2022-2023學年重慶市北碚區(qū)高一上學期期末數(shù)學試題（解析版）

2022-2023學年重慶市北藉區(qū)高一上學期期末數(shù)學試題

一、單選題

I.已知全集。=R,A={x|-l<x<2),則()

A.|x|x<-l|B.{x[x<-4或xW2}

C.{x|x>21D.{x|xVT或x>2}

【答案】B

【分析】根據(jù)補集的定義計算可得.

【詳解】解：因為全集。=11，A={x|-l<x<2},

所以6A={x|x<-1或x±2}.

故選：B

2.若xeR,則—是“(x+D(x-2)=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】解：由(x+l)(x—2)=0,解得卡一1或x=2,

所以由x=-l推得出(x+l)(x—2)=0,故充分性成立，

由(x+D(x-2)=0推不出x=-l,故必要性不成立，

所以“尸-1”是“(x+l)(x-2)=0”的充分不必要條件.

故選：A

3

3.若sina=、，。為第四象限角，貝Ussa的值為()

A4「3-3

A.—B.--C.-D

555-?

【答案】D

【分析】直接利用平方關系即可得解.

3

【詳解】解：因為sina=-§,a為第四象限角，

所以costz=Jl-sin?a=[

故選：D.

4.己知基函數(shù)/(x)=(>—加一1卜~，在(0,y)上單調(diào)遞減，則，〃=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)第函數(shù)的定義和單調(diào)性進行求解即可.

【詳解】由題意，4函數(shù)/'(由=,可得“-吁1=1,

即，/-m-2=0,解得帆=2或機=-1,

當帆=2時，函數(shù)/(x)=E'，可得函數(shù)〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，符合題意；

當機=-1時，函數(shù)/(x)=d,可得函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意.

故選：D

5.函數(shù)〃")=愴\-卜2-2|的零點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ig|x|和函數(shù)y=|f-斗的交點個數(shù)，數(shù)形結合即可得到結果.

【詳解】本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ig|H和函數(shù)y=|V-2|的交點個數(shù)，做出兩個函數(shù)的圖像,如圖,

根據(jù)圖像可得兩個函數(shù)交點的個數(shù)為4個，所以函數(shù)/(x)=lg|x|-卜2-4的零點個數(shù)為4個.

故選:C.

6.若々=e°$,匕=0.8。，c=In0.8,則a,b,c的人小關系為()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

【詳解】因為e°*>e°=l,0<0.8c<0.8°=l,lnO.8<lnl=O,

所以c<b<4,

故選：C

7.若a,夕都是銳角，且cosa=《，sin(a-￡)=^^,貝lJcos/=()

A.也B.亞c.一亞或一變D.旦或旦

210210210

【答案】A

【分析】由平方關系求得sine,cos(a-￡),然后由兩角差的余弦公式計算.

【詳解】a,4都是銳角，則

則由題意得cos?-/?)=J1—嚕了=嚕,又sina=卜凈=不，

.,〃、■,/m,m石3回2君M6

cosp-cosr[a-(a—p)]=cosacos(a一/)+sinasin(a-p)=—x—x.

故選：A.

8.已知x>0,y>0,且x+2y=4,則(1+x)(l+2y)的最大值為()

A.36B.4C.16D.9

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得到(l+x)+(l+2y)=6,進而通過基本不等式求得答案.

___2

【詳解】由題意，(l+x)+(l+2y)=6,l+x>l,l+2y>l,所以(l+x)(l+2y)<。+力；(1+2田=9,

x=2

當且僅當l+x=l+2y=時取

y=lt

故選：D.

二、多選題

9.若a<6<0,則下列不等式一定成立的是()

11

a2>a6->-D

B.a8a-

【答案】ABC

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷.

【詳解】a</?<0=>-a>-&>0BP|?|>|ZJ|,A正確;

avbvbna2>ab,B正確;

<b<0^>—<—,gp->-,C正確；

aababab

〃<〃<()時，〃-力與。的大小關系不確定，因此」不一定成立，D錯誤.

a-ba

故選：ABC.

10.下列命題中的真命題是()

A+1

A.VxeR,2>0B.3x()eR,Inx0<1

C./⑴二工與8⑴二口是相同函數(shù)D.f(x)=x+：的最小值為2

【答案】AB

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷A；根據(jù)對數(shù)函數(shù)運算取特殊值判斷B；根據(jù)函數(shù)概念判斷C；根

據(jù)函數(shù)定義域與值域判斷D即可.

