1998考研數(shù)學一真題及答案詳解

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦1998考研數(shù)學一真題及答案詳解1998年全國碩士討論生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)

(1)0

x→=.

(2)設1()(),,zfxyyxyfx??=++具有二階延續(xù)導數(shù),則2z

xy

?=??.

(3)設L為橢圓221,43

xy+=其周長記為a,則22

(234)Lxyxyds++=??.(4)設A為n階矩陣,0A≠,*A為A的陪同矩陣,E為n階單位矩陣.若A有特征值λ,

則*2

()AE+必有特征值.(5)設平面區(qū)域D由曲線1yx

=

及直線2

0,1,yxxe===所圍成,二維隨機變量(,)XY在區(qū)域D上聽從勻稱分布,則(,)XY關于X的邊緣概率密度在2x=處的值為_.

二、挑選題(本題共5小題,每小題3分,共15分.)(1)設()fx延續(xù),則

22

0()xdtfxtdtdx

-=?()(A)2

()xfx(B)2

()xfx-(C)2

2()xfx(D)2

2()xfx-(2)函數(shù)23()(2)fxxxxx=不行導點的個數(shù)是()

(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函數(shù)()yyx=在隨意點x處的增量2

,1yx

yx

α??=

++且當0x?→時,α是x?的高階無窮小,(0)yπ=,則(1)y等于()(A)2π(B)π(C)4

eπ(D)4

eππ

(4)設矩陣1112223

3

3abcabcabc??

????????

是滿秩的,則直線333

121212xaybzcaabbcc==與直線111

232323

xaybzcaabbcc==()

(A)相交于一點(B)重合

(C)平行但不重合(D)異面

(5)設AB、是兩個隨機大事,且0()1,()0,(|)(|),PAPBPBAPBA=則必有()

(A)(|)(|)PABPAB=(B)(|)(|)PABPAB≠(C)()()()PABPAPB=(D)()()()PABPAPB≠

三、(本題滿分5分)

求直線11

:

111

xyzL--==

-在平面:210xyz∏-+-=上的投影直線0L的方程,并求0L繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程.

四、(本題滿分6分)

確定常數(shù)λ,使在右半平面0x>上的向量4

22

4

2(,)2()()Axyxyxyixxyjλ

λ

=+-+為某二元函數(shù)(,)uxy的梯度,并求(,)uxy.

五、(本題滿分6分)

從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器的下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關系.設儀器在重力作用下,從海平面由靜止開頭鉛直下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用.設儀器的質(zhì)量為m,體積為B,海水比重為ρ,儀器所受的阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為(0)kk>.試建立y與v所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關系式()y=yv.

六、(本題滿分7分)

計算

212222

(),()

axdydzzadxdyxyz∑

++++??

其中∑

為下半球面z=,a為大

于零的常數(shù).

七、(本題滿分6分)

求2sinsinsinlim.1112nnnnnnnπππ→∞???++???+?+?

++?

?

八、(本題滿分5分)

設正項數(shù)列{}na單調(diào)削減,且1

(1)n

nna∞=-∑發(fā)散,試問級數(shù)1

1(

)1

n

nna∞

=+∑是否收斂？并說明理由.

九、(本題滿分6分)

設()yfx=是區(qū)間[0,1]上的任一非負延續(xù)函數(shù).

(1)試證存在0(0,1)x∈,使得在區(qū)間[]00,x上以0()fx為高的矩形面積,等于在區(qū)間[]0,1x上以()yfx=為曲邊的梯形面積.(2)又設()fx在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導,且2()

(),fxfxx

'>-證實(1)中的0x是唯一的.

十、(本題滿分6分)

已知二次曲面方程2

2

2

2224xayzbxyxzyz+++++=,可以經(jīng)過正交變換

xyPzξηζ????????=????????????

化為橢圓柱面方程2

2

44ηζ+=,求,ab的值和正交矩陣P.

十一、(本題滿分4分)

設A是n階矩陣,若存在正整數(shù)k,使線性方程組0kAx=有解向量α,且1

0kAα-≠,證實：向量組1

,,,kAAααα-L是線性無關的.

十二、(本題滿分5分)

已知線性方程組

1111221,222112222,221122,220,0,()0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxIaxaxax++???+=??

++???+=????????????????????????????????????????++???+=?

