2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高中高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期第三學(xué)程考試數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高中高二上學(xué)期第三學(xué)程考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合A={T,1,2,3},B={-2,-1,0,3}.現(xiàn)從集合A中取一個(gè)元素作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從集合

8中取一個(gè)元素作為點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)，則位于第四象限的點(diǎn)尸有（）

A.16個(gè)B.12個(gè)C.9個(gè)D.6個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)第四象限點(diǎn)的特征，運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)榈谒南笙薜狞c(diǎn)橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)，

所以集合4={工1,2,3}中只有1,2,3符合，集合B={—2,—1,0,3}中只有-2,-1符合，

所以第四象限的點(diǎn)尸有3x2=6個(gè)，

故選：D

2.（2x-y）6的展開式中，fy*項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.30B.-30C.60D.-60

【答案】C

【分析】由二項(xiàng)式定理求解

【詳解】由題意7；3=C：（2x）j（_y）"當(dāng)r=4時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)是15x4=60

故選：C

3.6人排成一排，其中甲、乙相鄰，且甲、乙均不與丙相鄰的排法共有（）

A.36種B.72種C.144種D.288種

【答案】C

【分析】將甲乙視為1個(gè)人，利用插空法排列使甲乙與丙不相鄰，再排甲乙作答.

【詳解】把甲乙視為1個(gè)人，先排除甲乙丙外的另3人，有A；種方法，

再將甲乙與丙插入4個(gè)空隙中，有A：種方法，最后排甲乙，有A；種方法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，A；A：A；=144（種），

所以所求的排法共有144和L

故選：C

4.已知直線Z,:4x-3y+6=0和直線/2:x=-l,則拋物線/=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線/,和直線/,的距離

之和的最小值是()

37117

A.—B.—C.2D.一

1654

【答案】c

【分析】由x=-l是拋物線丁=4x的準(zhǔn)線，推導(dǎo)出點(diǎn)P到直線4：4x-3y+6=0的距離和到直線

4：x=-l的距離之和的最小值即為點(diǎn)P到直線4：4x-3y+6=。的距離和點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離之和，利

用幾何法求最值.

【詳解】.x=-1是拋物線尸=4》的準(zhǔn)線，.?.尸到尸-1的距離等于歸目.

過尸作PQU于Q,則尸到直線《和直線的距離之和為|PE|+|PQ|

拋物線y?=4x的焦點(diǎn)尸(1,0)

???過/作烏尸于2,和拋物線的交點(diǎn)就是Pt,

.?.|/>F|+|7>Q|<|PF|+|Pe|(當(dāng)且僅當(dāng)EP、。三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立)

???點(diǎn)P到直線4：4x-3y+6=0的距離和到直線/,：%=-1的距離之和的最小值就是尸(1,0)到直線

4x-3y+6=0月巨離，

二最小值聞上嘿粵=2.

x/16+9

故選：C.

5.設(shè)(1+x)"=/+qx+…+a,,x",若q+%+…+a“=63,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()

A.15/B.20x3C.2lx3D.35/

【答案】B

【分析】利用賦值法可求得為=1,繼而求得4+4+/+…+/=2〃，由此可得2〃=63+4=64,求得

〃的值，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)椋?+x）"…+a〃x",所以當(dāng)x=0時(shí)，可得《）=1；

當(dāng)％=1時(shí)，可得%+4+/+…+〃“=2".

又4+%+…=63,所以2"=63+%=64,得〃=6,

所以（1+力6的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，即C江3=20x3,

故選：B

22

6.已知雙曲線C:、-｝=l（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為K，E，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上,

MF.1MF,,若M片與C的一條漸近線/垂直，垂足為M且|N制-|ON|=2,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),

則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】C

【分析】利用中位線的性質(zhì)得到。且|。叫=今"馬|,根據(jù)|崎卜|0川=2得到0=2,然后

利用點(diǎn)到直線的距離公式得到|N耳|=6,最后再直角三角形耳N。中利用勾股定理列方程得到b=4,

即可得到雙曲線方程.