【詳解】解：對于A,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知2、“>0對任意的xeR恒成立，所以A為真命題；

對于B,當Xo=leR時，則lnx()=lnl=0<l,故B為真命題；

對于C,函數(shù)〃x)=x的定義域為R,函數(shù)g(x)="=N的定義域為R,但兩個函數(shù)的對應關系

不同，所以不是相同函數(shù)，故C為假命題；

對于D,函數(shù)=的定義域為(y,0)U(0,W),所以〃-1)=一2<2,故〃司=》+^的最小

值不為2,故D為假命題.

故選：AB.

11.若將函數(shù)/(x)=cos(2x+笄)的圖象向右平移聿個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說

法正確的是()

A.g(x)的最小正周期為兀B.g(x)在上單調(diào)遞減

C.彳=展不是函數(shù)g(x)圖象的對稱軸D.g(x)在-旌上的最小值為

【答案】ACD

【分析】利用函數(shù)圖象平移變換的特點，結合余弦函數(shù)的周期公式、單調(diào)性、對稱軸及最值逐項判

斷即可求解..

【詳解】將函數(shù)/(x)=cos(2x+g)的圖象向右平移2個單位長度，得到函數(shù)g(x)

對A,g(x)的最小正周期為7=號=兀，故A正確;

對B,當xjo闈時，2x+ge],學時，故g(x)在?上有增有減，故B錯誤；

對c,g[昌=cos(2x尚+外=郎5=0,故x■不是g(x)圖象的一條對稱軸，故C正確;

對D,當xJ-士外時，2》+9[(),4],且當2x+g=§,jr

即x=2時,g(x)取最小值為

_66」3|_3J336

，兀、(c兀兀、2兀1,,r-A

=cos2X+=cos-=：故正確，

?7I7673)3r-o2)D

故選：ACD.

12.已知定義在R上的函數(shù)/(x),若函數(shù)y=/(x+l)的圖象關于點(-L0)對稱，且函數(shù)

/、-x2,xe(0,l)、,、/、/、

7")=e，、，關于x的方程/(力-2時(x)=2(〃7eR)有〃個不同的實數(shù)解,則”的

2—2,X￡[r1,+8)

所有可能的值為()

A.2B.3C.4D.6

【答案】ABC

【分析】由題意可得函數(shù)/(x)關于原點對稱，令f=/(x)可得/_2相/-2=0,利用判別式和韋達定

理分析該方程根的分布，結合函數(shù)“X)的圖象，分類討論判斷乙=/(力和12=/(力的根的個數(shù).

【詳解】若函數(shù)y=/(x+l)的圖象關于點(TO)對稱，則函數(shù)〃x)關于原點對稱，

對于方程下(力-2時(x)=2,令f=/(x)可得產(chǎn)一2加=2,即2*2=0,

VA=W+8＞0,貝IJ/-2機/=2有兩個不相等的實根，不妨設4＜，2,

又?.?阜2=-2＜0,即乙＜0＜%則有:

當0氣＜1時，貝也＜-2,如圖1,可得：=〃x)有且僅有一個實根，。2=/(外有3個不相等的實根,

故關于x的方程r(x)-2時(x)=2(meR)有4個不同的實數(shù)解；

圖I

當4=1時，則4=-2,如圖2,可得力=〃力有且僅有一個實根，/2=/(x)有2個不相等的實根,

故關于x的方程/2(力-2,明司=2(機€町有3個不同的實數(shù)解；

當1＜弓＜2時，則如圖3,可得4=/(6、f2=/(力均只有一個實根，

故關于x的方程/(另-2時(x)=2(meR)有2個不同的實數(shù)解；

當與=2時，則彳=-1,如圖4,可得a=/(x)有2個不相等的實根，f2=/(x)有且僅有一個實根,

故關于x的方程/(可一2何?(X)=2(MWR)有3個不同的實數(shù)解；

當4＞2時，則如圖5,可得％=/(x)有3個不相等的實根，&=/(力有且僅有一個實

根，

故關于x的方程/(力-2〃礦(x)=2(meR)有4個不同的實數(shù)解;

綜上所述：關于X的方程尸（X）_2時（另=2（meR）的實數(shù)解的個數(shù)有2或3或4.

故A、B、C正確，D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題

13.計算：sin15°cos15°=.

【答案】-##0.25

4

【分析】利用二倍角正弦公式計算可得.

【詳解】解：sinl50cosl50=-sin（2xl50）--sin30°=1xl=l.

故答案為：—

4

14.已知函數(shù)“X）,g（x）分別由下表給出，則g［〃2）］=.

X123

“X)131

g(x)321

【答案】1

【分析】運用找入法直接求解即可.

