軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲第一頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲第二章軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲 §2.1

概述 §2.2

軸心受壓構(gòu)件的彈性彎曲屈曲 §2.3

軸心受壓構(gòu)件的大撓度彈性理論 §2.4

軸心受壓構(gòu)件的非彈性屈曲 §2.5

初始缺陷對(duì)軸心受壓構(gòu)件的影響第二頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲§2.1

概述軸心受壓構(gòu)件的失穩(wěn)形式

彎曲失穩(wěn)：某個(gè)主軸平面內(nèi)的變形迅速增加而喪失承載力。雙軸對(duì)稱截面扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)：扭轉(zhuǎn)變形迅速增大而喪失承載力。

十字形截面

彎扭失穩(wěn)：?jiǎn)屋S對(duì)稱構(gòu)件繞對(duì)稱軸失穩(wěn)時(shí)，截面形心與剪心 不重合，發(fā)生彎曲的同時(shí)伴有扭轉(zhuǎn)。

單軸對(duì)稱截面，無對(duì)稱軸截面

彎曲屈曲是確定軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定承載力的主要依據(jù)。第三頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲荷載位移曲線

1-小撓度理論(彈性)2-大撓度理論(彈性)3-有初彎曲時(shí)(彈性)4-有初偏心時(shí)(彈性)3’-有初彎曲時(shí)(彈塑性)4’-有初偏心時(shí)(彈塑性)第四頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲§2.2

軸心受壓構(gòu)件的彈性彎曲屈曲1）理想軸心壓桿的歐拉臨界力

基本假定： （1）等截面、雙軸對(duì)稱直桿，兩端理想鉸接； （2）壓力通過截面形心，沿原桿件軸線方向作用； （3）材料具有線彈性，符合虎克定律； （4）符合平截面假定； （5）小變形假定：彎曲曲率： 第五頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲按隨遇平衡法計(jì)算構(gòu)件的分枝屈曲荷載時(shí)取圖示脫離體并建立平衡微分方程：桿件處于臨界狀態(tài)時(shí)，內(nèi)外彎矩相等，即令，得：此常系數(shù)二階齊次微分方程的通解：A,B為待定系數(shù)，由邊界條件確定。第六頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲由邊界條件得：（1）則（2）由此可得臨界力公式為：與之對(duì)應(yīng)的撓曲線為：（m=1，2，3，……），即第七頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲臨界力和屈曲形式

軸向壓力橫向撓度最低的臨界力即為歐拉臨界力第八頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲撓曲線當(dāng)m=1時(shí)P最小，對(duì)應(yīng)的撓曲線方程為，為正弦曲線的一個(gè)半波；當(dāng)x=l/2時(shí)，y=v0，A即為跨中最大撓度

v0，故有。桿件可在任意

v0值的彎曲狀態(tài)下保持平衡。

軸向壓力橫向撓度v0

為不定值，在小變形假設(shè)的前提下，第九頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲2）端部有約束的軸壓構(gòu)件（壓桿的高階微分方程）

對(duì)于兩端為任意支承情況時(shí)，由脫離體的平衡得：對(duì)上式求導(dǎo)兩次可消去等式右端的桿端約束力：

令，得

此微分方程與桿端約束力無關(guān)，故能代表各種支承情況，稱壓桿屈曲的高階微分方程。PPPP第十頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲方程的通解為：其各階導(dǎo)數(shù)為：A,B,C,D為待定系數(shù)，由邊界條件確定。各支承情況的邊界條件：鉸支：固支：自由端：第十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲兩端固定的軸心壓桿邊界條件：線性齊次方程組：為使關(guān)于A、B、C、D的齊次方程組有非0解，則其系數(shù)行列式應(yīng)為0。

第十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲則由此得或（1）求解第一式臨界力：（2）求解第二式（為超越方程，需采用數(shù)值解法或圖解法）在坐標(biāo)系中分別畫出曲線和，其交點(diǎn)即為方程的解。第十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲取相交點(diǎn)的最小值，得即結(jié)合上述兩式的解，取小值，得兩端嵌固桿的臨界力為：使方程有非0解，滿足=0的k值稱為特征值，因此解理想軸壓桿的分岔屈曲荷載，在數(shù)學(xué)上是一個(gè)求特征值的問題。與k值對(duì)應(yīng)的y(x)為特征函數(shù)或特征向量，即構(gòu)件處于中性平衡時(shí)的彈性曲線方程。=0為特征方程，因Pcr由=0求得，故又稱為屈曲方程。第十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲一端鉸接、一端固定的軸心壓桿邊界條件：線性齊次方程組：為使關(guān)于A、C的齊次方程組有非0解，則其系數(shù)行列式應(yīng)為0。