【詳解】因?yàn)镺NLNFt,且O為月入中點(diǎn)，所以O(shè)N〃Mg，且|0叫=子岫|,

因?yàn)閨帽|-|CW|=2,所以|9|一四閭=2（閃用TQV|）=4=2a,解得a=2,

直線’的方程為尸-%所以閘=占

b,則|CW|=%—%在直角三角形GN。中利用勾

,2

股定理得從+S—〃）2=°2,解得6=2。=4,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:-記一「

故選：C.

（〃eN）,則數(shù)列an

7.已知數(shù)列｛4｝中，4=2,an+l的前10項(xiàng)和凡=（）

+2/?+1

A.318

BD.—D.2

1111

【答案】c

【分析】將遞推式兩邊同時(shí)倒下，然后構(gòu)造等差數(shù)列求出數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法

求和即可.

【詳解】解：..Fin當(dāng)7，

%2a“2a?'

11_1

...數(shù)列是首項(xiàng)為g,公差為3的等差數(shù)列，

n+l+\nn+1)?

二數(shù)列的前10項(xiàng)和Sio=2X[1-1)+2X[；-；]+~+2X(]-3)=1^.

故選:c.

8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離

之比為定值皿，〃＞。且帆*1)的點(diǎn)的軌跡是圓人們將這個(gè)圓以他的名字命名為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱

PA1

阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4-2,0),8(4,0),點(diǎn)P滿足再■二3.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,則下列

結(jié)論正確的是()

A.圓C的方程為(x+4)、y2=12B.軌跡圓C的面積為124

C.在C上存在K使得IKOI=2|/C4|D.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是的

平分線

【答案】D

【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)題意把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程可判斷A、B,同樣求出點(diǎn)K的軌跡

方程，與尸點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立判斷C,由角平分線的性質(zhì)可判斷D.

IpAI1

【詳解】選項(xiàng)A,在平面直角坐標(biāo)系My中，A(-2,0),3(4,0),點(diǎn)尸滿足焉=：,

設(shè)尸但田，則代2淳=；,化簡(jiǎn)可得(x+4)、y2=i6,故A錯(cuò)誤；

依-4)~十?2

選項(xiàng)B,又圓C：(x+4)2+y2=16的半徑r=4,則圓。的面積為n/=167c,故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,若存在點(diǎn)K,使得|KO|=2|必可設(shè)K(x,y),即有J幺+9二？4*+2)2+9，化簡(jiǎn)可得

x24-y2+yx+y=0,聯(lián)立/+/+版=0,可得方程組無解，故不存在K,故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，由嗡=；=偌，可得射線尸。是NAPB的平分線，故D正

||2I/n|

二、多選題

9.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛即｝中,已知4a2。3=4,。4。5“6=12,a?+la?+2an+3=324,則()

A.d=3B.=4C.a4a6=2\/3D."=12

【答案】BD

【分析】由題可得/=3,再由**4+3=點(diǎn)"6,得到產(chǎn)6=3，=/,即可求解.

【詳解】設(shè)數(shù)列］,｝的公比為4,

由a,a2a3=a；/=4,a4asab==12,

可得r=3,

又由qa2a3=嬉=4,。洶。6=￡=12,所以AC錯(cuò)誤；

3a

因?yàn)樯?1%+2?！?3=??+2=(，)?"丫=2W丫=4/=324,

可得(/"=81=3*=(小了=q3

所以3〃=36,解得"=12,所以BD正確.

故選：BD.

10.下列說法中，正確的有().