【詳解】由表可得g［表（2）］=g⑶=1,

故答案為：1

15.在東方設計中存在著一個名為“白銀比例''的理念，這個比例為&：1,它在東方文化中的重要程

度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達出一種獨特的東方審美觀.如圖，假設扇子是從一個圓

面剪下的，扇形的面積為5,圓面剩余部分的面積為邑，當*■=&時，扇面較為美觀.那么按“白銀

比例”制作折扇時，扇子圓心角的弧度數(shù)為.

【答案】2(72-1)K

【分析】設扇子圓心角為a,則圓面剩余部分的圓心角為27t-a,圓的半徑為「，根據(jù)扇形的面積公

式得到方程，解得即可.

【詳解】解：設扇子圓心角為a,則圓面剩余部分的圓心角為2兀-&,圓的半徑為"，

則51=’夕產(chǎn)，邑=g(2兀-a)/,

Sr--(2n:-a)r2

因為U=&，即號-------=3,即2?！猘=&a，

1-ar2

2

所以a=[!、■=2(&-1)兀.

故答案為：2(V2-1)K

四、雙空題

16.已知定義在R上的運算"◎'：x?y=x(l—y),關于x的不等式(x—a)區(qū)(x+a)>0.若a=l,則

不等式的解集為；若B^[0,2]不等式恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(0,1)；(2,-Ko)(7,-1)

【分析】空一：根據(jù)題中定義，結合一元二次不等式的解法進行求解即可；

空二：根據(jù)題中定義，結合二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】空一：當0=1時，(x-a)?(x+a)>O=(x-l)?(x+l)>O=(x-l)(l-x-l)>。

=x(x—l)v0=0vxvl,所以不等式的解集為(0,1)；

；由(x—a)⑥(x+a)>0——z,(x—々)(1—x—a)>0——x?—xva(a—1),

當xe［0,2］時，=d-x=（x-1］+：,該二次函數(shù)的對稱軸為尤=g,

所以"x）g=f（2）=2,

要想不等式恒成立只需2<“a-l）na>2,或。<一1,

所以實數(shù)”的取值范圍是（2,一）（f,T）,

故答案為：（0,1）；（2,一）（f,—1）

五、解答題

17.已知集合4=何2"8},?={x|2<x<5}.

⑴求Ac8；

（2）若集合C={x|0<x4"},且3=C,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴5|2<*43}

（2）［5,-KO）

【分析】（1）首先解指數(shù)不等式求出集合A,再根據(jù)交集的定義計算可得；

（2）根據(jù)3［（:可得〃25,即可得解.

【詳解】⑴解：由2*48,即2*423,解得x43,所以4=兇2"8}={小43},

又8=何2<犬45},所以AQB={x|2<xW3}；

（2）解：因為8={x［2<x45},C={x|0<x4a},且BaC,

所以aN5,即實數(shù)。的取值范圍為［5,+oo）.

18.計算：

8眇（96）--（護即

⑵logs35+2log|-logs士-log514.

23U

【答案】⑴J；

⑵2.

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)塞的運算公式進行求解即可;

（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可.

12

【詳解】⑴（步（㈣。一閡，（|）

3?44

=—1----1—

299

——1.

2，

(2)log535+2log,V2-log5--log514

23()

=logs35-2log2>/2+logs50-log514

=logs(35x50+14)-log22

=log5125-1

=3-1

=2.

19.在條件：①2sin（2022萬—a）=cos（2022萬+c）；②sina+cosa=-乎；③sin&cosa=-|中任選

一個，補充在下面的題目中，并求解.

已知ae（O,外，且滿足條件.

____3sina+4cosa,,在

⑴求--------：——的值；

cosa-sina

⑵若"€（5，》），且cos/?=-3~^^，求a+尸的值.

【答案】（1）任選①②③，|；

（2）任選①②③，二.

4

【分析】（1）選①由誘導公式得，代入求值式化簡即得；選②，結合平方關系求得sina,cosa,然

后代入求值，選③，解法同選②；

（2）選①，利用（1）及平方關系求得sinc,cosa,然后再求得sin/?,計算cos（a+0的值，由角

范圍可得角的大小.選②或選③，解法都同選①求出sin。,cosa后解法.