的一個基礎解系為11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,)T

T

T

nnnnnnbbbbbbbbb????????????,試寫出線性方程組

1111221,222112222,221122,220,0,

()0nnnnnnnnnbybybybybybyIIbybyby++???+=??

++???+=??

??????????????????????????????????????++???+=?

的通解,并說明理由.

十三、(本題滿分6分)

設兩個隨機變量,XY互相自立,且都聽從均值為0、方差為

1

2

的正態(tài)分布,求隨機變量XY-的方差.

十四、(本題滿分4分)

從正態(tài)總體2

(3.4,6)N中抽取容量為n的樣本,假如要求其樣本均值位于區(qū)間(1.4,5.4)內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應取多大？

附表：標準正態(tài)分布表22

()tz

zdt-

Φ=

?

z

1.281.6451.96

2.33()zΦ

0.900

0.950

0.975

0.990

十五、(本題滿分4分)

設某次考試的同學成果聽從正態(tài)分布,從中隨機地抽取36位考生的成果,算得平均成果為66.5分,標準差為15分,問在顯著性水平0.05下,是否可以認為這次考試全體考生的平均成果為70分？并給出檢驗過程.附表：t分布表

{()()}pPtntnp≤=

1998年全國碩士討論生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題解析

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】14

-

【解析】辦法1：用四則運算將分子化簡,再用等價無窮小替換,

原式

2

2

x

→=

2

4

x→-=

)2

2

1lim

4xx→=

22

202221

1

2lim24

xx

xx→

--=-:.

辦法2：采納洛必達法則.

原式)

()0

2

2

lim

xx→'

'

洛0

x→=

0x→=0

lim4xx→=0

x→洛14

==-.

辦法3：將分子按佩亞諾余項泰勒公式綻開至2

x項,

()22111128xxox=+

-+()22211

128xxox=--+,從而原式()()222212202211

1122828limxxxoxxxoxx→+-++--+-=()()22212201

4limxxoxoxx

→-++=1

4=-.(2)【答案】()()()yfxyxyyxy??'''''++++

【分析】由于1

()(),,zfxyyxyfx

??=

++具有二階延續(xù)導數(shù),利用混合偏導數(shù)在延續(xù)的條件下與求導次序無關,先求

zx??或zy

??均可,但不同的挑選可能影響計算的繁簡.辦法1：先求

zx

??.211()()()()()zyfxyyxyfxyfxyyxyxxxxx??????

''=++=-+++??????

,2221()()()11()()()()()

11

()()()()()

()()().

zyfxyfxyyxyxyyxxy

fxyxfxyfxyxxyyxyxxx

fxyfxyyfxyxyyxyxx

yfxyxyyxy???????????

''=-+++??????

'''''''=-++++++'''''''=-++++++'''''=++++辦法2：先求

zy

??.11

()()()()()

()()(),zfxyyxyfxyxxyyxyyyxx

fxyxyyxy?????????''=++=++++??????''=++++[]

22()()()()()().

zzfxyxyyxyxyyxx

yfxyxyyxy???????

''==++++?????'''''=++++辦法3：對兩項分離實行不同的挨次更容易些：

()[][][]21()()1()()()()()()().

zfxyyxyxyxyxyxfxyxyxyxxyfxyyxyxy

yfxyxyyxy????????????????

=++???????????????

????

??''=++????????

''=++??'''''=++++評注：本題中,,f?中的中間變量均為一元,因此本題實質(zhì)上是一元復合函數(shù)的求導,只要注重到對x求導時,y視為常數(shù)；對y求導時,x視為常數(shù)就可以了.(3)【答案】12a

【解析】L關于x軸(y軸)對稱,2xy關于y(關于x)為奇函數(shù)20L

xyds?

=?.

又在L上,

22

222213412(34)1212.43

LLxyxyxydsdsa+=?+=?+==??

因此,原式2

22(34)12L

L

xydsx

ydsa=

++=??.

【相關學問點】對稱性：平面第一型曲線積分

(),l

fxyds?,設(),fxy在l上延續(xù),假如l關

于y軸對稱,1l為l上0x≥的部分,則有結(jié)論：

()()()()12,,,,0,ll

fxydsfxyxfxydsfxyx??=?????

關于為偶函數(shù),

，

關于為奇函數(shù).類似地,假如l關于x軸對稱,2l為l上0y≥的部分,則有結(jié)論：

()()()()22,,,,0,ll

fxydsfxyyfxydsfxyy??=?????