A.直線y=2x-l在y軸上的截距為T

B.過點(diǎn)尸(-1,2)且在x,y軸截距相等的直線方程為x+y-l=0

C.若點(diǎn)（0,0）在圓x2+y2+2x-4y-k2-2A+8=0外，則T<%<2

D.已知點(diǎn)P（x,y）是直線3x+4y-7=0上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓C:d+2x+/=o的兩條切線，A,

B為切點(diǎn)，則四邊形以CB面積的最小值為6

【答案】ACD

【分析】由直線方程的斜截式可判斷A；由截距相等且等于0時(shí)，可判斷B：由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

判斷C；由點(diǎn)到直線的距離結(jié)合勾股定理可判斷D

【詳解】對(duì)于A：直線y=2x-l在），軸上的截距為T,故A正確；

對(duì)于B：當(dāng)在x,y軸截距相等且等于0時(shí)，直線方程為y=-2x,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：點(diǎn)（0,0）在圓￡+丁+2工一4》一公一2%+8=0外，

則一/一2%+8>0,即/+2%—8<0,解得-4<%<2,故C正確：

對(duì)于D：圓C:/+2x+丁=0即C:（x+1）2+V=i,圓心為C（-1,O）,半徑為1,

1-3-71

因?yàn)閳A心到直線3x+4y-7=0的距離為"=匕==1=2,

V9+16

所以因,向=2,

又|PA|=J|PCf-r2,

所以歸兒廣眄|尸=6，

所以四邊形布CB面積的最小值為2x；|尸4加xr=2x；xGxl=G,故D正確；

故選：ACD

11.帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，則（）

A.全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有4,種放法

B.放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有C；種放法

C.將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有種放法

D.全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可判斷A正確；

對(duì)于B,先將5個(gè)球分為4組，再全排，計(jì)算可判斷B不正確；

對(duì)于C,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可判斷C正確；

對(duì)于D,先將5個(gè)球分為4組，再全排，計(jì)算可判斷D正確；

【詳解】對(duì)于A,帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有4x4x4x4x4=45

種放法，故A正確；

對(duì)于B,帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有=240

種放法，故B不正確；

對(duì)于C,帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)(另一個(gè)球不

投入)，共有種放法，故C正確；

對(duì)于D,帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有C；A：=24O

種放法，故D正確；

故選：ACD.

12.已知拋物線。丁=22犬(2>0)過點(diǎn)8(1,2),過點(diǎn)A(-l,0)的直線交拋物線于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)N

在點(diǎn)歷右側(cè)，若尸為焦點(diǎn)，直線N凡M尸分別交拋物線于P,Q兩點(diǎn)，則()

A.準(zhǔn)線方程為戶-1

B.|“斗|必>4

C.\OM\-\ON\=\OBf

D.A,P,。三點(diǎn)共線

【答案】ABD

【分析】根據(jù)拋物線方程即可求解準(zhǔn)線，判斷A,設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程消參，利用定義表示

出|“尸卜|麗然后由韋達(dá)定理和解不等式可判斷B；用坐標(biāo)表示出IQWI-|ON|,利用韋達(dá)定理表

示后，由小的范圍可判斷C；設(shè)直線NF,借助韋達(dá)定理表示出尸點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得。點(diǎn)坐標(biāo)，然后

由斜率是否相等可判斷D.

［詳解】因?yàn)閽佄锞€C:)產(chǎn)=2Px(p>0)過點(diǎn)8(1,2),

所以4=2p,所以拋物線方程為丁=4》，故準(zhǔn)線方程為尸-1,故A正確，

設(shè)N(X2,%),

設(shè)過點(diǎn)A(-l,0)的直線方程為x=/ny-1,代入/=以整理得：y2-4my+4=0,

則%+%=4血m丫2=4,A=16W2-16>0,即機(jī)<一1或r>1,

yf=4xl,yl=4x2,yly2=4,

由定義可知，|MF|=&+1,|NF|=X2+1,

所以|MF|-|NF|=X|X2+X|+X2+l=^^+^-^+l>2+^^=4,故B正確;

由于

\OM\-\ON\=Jx：+必2Jx；+y；=舊x；+。為+考y；+必?小

=++16=J17+y；+y；-V9+16m2>5,

又|。8『=5,故C錯(cuò)誤；

記尸（'^",力）'。（總'”）'