力學(xué)邊界幾何邊界第十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲展開得即上式稱為該壓桿穩(wěn)定的特征方程，為一超越方程，求解臨界力的問題成為求解最小非零根的問題。其最小非零根為：（最小特征根）即第十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲3）軸心受壓構(gòu)件的計(jì)算長(zhǎng)度

對(duì)其他約束情況，Pcr同樣可由高階微分方程計(jì)算，如：兩端鉸支：一端固定一端自由：一端固定一端平移但不轉(zhuǎn)動(dòng)：可統(tǒng)一表示為：

l0稱計(jì)算長(zhǎng)度，μ為計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。

第十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲討論l0的實(shí)質(zhì)由曲率方程有：若已知桿中兩彎矩為零的截面位置分別為z1、z2，即：和代入上式得關(guān)于待定系數(shù)A、B的線形齊次方程組即應(yīng)有展開得：即令，得，解得最小值

第十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲由此得到與歐拉臨界力相同的算式：

l0的實(shí)質(zhì)為點(diǎn)z1、z2

之間的距離，因這兩點(diǎn)彎矩為零，亦即曲率為零，故為反彎點(diǎn)。

l0實(shí)際上相當(dāng)于相鄰兩反彎點(diǎn)處切出的脫離體（相當(dāng)于歐拉柱）的長(zhǎng)度。

第十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲§2.3

軸心受壓構(gòu)件的大撓度彈性理論1）大撓度方程

構(gòu)件彎曲曲率與變形的關(guān)系：

兩端鉸接軸壓桿大撓度方程為：第二十頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲2）討論

（1）當(dāng)P<PE時(shí)，小、大撓度理論都表明構(gòu)件處于直線穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（2）當(dāng)P≥PE時(shí)，小撓度理論只能指出構(gòu)件處于隨遇平衡狀態(tài)，只能給出分岔點(diǎn)和屈曲變形形狀，不能給出確定的撓度值；而大撓度理論不僅能說明構(gòu)件屈曲后仍處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，而且可以得到不同時(shí)刻的荷載與撓度關(guān)系；

第二十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲

（3）兩個(gè)理論給出了相同的分岔荷載。小撓度理論的臨界荷載代表了由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的分枝點(diǎn)，大撓度理論的分岔荷載則是由直線穩(wěn)定平衡狀態(tài)到曲線穩(wěn)定平衡狀態(tài)的分枝點(diǎn)；（4）大撓度理論得到的屈曲后荷載有所提高，但當(dāng)撓度達(dá)到構(gòu)件長(zhǎng)度3%以上時(shí)，跨中彎曲應(yīng)力將使截面進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，出現(xiàn)下降段。因此軸心壓桿的屈曲后強(qiáng)度不能被利用。第二十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲§2.4

軸心受壓構(gòu)件的非彈性屈曲歐拉臨界力及臨界應(yīng)力只適用于材料為彈性時(shí)的情況，應(yīng)力一旦超過材料的比例極限，則歐拉公式不再適用。臨界長(zhǎng)細(xì)比

彈性失穩(wěn)和彈塑性失穩(wěn)的分界點(diǎn)第二十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲1）切線模量理論由德國(guó)科學(xué)家恩格塞爾（Engesser）在1889年提出。

基本假定：在彎曲時(shí)全截面沒有出現(xiàn)反號(hào)應(yīng)變。

達(dá)到彈塑性失穩(wěn)荷載Pt后，構(gòu)件微彎時(shí)荷載還略有增加，而且增加的平均軸向應(yīng)力正好抵消因彎曲而在1－1截面右側(cè)邊緣產(chǎn)生的拉應(yīng)力。即：凹面壓應(yīng)力增加為max；凸面壓應(yīng)力增加量正好為0。第二十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲作用于1－1截面上的壓力為：作用于1－1截面上的內(nèi)力矩為：全截面對(duì)形心軸的面積矩為0第二十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲任意截面i上的內(nèi)力（彎矩和軸力）對(duì)原點(diǎn)的平衡方程為：代入前面推導(dǎo)得到的軸力和彎矩，則求解微分方程，得：其中Pt和Et均為未知，需要迭代求解。第二十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲2）雙模量理論（折算模量理論）由德國(guó)科學(xué)家恩格塞爾（Engesser）在1895年提出。