關于為偶函數(shù),，

關于為奇函數(shù).(4)【答案】2

1Aλ??

+???

【解析】辦法1：設A的對應于特征值λ的特征向量為ξ,由特征向量的定義有

,(0)Aξλξξ=≠.

由0A≠,知0λ≠(假如0是A的特征值0A?=),將上式兩端左乘A*

,得

AAAAAξξλξλξ***===,

從而有*

,A

Aξξλ

=

(即A*的特征值為

A

λ

).

將此式兩端左乘A*,得

()

2

2

**A

AAAξξξλλ??==???

.

又Eξξ=,所以

()()

22

*1AAEξξλ?????+=+??????

,故*2()AE+的特征值為2

1Aλ??

+???.

辦法2：由0A≠,A的特征值0λ≠(假如0是A的特征值0A?=),則1

A-有特征值

1λ,A*的特征值為Aλ；*2

()AE+的特征值為2

1Aλ??+???

.

【相關學問點】1.矩陣特征值與特征向量的定義：設A是n階矩陣,若存在數(shù)λ及非零的n

維列向量X使得AXXλ=成立,則稱λ是矩陣A的特征值,稱非零向量X是矩陣A的特征向量.

由λ為A的特征值可知,存在非零向量α使Aαλα=,兩端左乘1A-,得1

Aαλα-=.由于0α≠,故0λ≠,于是有1

1A

ααλ

-=.按特征值定義知1

λ是1A-的特征值.

若AXXλ=,則()()AkEXAXkXkXλ+=+=+.即若λ是A的特征值,則

AkE+的特征值是kλ+.

2.矩陣A可逆的充要條件是0A≠,且1

1A

AA

-*

=

.(5)【答案】

14

【解析】首先求(,)XY的聯(lián)合概率密度(,)fxy.

21(,)|1,0Dxyxeyx?

?=≤≤≤≤???

?,

區(qū)域D的面積為2

2

11

1ln2.eeDSdxxx

=

==?

1

,

(,),(,)2

0,xyDfxy?∈?=???其他.

第二求關于X的邊緣概率密度.

當1x時,()0Xfx=；

當2

1xe≤≤時,10

11()(,)22xXfxfxydydyx

+∞

-∞

===?

?

.故1

(2).4

Xf=

二、挑選題(本題共5小題,每小題3分,共15分.)(1)【答案】(A)

【解析】為變限所定義的函數(shù)求導數(shù),作積分變量代換2

2

,uxt=-

2:0:0txux→?→,()222dudxttdt=-=-1

2dtdut

?=-

,

2

2

202222

0001()()211()(),22x

xx

xtfxtdtuxttfudttfudufudu??-=--???=-=????

()222

00

22221()()211

()()2(),22

xxddtfxtdtfududxdxfxxfxxxfx-='=?=?=??

選(A).

【相關學問點】對積分上限的函數(shù)的求導公式：若()

()

()()ttFtfxdxβα

=?,()tα,()tβ均一階

可導,則[][]()()()()()Fttf

ttftββαα'''=?-?.

(2)【答案】(B)

【解析】當函數(shù)中浮現(xiàn)肯定值號時,就有可能浮現(xiàn)不行導的“尖點”,由于這時的函數(shù)是分段函數(shù).22()(2)1fxxxxx=,當0,1x≠±時()fx可導,因而只需在0,1x=±處考察()fx是否可導.在這些點我們分離考察其左、右導數(shù).

由2222

2

2

22(2)(1),1,(2)(1),

10,

()(2)(1),01,(2)(1),

1,

xxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxx?上為某二元函數(shù)(,)uxy的梯度PdxQdy?+在0x>上?原函數(shù)(,)uxy?

,0.QP

xxy

??=>??其中,

42242132()()4Q

xxyxxyxx

λλλ-?=-+-+??,424212()2()2P

xxyxyxyyy

λλλ-?=+++??.由

QP

xy

??=??,即滿足4224213424212()()42()2()2xxyxxyxxxyxyxyyλλλλλλ+-+?=+++?,

424()(1)01xxyλλλ?++=?=-.

可見,當1λ=-時,所給向量場為某二元函數(shù)的梯度場.

為求(,)uxy,采納折線法,在0x>半平面內(nèi)任取一點,比如點(1,0)作為積分路徑的起點,則按照積分與路徑無關,有

2(,)

42

(1,0)

2(,)xyxydxxdy

uxyCxy-=++?