設(shè)直線NF方程為x=〃y+l,代入y2=4x整理得：y2-4ny-4=0,

,4444

則%為=-4,%=—,同理可得以=—,又凹%=4,因此y4="=-%，丫3=~=f

%％X>2

4M

因?yàn)槿缫恢保菀蝗?-4+￡也。一8+「￡+4［」「4一前4'

k“=,所以A,P,。點(diǎn)共線，D正確;

【點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的

關(guān)系；有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直

接使用公式同用=以+切+?，若不過焦點(diǎn)，則用一般弦長(zhǎng)公式.

解析幾何簡(jiǎn)化運(yùn)算的常見方法：

（1）正確畫出圖形，利用平面幾何知識(shí)簡(jiǎn)化運(yùn)算;

（2）坐標(biāo)化，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算：

（3）巧用定義，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

三、填空題

13.11-上］的展開式共有8項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】三7

64

【分析】利用二項(xiàng)式的性質(zhì)可求得"，利用其通項(xiàng)公式即可求得，-去）”的展開式中的常數(shù)項(xiàng).

【詳解】（V-去）"的展開式共有〃+1項(xiàng)，

依題意得：〃+1=8,

/.n=7；

設(shè)-壺）”的展開式的通項(xiàng)為，則加=G=Q?（-；）'?J《,

由21-2=0得r=6,

2

：?6-，）”的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為力=G（-1）6=三.

2\Jx264

故答案為：—.

64

22

14.如圖所示，已知雙曲線C:；■-方的右焦點(diǎn)為F,雙曲線。的右支上一點(diǎn)A,它關(guān)于

原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為8,滿足乙4月？=120。,且忸耳=3|A耳廁雙曲線C的離心率是.

【答案】也

2

【分析】連接左焦點(diǎn)，得到平行四邊形，通過余弦定理列方程即可解出.

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為尸,連接AU,8U,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，

四邊形AF8尸'為平行四邊形，由題意以及雙曲線定義，

可得忸耳一卜尸|=|AFlTA尸|=3卜耳一恒耳=為，

則|4耳=a，忸同=3〃,ZF'AF=60°,

所以|FF'「=|AF'f+\AF\"-2\AF'\-\AF\-cosZF'AF,

22222

即4c2=9a+a-6ax-l,Bp4C=ya,

2

所以雙曲線C的離心率為:e=￡=也.

a2

故答案為：立.

2

15.在高三數(shù)學(xué)模擬考試中，學(xué)號(hào)為i（i=1,2,3,4）的四位同學(xué)的考試成績(jī)?yōu)?/p>

/（0（/（06{91,99,110,120,130}）,且滿足/（1）＜/（2）＜/（3）＜/（4）,則這四位同學(xué)的考試成績(jī)的

所有可能情況有種.

【答案】15

（分析】分/（2）＜"3）和/（2）=/（3）兩種情況求解即可.

【詳解】順序一定的問題屬于組合問題，分兩種情況，

第一種：/（2）＜"3）時(shí),有以種可能;

第二種：42）=/⑶時(shí)，有C；種可能，故共有C；+C；=15種.

故答案為：15.

16.如圖，已知點(diǎn)過的兩條直線分別與橢圓］+丁=1交于A,C,B,O,且

AP=2PC,BP=2PD,則直線AB的方程為.

【分析】設(shè)AQ,yJ,C（X2，%）,根據(jù)已知可得吃=與土，，2=主普，根據(jù)AC在橢圓上可得

2o

跖+8y+l=。,同理雙演,為）也滿足8鼻+8%+1=0,即可得出答案.

