方程/(另-2時(x)=2(meR)有2個不同的實數(shù)解;
當與=2時,則彳=-1,如圖4,可得a=/(x)有2個不相等的實根,f2=/(x)有且僅有一個實根,
故關于x的方程/(可一2何?(X)=2(MWR)有3個不同的實數(shù)解;
當4>2時,則如圖5,可得%=/(x)有3個不相等的實根,&=/(力有且僅有一個實
根,
故關于x的方程/(力-2〃礦(x)=2(meR)有4個不同的實數(shù)解;
綜上所述:關于X的方程尸(X)_2時(另=2(meR)的實數(shù)解的個數(shù)有2或3或4.
故A、B、C正確,D錯誤.
故選:ABC.
三、填空題
13.計算:sin15°cos15°=.
【答案】-##0.25
4
【分析】利用二倍角正弦公式計算可得.
【詳解】解:sinl50cosl50=-sin(2xl50)--sin30°=1xl=l.
故答案為:—
4
14.已知函數(shù)“X),g(x)分別由下表給出,則g[〃2)]=.
X123
“X)131
g(x)321
【答案】1
【分析】運用找入法直接求解即可.
【詳解】由表可得g[表(2)]=g⑶=1,
故答案為:1
15.在東方設計中存在著一個名為“白銀比例''的理念,這個比例為&:1,它在東方文化中的重要程
度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”,傳達出一種獨特的東方審美觀.如圖,假設扇子是從一個圓
面剪下的,扇形的面積為5,圓面剩余部分的面積為邑,當*■=&時,扇面較為美觀.那么按“白銀
比例”制作折扇時,扇子圓心角的弧度數(shù)為.
【答案】2(72-1)K
【分析】設扇子圓心角為a,則圓面剩余部分的圓心角為27t-a,圓的半徑為「,根據(jù)扇形的面積公
式得到方程,解得即可.
【詳解】解:設扇子圓心角為a,則圓面剩余部分的圓心角為2兀-&,圓的半徑為",
則51=’夕產(chǎn),邑=g(2兀-a)/,
Sr--(2n:-a)r2
因為U=&,即號-------=3,即2?!猘=&a,
1-ar2
2
所以a=[!、■=2(&-1)兀.
故答案為:2(V2-1)K
四、雙空題
16.已知定義在R上的運算"◎':x?y=x(l—y),關于x的不等式(x—a)區(qū)(x+a)>0.若a=l,則
不等式的解集為;若B^[0,2]不等式恒成立,則實數(shù)。的取值范圍是.
【答案】(0,1);(2,-Ko)(7,-1)
【分析】空一:根據(jù)題中定義,結合一元二次不等式的解法進行求解即可;
空二:根據(jù)題中定義,結合二次函數(shù)的性質進行求解即可.
【詳解】空一:當0=1時,(x-a)?(x+a)>O=(x-l)?(x+l)>O=(x-l)(l-x-l)>。
=x(x—l)v0=0vxvl,所以不等式的解集為(0,1);
;由(x—a)⑥(x+a)>0——z,(x—々)(1—x—a)>0——x?—xva(a—1),
當xe[0,2]時,=d-x=(x-1]+:,該二次函數(shù)的對稱軸為尤=g,
所以"x)g=f(2)=2,
要想不等式恒成立只需2<“a-l)na>2,或。<一1,
所以實數(shù)”的取值范圍是(2,一)(f,T),
故答案為:(0,1);(2,一)(f,—1)
五、解答題
17.已知集合4=何2"8},?={x|2<x<5}.
⑴求Ac8;
(2)若集合C={x|0<x4"},且3=C,求實數(shù)。的取值范圍.
【答案】⑴5|2<*43}
(2)[5,-KO)
【分析】(1)首先解指數(shù)不等式求出集合A,再根據(jù)交集的定義計算可得;
(2)根據(jù)3[(:可得〃25,即可得解.
【詳解】⑴解:由2*48,即2*423,解得x43,所以4=兇2"8}={小43},
又8=何2<犬45},所以AQB={x|2<xW3};
(2)解:因為8={x[2<x45},C={x|0<x4a},且BaC,
所以aN5,即實數(shù)。的取值范圍為[5,+oo).
18.計算:
8眇(96)--(護即
⑵logs35+2log|-logs士-log514.
23U
【答案】⑴J;
⑵2.
【分析】(1)根據(jù)指數(shù)塞的運算公式進行求解即可;
(2)根據(jù)對數(shù)的運算性質進行求解即可.
12
【詳解】⑴(步(㈣。一閡,(|)
3?44
=—1----1—
299
——1.
2,
(2)log535+2log,V2-log5--log514
23()
=logs35-2log2>/2+logs50-log514
=logs(35x50+14)-log22
=log5125-1
=3-1
=2.
19.在條件:①2sin(2022萬—a)=cos(2022萬+c);②sina+cosa=-乎;③sin&cosa=-|中任選
一個,補充在下面的題目中,并求解.
已知ae(O,外,且滿足條件.
____3sina+4cosa,,在
⑴求--------:——的值;
cosa-sina
⑵若"€(5,》),且cos/?=-3~^^,求a+尸的值.
【答案】(1)任選①②③,|;
(2)任選①②③,二.