2

4421

0200x

yxxdxdyCxxy

?-=

++++??(折線法)2

42

y

xdyCxy-=

++?

2

2

42(1)

y

xdyCyxx-=

+??+???

?

(第一類換元法)

22

22220

04

221(1)(1)

y

yxxyydCdCxxyyxxx?????

=-

+=-+??????????++??????

?

?2

arctany

Cx=-+(基本積分公式)其中C為隨意常數(shù).

【相關學問點】1.二元可微函數(shù)(,)uxy的梯度公式：uugradui+jxy

??=

??.2.定理：設D為平面上的單連通區(qū)域,函數(shù)()Px,y與(,)Qxy在D內(nèi)延續(xù)且有延續(xù)的一階偏導數(shù),則下列六個命題等價：

(1)

,(,)QP

xyDxy

??≡∈??；(2)0,L

PdxQdyL+=??為D內(nèi)隨意一條逐項光潔的封閉曲線；

(3)

LAB

PdxQdy+?

僅與點,AB有關,與銜接,AB什么樣的分段光潔曲線無關；

(4)存在二元單值可微函數(shù)(,)uxy,使

duPdxQdy=+

(即PdxQdy+為某二元單值可微函數(shù)(,)uxy的全微分；(5)微分方程0PdxQdy+=為全微分方程；

(6)向量場P+Qij為某二元函數(shù)(,)uxy的梯度uP+Q=gradij.

換言之,其中任一組條件成立時,其它五組條件皆成立.當條件成立時,可用試圖法或折線法求函數(shù)(,)uxy.

五、(本題滿分6分)

【解析】先建立坐標系,取沉放點為原點O,鉛直向下作為Oy軸正向,探測器在下沉過程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大?。簃g,浮力的大?。篎Bρ=-??；阻力：kv-,則由牛頓其次定律得

20

2,0,0.ttdy

mmgBgkvyv

dt

ρ===--==(*)

由22,dydydvdvdydvdyvvvdvdtdtdtdydtdy

===?==,代入(*)得y與v之間的微分方程

1

0,0ydymvmgBkvvdvρ-=??

=--=???

.

分別變量得mv

dydvmgBkvρ=

--,

兩邊積分得mv

dydvmgBkvρ=

--?

?,

2222

()()()

BmmgBmmgmvkkkkydvmgBkvmBmmgmgBkvkkkdvmgBkvmgBmmkdv

kmgBkvmmmgBdvdv

kkmgBkvρρρρρρρρρρ+--+

=+=--??-?

=-+?--????-=-+--?

?

???

1

()()()()

mmgBmkvdmgBkvkkmgBkvρρρ-?-=-+?(第一類換元法)2

()ln()mmmgBvmgBkvCkkρρ-=-

+.

再按照初始條件0|0,yv==即

22

()()

ln()0ln()mmgBmmgBmgBCCmgBkk

ρρρρ

-+=?=-.故所求y與v函數(shù)關系為

()2ln.mmgBmmgBkvyvkkmgBρρρ-??--=--?-??

六、(本題滿分7分)

【解析】辦法1：本題屬于求其次類區(qū)面積分,且不屬于封閉區(qū)面,則考慮添加一平面使被積區(qū)域封閉后用高斯公式舉行計算,但因為被積函數(shù)分母中包含1

2222()xyz++,因此不能立

即加、減輔助面222

1:0

xyaz?+≤∑?=?,宜先將曲面方程代入被積表達式先化簡：

22

12222

()1().()

axdydzzadxdyIaxdydzzadxdyaxyz∑

∑

++==

++++??

??添加輔助面222

1:0

xyaz?+≤∑?=?,其側(cè)向下(因為∑

為下半球面z=側(cè),而高斯公式要求是囫圇邊界區(qū)面的外側(cè),這里我們?nèi)≥o助面的下側(cè),和∑的上側(cè)組成囫圇邊界區(qū)面的內(nèi)側(cè),前面取負號即可),由高斯公式,有

11

22

2

2

11()()()1()().DIaxdydzzadxdyaxdydzzadxdyaazaaxdVadxdyaxz∑+∑∑Ω=

++-++?????+??????=-+--????????