【詳解】設(shè)A（X］，X）,C（X2，%），因?yàn)锳P=2PC，

1-x,=2（X-1）

則（17|,；-/）=2。2-1,必一；）2

BP-”=2必一;

則可得％=好,%==江，

2o

丫2

因?yàn)镃在橢圓上，所以十+丫22=1,

所以（T）（3—4yJ=1,整理得4（再2+4城）-24玉-2町-19=0,

丫2

因?yàn)锳也在橢圓上，所以工+短=1,即x：+4y;=4,

代入可得8%+8y+1=0,

同理可得B（&,%）也滿足8七+8%+1=0,

所以直線A8的方程為8x+8y+l=O.

故答案為：8x+8y+l=0.

四、解答題

17.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，%+4?=3,%嗎。=-18,且S“有最大值.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式及Sn的最大值；

（2）求北=|4|+14|+“I|.

【答案】⑴4,=-3〃+27,前”項(xiàng)和最大值108；

351

--n2+—nM9

22

⑵北=<MGN\

—n2--n+216,n..10

122

【分析】（1）由有最大值得d<（）,結(jié)合等差中項(xiàng)性質(zhì)可解出%=6、q°=-3,即可進(jìn)一步解出

基本量d=—3,q=24,即可由公式法列出通項(xiàng)公式，S,,的最大值為前面所有非負(fù)項(xiàng)的和;

（2）由數(shù)列｛〃“｝的符號(hào)，分別求9、〃>9時(shí)的7；即可，其中當(dāng)〃>9時(shí)7；=-5.+2sg.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列伍“｝的公差是d,首項(xiàng)是q,由S“有最大值得d<0,

則數(shù)列｛?"｝是遞減數(shù)列，因?yàn)椋?%2=%+。10=3,?7-?io=-18,解得%=6、％）=-3或“7=-3、

?1(>=6(舍去),

則q+6d=6,q+9d=-3,解得"=-3,q=24,所以““=24+(〃-l)x(-3)=-3"+27,

令=-3"+27=0得〃=9,則當(dāng)4,9時(shí)，an..O；當(dāng)〃>9時(shí)，《,<（）,所以

oxR

(5Jmax=58=59=9x24+—x(-3)=108；

(2)由(1)可得Sn=24〃+^^x(—3)=一|/+?九，

35i

當(dāng)凡9時(shí)，Tn=a}+a2+...+an=Sn=——n"+—nf

當(dāng)〃>9時(shí),

3513O51

1=4+/+…+%-(4o+41+…)=-S“+2s9=-〃)+2x108————〃+216,

--iv+—n,9

22?

綜上可得，（=qS]，.

—H2--H+216,n.JO

22

18.已知橢圓（：：5+￡=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)尸（6,0）,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為2.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵設(shè)B為橢圓C的上頂點(diǎn)，直線/：y=x+M加Hl）與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,N,若BMLBN,

求直線/的方程.

【答案】⑴"I

3

(2)y=x--

【分析】（1）由條件寫出關(guān)于仇c的方程組，即可求橢圓方程；

（2）首先直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示BM-8N=0，即可求參數(shù)機(jī).

【詳解】（1）由題意得，c=6，f=2,a2=b2+c2,

b

..Q=2,/?—1,

?,?橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+V=1.

4'

（2）依題意，知8（0,1）,設(shè)"（x,乂），N（七,%）.

y=x+m

224消去兒可得5%2+86+4帆2-4=0.

｛x+4y=4

.-.A=16（5-^2）＞0,即一石＜機(jī)〈逐，加工1,

-8/7i4切2—4

玉+/=—^―,x]x2=---.

BM1BN,：.BMBN=G.

2

BM.BN=1%,%+/n-l）（x2,x24-772-1）=2%1^24-（m-l）（Xj+x2）+（7n-l）=0,

_4"/~—4/\—8"?八2八

/.2x——-——+（加一1）—^―+（加-1K=0,

整理，得5加一2〃?一3=0,

3

解得”=-1或加=1（舍去）.

3

?.?直線/的方程為y=xj.