4
【分析】(1)選①由誘導公式得,代入求值式化簡即得;選②,結合平方關系求得sina,cosa,然
后代入求值,選③,解法同選②;
(2)選①,利用(1)及平方關系求得sinc,cosa,然后再求得sin/?,計算cos(a+0的值,由角
范圍可得角的大小.選②或選③,解法都同選①求出sin。,cosa后解法.
【詳解】(1)選①,2sin(2022萬一a)=cos(2022?+a),由誘導公式得-2sina=cosa,
3sina+4coso3sincr-8sintz5
則
cosa-sina-2sina-sina3
選②,sina+cosa=一g|2
兩邊平方得$由2。+25m。(:052+8322=—,所以sinacosa=一一,又
555
a"),所以〃嗚㈤,即sina>0,cosa<0,
.石2A/5
sina+cosa=------sina=——sina=--------
55「(舍去),
從而由,解得,或,
,22逐'亞
sinacosa=——costz=--------cosa=——
555
3x@+4x(-
3sina+4cosa55
cosa-sina2石753
55
2
選③,sinacosa=,因為aw(0,萬),所以〃w(乙,乃),即sina>0,cosavO,
52
2百
,2sina=——sina=--------
sinacosa=——,,5廠,或,廠(舍去),
因此由,5可解得,5
2V5V5
sin2a+cos2a=1cosa---------cosa=——
55
以下同選②;
(2)選①,因為aw(。,乃),所以》£(/%),即sina>0,cosa<0,
-2
由(1)cosa=—2sincr,所以sin2a+8s2a=sin2a+4sin2a=1,所以sina=,(負值舍去),
275
cosa=--------
5
a,sinP=Jl-(-3M.3
1010
2y
cos(a+/?)=cosacos-sinasinp=———x(------x------------,
5102
7兀
又所以“下
選②或③,均由(1)得sina=更,cosa=-^^-
55
。w(奈萬),siny3=Jl-(-
25y75VioV2
cos(a+4)=cosacos4一sinasin/=———x(-------X=,
5-10------2
又。+夕£(肛2萬),所以a+=
4
20.已知函數(shù)〃x)=:言(〃zeR),且xeR時,總有〃-x)=-/(x)成立.
⑴求m的值;
(2)判斷并用定義法證明/(x)的單調性;
⑶若關于x的不等式左在xw[0,2]上有解,求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)加=1;
⑵函數(shù)/(X)為R上的減函數(shù),證明見解析;
3
【分析】(1)根據(jù)〃T)=_/(X),代入得%2=-如學,即可解出加的值;
(2)根據(jù)函數(shù)單調性的定義,設公<々,證明出了(與)>〃&)即可;
(3)根據(jù)〃x)的單調性,求出〃x)的值域,4只需大于等于〃x)的最小值.
【詳解】(1)./(-X)=-/(%),
m—2~xm—2xm-2x—\2X—m
--------=----------,即AI1--------=------,
l+2-v1+2*2A+11+2*
m=\.
(2)函數(shù)/(x)為R上的減函數(shù).
證明如下,
由1+2、/0可得,=■的定義域為R,
取3,工2£R,且王<々,
/、1-2*1-—2(2~—2電)
則/(^|)-/(x)=-----------------=7----二7------\?
v1721+281+2*2(1+2X,)(1+2^)
再<%,
..?2司<2叼,
?2$—24<0,1+2*>0,1+24>0,
-2(2V,-2X2]
即/(七)=0+2、,乂1+2也)>°'〃%)>/(%),
,函數(shù)/(X)為R上的減函數(shù).
(3)由(2)知,“X)在xe[0,2]上是減函數(shù),
.?./(2)</(x)</(O),gp.-.-1</(x)<0,
要使々在x?(),2]上有解,
3
貝叱
21.函數(shù)/(x)=Asin3+*)(4>O,0>O,MH)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)/(x)的解析式,并求/(x)的單調遞增區(qū)間;
⑵若關于x的方程/(x)+2cos(4x+^J=a有解,求實數(shù)〃的取值范圍.
【答案】⑴〃x)=2sinf2x+"j,的單調遞增區(qū)間為1keZ
9-
y
⑵4-
_
【分析】(1)由函數(shù)圖象可求A,可求周期,由周期求出。,由特殊點的坐標求出。,可得f(x)的
解析式,然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調性求解單調遞增區(qū)間:
⑵令f=sin(2x+??傻?-1,1],結合余弦二倍角公式可將方程轉化為4+2f+2=a在
/目-1,1]上有解,確定二次函數(shù)g(/)=T『+2/+2的單調性得值域,即可求得實數(shù)。的取值范圍.
【詳解】(1)解:由題設圖象知,周期T=2(g-1)=兀,
因為7=空,所以。=§=2,
coT
而由圖知A=2,所以/(x)=2sin(2x+e),
因為函數(shù)f(x)的圖象過點(看,2卜
所以f0=2sin(]+T=2,則■|+w=]+2far,keZ.所以9=>2跣(女€2)
又因為0<°<3,所以/=?.
26
故函數(shù)“X)的解析式為"x)=2sin(2x+£),
則函數(shù)〃x)=2sin(2x+2
在R上的單調增區(qū)間滿足:--+2kit<2x+—<—4-2farZeZ
262
jrTT
角軍得:---FZTCWXK—Fku,kwZ,
36
jrjr
故〃X)的單調遞增區(qū)間為-w+E,z+hr,keZ.
3o
(2)解:關于x的方程/(x)+2cos(4x+f)=a,艮[J2sin(2x+m]+2cos(4x+g]=",
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