?????????ò

第一個積分前面加負號是因為我們?nèi)∵吔鐓^(qū)面的內(nèi)側(cè),其次個積分前面加負號是因為

1∑的方向向下；另外由曲面片1∑在yoz平面投影面積為零,則1

0axdydz∑=??,而1∑上0z=,

則()2

2zaa+=.

21(2())DIazadVadxdyaΩ

?

?=-+++???

?????,

其中Ω為∑與1∑所圍成的有界閉區(qū)域,D為1∑在xoy面上的投影222{(,)|}Dxyxya=+≤.從而,

2

203

22022321232.3

DaIadvzdvadxdyaaadrdrzdzaaaππθπΩΩ??=--+?

??

??=-?-+????

???????????

第一個積分用球體體積公式；其次個用柱面坐標求三重積分；第三個用圓的面積公式

.

()

204

2

40024

220224230022422444

04

11222112()21

()1122242412aaaa

Iadrzdraaadrardraadarrdr

a

arraaaaaaaaaaππππθππθπθππππππ????=--+??

????

????=??

????

=

-+-?????????=-+?-=-+?-?

??????????

?=-+???????4342

aπ??=-???辦法2：逐項計算：

22

1

2

2

22

212()1()()1

().

axdydzzadxdy

IaxdydzzadxdyaxyzxdydzzadxdyIIa∑

∑

∑

∑

++==

++++=++=+??

??????

其中

,

12,

DyzDyz

Dyz

Ixdydz∑

==-+=-????????

第一個負號是因為在x軸的正半空間區(qū)域∑的上側(cè)方向與x軸反向；其次個負號是因為被積

函數(shù)在x取負數(shù).

yzD為∑在yoz平面上的投影域222{(,)|,0}yzDyzyzaz=+≤≤,用極坐標,得

210

22

03223320

212()2

222

()(0),

333a

Idararaaππ

θππππ=-=-?-

-=-=-=-??

?

(

2

222220

0230

23000422

30

044

411()1(22)2(22)2222123422(3Dxy

aaaaaaaIzadxdyadxdy

aadarrdr

aarrdraardrardrararaaaaaaa

π

θπππ

π∑=+=-=-=-??=--?

???????????

=-?-??????????

=

--??????????3),

46

aπ=

其中yzD為∑在yoz平面上的投影域222{(,)|}yzDyzyza=+≤.故312.2

IIIaπ

=+=-

【相關學問點】高斯公式：設空間閉區(qū)域Ω是由分片光潔的閉曲面∑所圍成,函數(shù)

(,,)Pxyz、(,,)Qxyz、(,,)Rxyz在Ω上具有一階延續(xù)偏導數(shù),則有

,PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyzΩ∑

?????++=++???????????ò或

()coscoscos,PQRdvPQRdSxyzαβγΩ∑

?????++=++???????????ò這里∑是Ω的囫圇邊界曲面的外側(cè),cosα、cosβ、cosγ是∑在點(,,)xyz處的法向量的方向余弦.上述兩個公式叫做高斯公式.

七、(本題滿分6分)

【分析】這是n項和式的極限,和式極限通常的辦法就兩種：一、把和式放縮,利用夾逼準則求極限；二、把和式轉(zhuǎn)換成定積分的定義形式,利用定積分求極限.這道題,把兩種辦法結(jié)合到一起來求極限.

當各項分母均相同是n時,n項和式

2sinsin

sin

nnnnnxn

nn

π

ππ

=

+

++L是函數(shù)sinxπ在[0,1]區(qū)間上的一個積分和.于是可由定積分

1

sinxdxπ?求得極限limn

nx

→∞

.

【解析】因為

sin

sinsin,1,2,,11iiinnninnnni

πππ≤≤=???++,

于是,

1

11sin

sinsin11n

nn

iiiiiinnnnn

ni

πππ

===≤≤++∑

∑∑.

因為1011

sin

12lim

limsinsinn

n

nniiiinxdxnnnπ

πππ→∞

→∞=====∑

∑?,

101

11sin

112

limlimsinlimsinsin11n

nn

nnniiiiniinxdxnnnnnnπ

ππππ→∞

→∞→∞===??=?===??++??

∑

∑∑?按照夾逼定理知,1

sin

2lim

1n

niinni

π

π→∞

==+∑

.【相關學問點】夾逼準則：若存在N,當nN>時,nnnyxz≤≤,且有l(wèi)imlimnnnnyza→+∞

→+∞

==,則limnnxa→+∞

=.