19.己知數(shù)列｛4｝,｛a｝,S,是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，已知對(duì)于任意〃eN*,都有3a“=2S”+3,數(shù)

列出｝是等差數(shù)列，仿=咋34,且仇+5,b4+l,4-3成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛凡｝和也｝的通項(xiàng)公式.

a”,〃為奇數(shù)

⑵記q,=""，〃為偶數(shù)，求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和T?.

,2

【答案】⑴％=3"；2=2"-1；

a2

§（3"-+為偶數(shù)

（2）（=

3（3e-1）+8二9-,"為奇數(shù)

8'）4

【分析】（1）根據(jù)?！芭c5”的關(guān)系及等比數(shù)列的定義可得％,再根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列的基

本量的運(yùn)算可得2;

（2）由題可得％為再分類討論，分組求和即得.

為偶數(shù)

【詳解】（1）因?yàn)?q,=2S.+3,

當(dāng)”=1時(shí)，3q=2q+3,解得q=3,

當(dāng)〃22時(shí)，34T=2S“T+3,

所以3%-34,I=2a“，HR—=3,又4=3,

an-\

所以｛4｝是以首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)歹U，

所以％=3"；

因?yàn)榉?log33=l,8+5也+1也-3成等比數(shù)列，設(shè)也｝的公差為d,

所以(仇+1)2=(&+5)(4—3),即(l+3d+l/=(l+d+5)(l+5d-3),

解得d=2,

所以2=1+2(〃-1)=2〃-1；

3",〃為奇數(shù)

（2）由（1）知：c?

為偶數(shù)

31-9-

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)'k(3+3。+3",0+3++〃7)(1+71-1)^

+--------------

1-92

當(dāng)”為奇數(shù)時(shí),

%-〃=*T)+^-〃=4(3""T)+^"

22

渺-1）+（,〃為偶數(shù)

所以北=

斗3向-1）+四二D-,”為奇數(shù)

8、74

20.己知圓”過點(diǎn)（L0）,且與直線廠-1相切.

⑴求圓心M的軌跡C的方程；

(2)S為軌跡C上的動(dòng)點(diǎn)，T為直線x+y+4=0上的動(dòng)點(diǎn)，求IST|的最小值；

⑶過點(diǎn)P(2,0)作直線/交軌跡C于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為問48是否經(jīng)過定點(diǎn),

若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴V=4x；

⑵逑；

2

⑶過定點(diǎn)(-2,0).

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)直線斜率公式，結(jié)合直線方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)由題意得點(diǎn)“到直線戶-1的距離等于到點(diǎn)(L0)的距離,

所以點(diǎn)M是以尸(1,0)為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，

焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離P=2,所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2=4x；

4r+4t+4⑵+1）2+3

（2）設(shè)S（4產(chǎn),4f）,S到直線x+y+4=0的距離d=

2二=述，所以|S7|的最小值為我;

4122

v2v2卜--4

⑶設(shè)A（才,%）,8（才,），4）,ABy：-y；%+）”，

4^

則直線AB的方程為4x-(%+%)，+%為=。，

因?yàn)锳8過點(diǎn)P(2,0),所以8-0+%”=0,所以為M=-8.

因?yàn)?與A關(guān)于x軸對(duì)稱，故4'5，-%),

同理，直線A'B的方程為4x-(-y,+y4)y-y3y4=0,

因?yàn)楸貫?-8,所以A'B的方程為4x-(-%+%?+8=0,

所以直線48過定點(diǎn)(-2,0).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.

21.“綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書記的習(xí)近平主席志于2005年8月15日在浙江湖州

安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷，2017年10月18日,該理論寫入中共19大報(bào)告，為響應(yīng)習(xí)近平總書記號(hào)

召，我國(guó)某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方公里，其中70%是沙漠，從今年起，該

地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設(shè)

從今年起第"年綠洲面積為??萬平方公里，求:

(1)第〃年綠洲面積與上一年綠洲面積4,1的關(guān)系;

(2){%}通項(xiàng)公式；

(3)至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過60%?(1g2=0.3010)

44m+：；⑶至少6年.