【詳解】（1）選①，2sin（2022萬一a）=cos（2022?+a）,由誘導公式得-2sina=cosa,

3sina+4coso3sincr-8sintz5

則

cosa-sina-2sina-sina3

選②，sina+cosa=一g|2

兩邊平方得$由2。+25m。(：052+8322=—,所以sinacosa=一一,又

555

a"）,所以〃嗚㈤,即sina>0,cosa<0，

.石2A/5

sina+cosa=------sina=——sina=--------

55「(舍去),

從而由，解得，或，

,22逐'亞

sinacosa=——costz=--------cosa=——

555

3x@+4x(-

3sina+4cosa55

cosa-sina2石753

55

2

選③，sinacosa=，因為aw（0,萬）,所以〃w（乙,乃），即sina>0,cosavO,

52

2百

,2sina=——sina=--------

sinacosa=——，,5廠，或，廠(舍去),

因此由,5可解得，5

2V5V5

sin2a+cos2a=1cosa---------cosa=——

55

以下同選②;

（2）選①，因為aw（。,乃），所以》￡（/%）,即sina>0,cosa<0,

-2

由(1)cosa=—2sincr,所以sin2a+8s2a=sin2a+4sin2a=1,所以sina=,(負值舍去),

275

cosa=--------

5

a，sinP=Jl-(-3M.3

1010

2y

cos(a+/?)=cosacos-sinasinp=———x(------x------------，

5102

7兀

又所以“下

選②或③，均由（1）得sina=更，cosa=-^^-

55

。w(奈萬),siny3=Jl-(-

25y75VioV2

cos(a+4)=cosacos4一sinasin/=———x(-------X=,

5-10------2

又。+夕￡(肛2萬)，所以a+=

4

20.已知函數(shù)〃x)=:言(〃zeR),且xeR時，總有〃-x)=-/(x)成立.

⑴求m的值；

(2)判斷并用定義法證明/(x)的單調(diào)性；

⑶若關于x的不等式左在xw[0,2]上有解，求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】(1)加=1;

⑵函數(shù)/(X)為R上的減函數(shù)，證明見解析；

3

【分析】(1)根據(jù)〃T)=_/(X),代入得%2=-如學，即可解出加的值;

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設公＜々，證明出了(與)＞〃&)即可；

(3)根據(jù)〃x)的單調(diào)性，求出〃x)的值域，4只需大于等于〃x)的最小值.

【詳解】(1)./(-X)=-/(%),

m—2~xm—2xm-2x—\2X—m

--------=----------，即AI1--------=------,

l+2-v1+2*2A+11+2*

m=\.

(2)函數(shù)/(x)為R上的減函數(shù).

證明如下，

由1+2、/0可得，=■的定義域為R,

取3,工2￡R,且王＜々，

/、1-2*1-—2(2~—2電)

則/(^|)-/(x)=-----------------=7----二7------\?

v1721+281+2*2(1+2X,)(1+2^)

再＜%,

..?2司＜2叼，

?2$—24<0,1+2*>0,1+24>0,

-2（2V,-2X2]

即/（七）=0+2、,乂1+2也）>°'〃％）>/（%），

，函數(shù)/（X）為R上的減函數(shù).

(3)由(2)知,“X)在xe［0,2］上是減函數(shù),

.?./(2)</(x)</(O),gp.-.-1</(x)<0,

要使々在x?(),2］上有解，

3

貝叱

21.函數(shù)/（x）=Asin3+*）（4>O,0>O，MH）的部分圖象如圖所示.

（1）求函數(shù)/（x）的解析式，并求/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵若關于x的方程/（x）+2cos（4x+^J=a有解，求實數(shù)〃的取值范圍.

【答案】⑴〃x）=2sinf2x+"j,的單調(diào)遞增區(qū)間為1keZ

9-

y

⑵4-

_

【分析】（1）由函數(shù)圖象可求A,可求周期，由周期求出。，由特殊點的坐標求出。，可得f（x）的

解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)遞增區(qū)間：

⑵令f=sin（2x+?？傻?-1,1],結合余弦二倍角公式可將方程轉(zhuǎn)化為4+2f+2=a在

/目-1,1]上有解，確定二次函數(shù)g（/）=T『+2/+2的單調(diào)性得值域，即可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】（1）解：由題設圖象知，周期T=2（g-1）=兀，

因為7=空，所以。=§=2,

coT

而由圖知A=2,所以/(x)=2sin(2x+e),

因為函數(shù)f(x)的圖象過點(看,2卜

所以f0=2sin(]+T=2,則■|+w=]+2far,keZ.所以9=>2跣(女€2)

又因為0<°<3,所以/=?.

26

故函數(shù)“X）的解析式為"x）=2sin（2x+￡）,

則函數(shù)〃x)=2sin(2x+2

在R上的單調(diào)增區(qū)間滿足:--+2kit<2x+—<—4-2farZeZ

262

jrTT

角軍得：---FZTCWXK—Fku,kwZ,

36

jrjr

故〃X)的單調(diào)遞增區(qū)間為-w+E，z+hr,keZ.

3o

(2)解：關于x的方程/(x)+2cos(4x+f)=a,艮[J2sin(2x+m]+2cos(4x+g]="，