基本假定：

（1）在彎曲時(shí)全截面出現(xiàn)反號(hào)應(yīng)變；（2）壓桿屈曲時(shí)壓力保持不變。

彎曲時(shí)凹面產(chǎn)生正號(hào)應(yīng)變，凸面產(chǎn)生負(fù)號(hào)應(yīng)變；即：凹面為繼續(xù)加載區(qū)，凸面為卸載區(qū)。加載區(qū)變形模量為Et；卸載區(qū)變形模量為E第二十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲作用于1－1截面上的壓力變化值為：由于屈曲后壓力保持不變，因此則即由上式可以求出中性軸的位置。第二十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲1-1截面上的內(nèi)力矩：第二十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲任意截面i上的內(nèi)力（彎矩和軸力）對(duì)原點(diǎn)的平衡方程為：即求解微分方程，得：其中為折算模量，與E,Et和截面形狀有關(guān)。Pt小于Pr，曾認(rèn)為雙模量理論更為完善，但研究表明Pt更接近試驗(yàn)結(jié)果。第三十頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲3）Shanley理論

Shanley于1947年設(shè)計(jì)了Shanley模型來解釋試驗(yàn)值更接近切線模量理論。

力學(xué)模型：（1）模型有三部分組成：兩根l/2長(zhǎng)的剛性桿和中間連接的彈塑性鉸；

（2）彈塑性變形全部集中在彈塑性鉸處發(fā)生；（3）鉸的-曲線是折線。

彈塑性鉸由兩根很短的可變形縱向桿件組成。第三十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲鉸的彈性模量為E，切線模量為Et，鉸的肢長(zhǎng)為h，肢距為h，每肢面積為A/2；當(dāng)P達(dá)到臨界時(shí)，由直桿變?yōu)槲?，引起鉸的左右肢桿應(yīng)變?yōu)棣?和ε2，兩肢變形如圖；桿端轉(zhuǎn)角：跨中撓度：0第三十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲若彎曲凹面和凸面的變形模量為E1和E2，則因屈曲而產(chǎn)生的內(nèi)力ΔP1和ΔP2：鉸處的內(nèi)彎矩：鉸處的外彎矩：

由內(nèi)外彎矩平衡得：0第三十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲討論（1）當(dāng)構(gòu)件在彈性狀態(tài)失穩(wěn)時(shí)，即E1=E2=E，則：（2）當(dāng)構(gòu)件在彈塑性狀態(tài)失穩(wěn)時(shí)，按切線模量理論，E1=E2

=Et，則：顯然，若E1=E2=Et，則P2必為受壓，即2必為縮短，20

因壓力增量亦即當(dāng)20時(shí)，P0。若要P=0，只有1=2，即d=0。說明

切線模量荷載Pt是壓桿保持平直狀態(tài)時(shí)的最大壓力；是桿件開始屈曲時(shí)的最小壓力，亦即在發(fā)生彎曲時(shí)壓力必須增加。第三十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲（3）當(dāng)構(gòu)件在彈塑性狀態(tài)失穩(wěn)時(shí)，若12，亦即d0，要P=0，則必須有E11=E22，且E1=Et，E2=E，則：

其中：是Shanley模型的折算模量。

由比較可知Et<Er<E，因此Pt<Pr<PE。第三十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲（4）P與中點(diǎn)撓度d的關(guān)系因壓桿在P=Pt時(shí)發(fā)生屈曲，彎曲后的P應(yīng)增加P，即：

P=Pt+P令E2/E1=第三十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲討論（1）當(dāng)d=0時(shí)，P→Pt；（2）當(dāng)d→時(shí)，結(jié)論（1）Pt是柱保持平直狀態(tài)時(shí)的最大壓力，壓力達(dá)到Pt時(shí)柱開始屈曲，因而，以Pt作為判別標(biāo)準(zhǔn)才是安全的；（2）因Er>Et

，故Pr>Pt

，Pr是壓桿屈曲后的漸進(jìn)線，實(shí)際上是達(dá)不到的，即Pt<P<Pr；（3）實(shí)際的Et隨Pt的增加而減少不是常數(shù)，因而曲線下降。PPrPtd第三十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲§2.5

初始缺陷對(duì)軸心受壓構(gòu)件的影響初始缺陷

幾何缺陷：初彎曲、初偏心

力學(xué)缺陷：殘余應(yīng)力1）初彎曲的影響假設(shè)初彎曲形狀為正弦半波，跨中最大初撓度為v0，即：內(nèi)彎矩：外彎矩：第三十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲

由兩端鉸接桿的失穩(wěn)變形可知，增加的變形也為正弦半波曲線：由內(nèi)外彎矩平衡得：

即，則跨中總撓度第三十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲施工驗(yàn)收規(guī)范規(guī)定柱的最大初始撓度為l/1000討論（1）v與v0成正比，與P是非線性關(guān)系，當(dāng)P=0時(shí)，v=v00；（2）當(dāng)P→PE時(shí)，v→，即以歐拉臨界力為漸進(jìn)線，最大撓度與v0無關(guān)；（3）相同壓力下，初彎曲v0越大，桿的撓度越大。第四十頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲（4）跨中撓度v可理解為逐級(jí)發(fā)展過程（共軛梁法）跨中撓度：

v1引起的附加彎矩產(chǎn)生的撓度：以此類推得總撓度關(guān)系：

括號(hào)內(nèi)為無窮等比級(jí)數(shù)，當(dāng)P/PE<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；得到與前述相同的結(jié)果，

稱為撓度（或彎矩）放大系數(shù)。體現(xiàn)了一階彎矩和二階彎矩的差別，即構(gòu)件本身的二階效應(yīng)，即：

P-δ效應(yīng)。第四十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲（5）上式僅在凹側(cè)應(yīng)力maxfy有效，極限條件是稱邊緣纖維屈服準(zhǔn)則。上式即或令（初始偏心率），得：

解得

上式由Perry在1886年首先提出，故稱為Perry公式，初彎曲桿能承受的最大荷載P=

A。

第四十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲2）初偏心的影響圖示桿件兩端荷載存在初偏心距e0，桿件在彈性階段工作，其內(nèi)、外彎矩的平衡方程為：上式的通解為由邊界條件y(0)=0和y(l)=0得到B=e0和，即：跨中撓度第四十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲

化簡(jiǎn)后得討論（1）v0是P的非線性函數(shù)，當(dāng)P=0時(shí)，

v0=0，但一開始加載桿件即發(fā)生彎曲；（2）v0在加載初期增長(zhǎng)較慢，后隨P的加大而增長(zhǎng)加快，當(dāng)P→PE時(shí)，v→，以歐拉臨界力為漸進(jìn)線；（3）偏心較大時(shí)臨界力明顯低于歐拉臨界力；若偏心很小，則v0在P→PE前都很小。

與初彎曲的影響無本質(zhì)區(qū)別。e0=0.3e0=0.1第四十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲（4）根據(jù)邊緣纖維屈服準(zhǔn)則，構(gòu)件中點(diǎn)截面邊緣纖維的壓應(yīng)力最大值：

即，此時(shí)為初偏心桿的相關(guān)公式。

正割公式第四十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲3）殘余應(yīng)力的影響（1）殘余應(yīng)力對(duì)桿件平均的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響殘余應(yīng)力的存在降低了比例極限；

fy(fp,

y)→fp'(p

)

fp'=

fy-rc有效比例極限對(duì)于中長(zhǎng)柱，當(dāng)屈曲應(yīng)力超過有 效比例極限時(shí)，殘余應(yīng)力將降低 構(gòu)件的抗彎剛度，從而降低其屈 曲荷載。第四十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲（2）軸壓構(gòu)件臨界應(yīng)力cr與λ的關(guān)系（柱子曲線）長(zhǎng)細(xì)比相同時(shí)，初始缺陷越大，臨界承載力越低。第四十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲（3）考慮殘余應(yīng)力的軸心壓桿的屈曲荷載殘余應(yīng)力有一定的分布模式，考慮超過屈服點(diǎn)后，彈性核心繼續(xù)承受荷載，屈服部分退出工作。臨界荷載臨界應(yīng)力

其中Ie/I為臨界荷載或臨界應(yīng)力降低系數(shù)，取決于殘余應(yīng)力的分布、截面形狀和彎曲方向。以軋制H型鋼為例第四十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲k值的求法—短柱試驗(yàn)當(dāng)進(jìn)入彈塑性后，屈服部分退出工作，抵抗應(yīng)變?nèi)繌椥詤^(qū)截面面積Ae承擔(dān)。當(dāng)軸心壓力增量為ΔP時(shí)，平均應(yīng)力增量：Δ=ΔP/A應(yīng)變?cè)隽浚害?ΔP/(AeE)與截面平均應(yīng)力對(duì)應(yīng)的切線模量：由前述H型鋼，所以可以通過短柱試驗(yàn)測(cè)出切線模量，從而得到殘余應(yīng)力影響系數(shù)k。ΔP全部由彈性區(qū)負(fù)擔(dān)說明k值是隨Et變化的，即k是隨平均應(yīng)力變化的。第四十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期三§2

軸心受壓構(gòu)件的彎曲屈曲討論

（以軋制H型鋼為例）

（1）當(dāng)