【答案】(I)石；(2)an

【解析】(1)由題意得4,=(1—4%)%+(1-??,1)X16%=0.96a?,+0.16-0.16%化簡(jiǎn)可得答案；

4444/4、41{41

(2)由(1)得4=]%T+玄，整理得=M，再求得卬―三=一不，從而得q一彳是

14

以為首項(xiàng)，二為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案；

(3)由(2)得〃=一11±丫'+3>3,整理并在兩邊取常用對(duì)數(shù)可求得〃>5.1從而得出結(jié)論.

2⑸55

【詳解】解：(1)由題意得

44

a”=(1-4%)%+(1-%)x16%=0.96^+0.16-0.16aM=0-8^-i+016=-%+—,

44

所以%+不;

444/4、341

⑵由⑴得?！?三?！癬|+寶，,?！耙会芏会埽?=正，所以4一三=一不，

41是以-：1為首項(xiàng)，]4為公比的等比數(shù)列，???可-4(

(3)由(2)得兩邊取常用對(duì)數(shù)得:

(〃-1)建<愴2,所以(〃-1)>￥=用二愴5/3?！浮?99=^7

76

155''](T421g2-lg50.602-0.6990.097

77>5.1.

.?.至少經(jīng)過6年，綠洲面積可超過60%.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，常用的解題思路是審題-建模…研究模型一返回實(shí)際.研究

模型時(shí)需注意：(1)量(多個(gè)量)；(2)量間的關(guān)系(規(guī)律)：等差、等比規(guī)律；遞推關(guān)系；其它規(guī)律一

由特殊到一般——?dú)w納總結(jié)；（3）與通項(xiàng)公式有關(guān)或與前〃項(xiàng)和有關(guān)等.

22

22.已知雙曲線「:十方=1（〃>0,2>0）過點(diǎn)「（百，佝，且「的漸近線方程為y=±Gr.

（1）求「的方程;

（2）如圖，過原點(diǎn)。作互相垂直的直線4，（分別交雙曲線于A,8兩點(diǎn)和C,。兩點(diǎn)，A,。在x軸

同側(cè).

①求四邊形ACBZ）面積的取值范圍；

②設(shè)直線AO與兩漸近線分別交于M,N兩點(diǎn)，是否存在直線A。使M,N為線段AD的三等分點(diǎn),

若存在，求出直線AD的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）/一￥=1

⑵①[6,+8）；②不存在，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)題意求得〃,從，即可得解；

（2）①易知直線4,4的斜率均存在且不為0,設(shè)44y）,8（々%）?？?%），0。4，以），4的方程為

y-kx

y=kx,則4的方程為y=-：x,聯(lián)立],y2,消元，則A>0,利用韋達(dá)定理求得士+尤2，西電，

k--=1

3

再根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得|43|,同理可求得F的范圍及C。，再根據(jù)集??=3卜8卜|8|整理即可得出

答案；

y=tx+m

②設(shè)直線AO的方程為廣質(zhì)+加，4（0丫5），。（X6，%），聯(lián)立hV2，消元，根據(jù)4>0求得,，加的

X---=1

3

關(guān)系，利用韋達(dá)定理求得%+%,三毛，再利用弦長(zhǎng)公式求得|明，易求得”,N的坐標(biāo)，即可求出

W，再根據(jù)M,N為線段A。的三等分點(diǎn)，可得|A￡>|=3|MN|,結(jié)合A3_LCO,可得兩個(gè)等量關(guān)

系，從而可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：由題意有2=6,貝畀=耳①，

a

將點(diǎn)尸（6的代入雙曲線方程得與-郎=1②，

聯(lián)立①②解得匕，,

0=3

2

故「的方程為/-匕v=1;

3

（2）解：①，易知直線4，4的斜率均存在且不為0,

設(shè)A（xt,y）,8（x“2），C（W，%），。（七,盟）,

4的方程為'="，則4的方程為y=-：x,

y=