教學(xué)設(shè)計(jì)1 余弦定理

余弦定理一、教學(xué)內(nèi)容分析：“余弦定理”是人教版普通高中課程實(shí)驗(yàn)教科書（必修5）第一章“解三角形”的主要內(nèi)容之一，是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。本節(jié)課是“余弦定理”教學(xué)的第一節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析：學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)：1、在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識框架；2、本課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對正弦定理的探究過程有了一定的了解，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的認(rèn)識。學(xué)生可能遇到的困難：由于學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識不強(qiáng)，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度，即如何想到用向量、解析方法和三角方法等多種途徑證明余弦定理有困難，即將求邊的問題轉(zhuǎn)化為求向量的模、兩點(diǎn)間的距離的問題有困難。三、教學(xué)目標(biāo)：知識目標(biāo)：１、通過對三角形邊角關(guān)系的探索，能證明余弦定理，了解可以從向量、解析方法和三角方法等多種途徑證明余弦定理。２、能夠從余弦定理得到它的推論。３、能夠應(yīng)用余弦定理及其推論解三角形。４、了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系，知道解三角形的問題的幾種情形及其基本解法。情感目標(biāo)：通過相關(guān)教學(xué)知識的聯(lián)系性，理解事物間的普遍聯(lián)系性。四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：通過對三角形邊角關(guān)系的探索，證明余弦定理及其推論，并能應(yīng)用它們解三角形。難點(diǎn)：在解三角形中兩個定理的選擇。五、設(shè)計(jì)思想：新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動手實(shí)踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，力求對現(xiàn)實(shí)世界蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考，作出判斷；同時(shí)要求教師從知識的傳授者向課堂的設(shè)計(jì)者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱?、探究開發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，深刻地體會數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的潛能。六、教法和教具：教學(xué)方法：啟發(fā)發(fā)現(xiàn)法、課堂討論探究法教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)七、教學(xué)情景設(shè)計(jì)：（一）余弦定理的證明及其應(yīng)用問題１：如果已知一個三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形。怎樣在這樣的已知三角形的兩邊及其夾角的條件下解出三角形呢？設(shè)計(jì)意圖：把研究余弦定理的問題和平面幾何中三角形全等判定的方法建立聯(lián)系，溝通新舊知識的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體會量化的思想和觀點(diǎn)。師生活動：用數(shù)學(xué)符號來表達(dá)上述數(shù)學(xué)問題：如果已知三角形的兩邊，，和角。如何解出問題２：可以先研究計(jì)算出第三邊的長的問題。我們可以從那些角度來研究這個問題，得到一個關(guān)系式或計(jì)算公式呢？設(shè)計(jì)意圖：期望能引導(dǎo)學(xué)生從各個不同的方面（如從坐標(biāo)方法，或向量方法，或三角方法）去研究、探索得到余弦定理。師生活動：從某一個角度探索并得出余弦定理。問題３：余弦定理與以前的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常接近？設(shè)計(jì)意圖：引入余弦定理和勾股定理的比較、聯(lián)系的討論。師生活動：就三種不同情形研究兩個定理之間的聯(lián)系。（二）余弦定理的推論問題４：我們得到的余弦定理是關(guān)于三角形三邊和一個角的一個關(guān)系式。把這個關(guān)系式作某些變形，是否可以解決其他類型的解三角形問題？設(shè)計(jì)意圖：（１）引入余弦定理的推論；（２）對一個數(shù)學(xué)關(guān)系式作某種變形，從而得到解決其他類型的數(shù)學(xué)問題，這是一種基本的研究問題的方法。師生活動：對余弦定理作某種變形，研究變形后所得關(guān)系式的應(yīng)用。老師應(yīng)把重點(diǎn)引導(dǎo)到余弦定理的推論上去，即討論已知三邊求角的問題。問題５：在解三角形的過程中，求某一個角時(shí)既可以用余弦定理也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對應(yīng)用兩個定理的差異進(jìn)行思考和探究。問題涉及到正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在上的單調(diào)性。師生活動：考察兩種方法在解決不同問題時(shí)的差異。當(dāng)所求的角是鈍角時(shí)，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定。問題６：應(yīng)用正弦定理和余弦定理可以解決哪些類型的解三角形問題？怎樣求解？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生就解三角形問題做一分析、歸納和總結(jié)。師生活動：可以一起總結(jié)得到以下幾種類型：（１）已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角時(shí)，應(yīng)用正弦定理求出另一邊所對的角。應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求第三個角，在用正弦定理求出第三條邊；（２）已知三角形的兩角和其中一個角所對的邊時(shí)，可應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求出三角形的第三個角，再應(yīng)用正弦定理求出另兩條邊；（３）已知兩邊和它們的夾角時(shí)，可以應(yīng)用余弦定理求出第三條邊。并把問題轉(zhuǎn)化到前面的類型。（４）已知三角形的三條邊時(shí)，應(yīng)用余弦定理的推論求出一個角，并把問題轉(zhuǎn)化到前面的類型。八、課堂小結(jié)知識梳理：知識梳理：1、余弦定理及其推論；2、余弦定理在解三角形的應(yīng)用；3、體會余弦定理的推導(dǎo)方法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。課堂小結(jié)：使學(xué)生對所學(xué)的知識有個比較全面的認(rèn)識，對學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的建立有較好的指導(dǎo)作用。九、作業(yè)布置教材P103、4；目的使學(xué)生通過練習(xí)鞏固所學(xué)