八、(本題滿分5分)

【解析】辦法1：因正項數(shù)列{}na單調(diào)削減有下界0,知極限limnna→∞

存在,記為a,則naa≥且

0a≥.

又

1

(1)

n

nna∞

=-∑發(fā)散,按照萊布尼茨判別法知,必有0a>(否則級數(shù)1

(1)nnna∞

=-∑收斂).

又正項級數(shù){}na單調(diào)削減,有11,11n

n

naa????≤??

++?

???而1

011a.令1,1n

nnba??

=?+??

則

11

lim

1,11nnn

aa→∞==(否則級數(shù)

1

1

(1)

nnnu∞

-=-∑收斂)

2.正項級數(shù)的比較判別法：

設

1

nnu∞=∑和1

nnv∞

=∑都是正項級數(shù),且lim

,n

nn

vAu→∞=則

(1)當0A,則當

1

11,1,lim0,1,.nnnnnnnuuuρ∞

=∞

→∞

=?

≠??

?=??

∑∑時收斂，

時發(fā)散，且時此判別法無效

九、(本題滿分6分)

【解析】(1)要證0(0,1)x?∈,使0

1

00()()xxfxfxdx=

?

；令1

()()()xxxfxftdt?=-?,要證

0(0,1)x?∈,使0()0x?=.可以對()x?的原函數(shù)0

()()xxtdt?Φ=?使用羅爾定理：

(0)0Φ=,

1111

11

11000(1)()()(())()()()0,x

xxxxdxxfxdxftdtdx

xfxdxxftdtxfxdx?==Φ==-??

=-+=????

???????分部

又由()fx在[0,1]延續(xù)()x??在[0,1]延續(xù),()xΦ在[0,1]延續(xù),在(0,1)可導.按照羅爾定理,0(0,1)x?∈,使00()()0xx?'Φ==.

(2)由()()()()()2()0xxfxfxfxxfxfx?'''=++=+>,知()x?在(0,1)內(nèi)單調(diào)增,故(1)中的0x是唯一的.

評注：若直接對()x?使用零點定理,會碰到棘手：

1

(0)()0,(1)(1)0ftdtf??=-≤=≥?.

當()0fx≡時,對任何的0(0,1)x∈結(jié)論都成立；

當()fx≡0時,(0)0,?<但(1)0?≥,若(1)0?=,則難以說明在(0,1)內(nèi)存在0x.當直接對()x?用零點定理碰到棘手時,不妨對()x?的原函數(shù)使用羅爾定理.【相關學問點】1.羅爾定理：假如函數(shù)()fx滿足(1)在閉區(qū)間[,]ab上延續(xù)；(2)在開區(qū)間(,)ab內(nèi)可導；

(3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等,即()()fafb=,那么在(,)ab內(nèi)至少有一點ξ(abξ<<),使得()0fξ'=.

十、(本題滿分6分)

【解析】經(jīng)正交變換化二次型為標準形,二次型矩陣與標準形矩陣既合同又相像.由題設知,

二次曲面方程左端二次型對應矩陣為111111bAba????=??????

,則存在正交矩陣P,使得1000010004PAP-????=??????

B記,

即AB與相像.

由相像矩陣有相同的特征值,知矩陣A有特征值0,1,4.從而,

2

11014,

3,1.(1)0.aabAbB++=++???==?=--==??

從而,111131.111A????=??????

當10λ=時,

()1110131111EA????-=??????1(1)23?-uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur行分離加到，行111020000??

??-??????

于是得方程組(0)0EAx-=的同解方程組為1232

0,

20.xxxx=??-=?

(0)2rEA-=,可知基礎解系的個數(shù)為(0)321nrEA--=-=,故有1個自由未知量,

選1x為自由未知量,取11x=,解得基礎解系為1(1,0,1).T

α=-

當21λ=時,

()011121110EA--????-=????--??3(1)2?-uuuuuuuuuuuuuuuuur加到行011011110--??

??--????--??

1(1)2?-uuuuuuuuuuuuuuuuuuur行加到行011000110--??

??????--??

23uuuuuuuuuuur，行互換011110000--??

??--??????

,于是得方程組()0EAx-=的同解方程組為23120,

0.

xxxx--=??

--=?

()2rEA-=,可知基礎解系的個數(shù)為()321nrEA--=-=,故有1個自由未知量,

選1x為自由未知量,取11x=,解得基礎解系為2(1,1,1).T

α=-

當34λ=時,

()3114111113EA--????-=--????--??12uuuuuuuuuur，行互換111311113--??

??--??

??--??

1uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur行的3,(-1)倍分離加到2，3行111024024--????-????-??23uuuuuuuuuuuuur行加到行111024000--??

??-??

????

,

于是得方程組(4)0EAx-=的同解方程組為123230,

240.

xxxxx-+-=??

-=?

(4)2rEA-=,可知基礎解系的個數(shù)為(4)321nrEA--=-=,故有1個自由未知量,

選2x為自由未知量,取22x=,解得基礎解系為3(1,2,1).T

α=

由實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量互相正交,可知123,,ααα互相正交.將123,,ααα單位化,得

111222333,,.

T

T

T

αηααηααηα===

===

因此所求正交矩陣為0

P????

=?????.評注：利用相像的須要條件求參數(shù)時,

ii

ii

ab

=∑∑是比較好用的一個關系式.亦可用

EAEBλλ-=-比較λ同次方的系數(shù)來求參數(shù).

【相關學問點】1.特征值的性質(zhì)：

1

1

n

n

iii

iia

λ===∑∑

2.相像矩陣的性質(zhì)：若矩陣AB與相像,則AB=.

十一、(本題滿分4分)

【解析】用線性無關的定義證實.

設有常數(shù)011,,,,kλλλ-???使得

10110.

()kkAAλαλαλα--++???+=*

兩邊左乘1kA-,則有

()110110kkkAAAλαλαλα++???+=,

即12(1)

0110kkkkAAA

λαλαλα++???+=.上式中因0k

Aα=,可知()

211

0kkAA

αα-+===L,代入上式可得100.kAλα-=

由題設1

0kA

α-≠,所以00.λ=

將00λ=代入()*,有1

110kkAAλαλα--+???+=.

兩邊左乘2kA-,則有()2

11

1

0kkkAAAλαλ

α+???+=,

即123

110kkkAAλαλα+???+=.

同樣,由0k

Aα=,()

211

0kkAA

αα-+==L,可得110.kAλα-=

由題設1

0kA

α-≠,所以10.λ=

類似地可證實210,kλλ-=???==因此向量組1

,,,kAAααα-???是線性無關的.

【相關學問點】向量組線性相關和線性無關的定義：存在一組不全為零的數(shù)12mk,k,,kL使

11220mmkkkααα+++=L,則稱12m,,,αααL線性相關；否則,稱12m,,,αααL線性無關．

十二、(本題滿分5分)【解析】()II的通解為

1122nnkkkξξξ++???+,

其中,111121,2(,,,),

T

naaaξ=???221222,2(,,,),,Tnaaaξ=???L12,2(,,,)Tnnnnnaaaξ=???,

12,,,nkkk???為隨意常數(shù).

理由：可記方程組22()0,()0,nnnnIAXIIBY??==()I,()II的系數(shù)矩陣分離記為,AB,由

于B的每一行都是20nnAX?=的解,故0TAB=.T

B的列是()I的基礎解系,故由基礎解系

的定義知,TB的列向量是線性無關的,因此()rBn=.故基礎解系所含向量的個數(shù)

2()nnrA=-,得()2rAnnn=-=.因此,A的行向量線性無關.

對0T

AB=兩邊取轉(zhuǎn)置,有(

)

0T

TTAB

BA==,則有TA的列向量,即A的行向量是

0BY=的線性無關的解.

又()rBn=,故0BY=基礎解系所含向量的個數(shù)應為2()2nrBnnn-=-=,恰好等于A的行向量個數(shù).故A的行向量組是0BY=的基礎解系,其通解為

1122nnkkkξξξ++???+,

其中,111121,2(,,,),

T

naaaξ=???221222,2(,,,),,Tnaaaξ=???L12,2(,,,)Tnnnnnaaaξ=???,

12,,,nkkk???為隨意常數(shù).

十三、(本題滿分6分)

【分析】把XY-看成一個隨機變量,按照自立正態(tài)隨機變量的線性組合必定為正態(tài)分布的性質(zhì),可以知道N(0,1)XY-:,這樣可以簡化整題的計算.

【解析】令ZXY=-,因為,XY互相自立,且都聽從正態(tài)分布,因此Z也聽從正態(tài)分布,且

()()()0EZEXEY=-=,11

()()()122

DZDXDY=+=

+=.于是,