陜西省榆林市玉林陸川實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

陜西省榆林市玉林陸川實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.類比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)：，，其中，且，下面正確的運(yùn)算公式是①；

②；③2；

④2.A.①②

B.③④

C.①④

D.②③參考答案：B經(jīng)驗(yàn)證，只有③④正確.2.定義兩個(gè)實(shí)數(shù)間的一種新運(yùn)算“*”：.對(duì)任意實(shí)數(shù)給出如下結(jié)論：①；

②；③；其中正確的個(gè)數(shù)是（

）(A)

0

(B)1

(C)2

(D)3參考答案：D略3.設(shè)，且∥，則=A.

B.

C. D.參考答案：D4.計(jì)算：的結(jié)果是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D5.若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．(－1,3)

B．[－1,3]

C．(1.3)

D．[1,3]參考答案：B6.在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中點(diǎn)，AB=4，AC=3，則=(

) A．﹣7 B． C． D．7參考答案：B考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律．專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．分析：在△ABC中，由∠BAC=90°，D是BC中點(diǎn)，AB=4，AC=3，知BC==5，AD=5，故cos＜＞=cos∠ADB=﹣，由此能求出．解答： 解：在△ABC中，∵∠BAC=90°，D是BC中點(diǎn)，AB=4，AC=3，∴BC==5，AD=，cos＜＞=cos∠ADB===﹣，∴=||?||?cos＜＞==﹣．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意余弦定理的合理運(yùn)用．7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與此拋物線相交于，兩點(diǎn)，則（

）A． B．1 C．2 D．4參考答案：A由拋物線y2=8x可得焦點(diǎn)F(2,0)，因此直線y=k(x?2)過(guò)焦點(diǎn)。設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2).，則，|FQ|=x2+2.聯(lián)立.化為k2x2?(8+4k2)x+4k2=0(k≠0).∵△>0，∴.∴.本題選擇A選項(xiàng).8.向量，夾角為，且，，則(A)1.

(B).

(C)3.

(D)2.參考答案：D略9.如果復(fù)數(shù)z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣2或1 B．﹣2 C．1 D．2參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】由復(fù)數(shù)z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i為純虛數(shù)，列出方程組，求解即可得答案．【解答】解：由復(fù)數(shù)z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i為純虛數(shù)，得，解得a=﹣2．∴實(shí)數(shù)a的值為：﹣2．故選：B．10.設(shè)z=1–i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部是A．1

B．－1

C．i

D．－i參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)直線3x+4y﹣5=0與圓C1：x2+y2=9交于A，B兩點(diǎn)，若圓C2的圓心在線段AB上，且圓C2與圓C1相切，切點(diǎn)在圓C1的劣弧AB上，則圓C2半徑的最大值是

．參考答案：2【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】先根據(jù)圓C1的方程找出圓心坐標(biāo)與半徑R的值，找出圓C2的半徑的最大時(shí)的情況：當(dāng)圓c2的圓心Q為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，圓c2與圓C1相切，切點(diǎn)在圓C1的劣弧AB上，設(shè)切點(diǎn)為P，此時(shí)圓C2的半徑r的最大，利用距離公式求出兩圓心的距離OQ等于d，然后根據(jù)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減可得圓C2的半徑最大值．【解答】解：由圓C1：x2+y2=9，可得圓心O（0，0），半徑R=3如圖，當(dāng)圓c2的圓心Q為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，圓c2與圓C1相切，切點(diǎn)在圓C1的劣弧AB上，設(shè)切點(diǎn)為P，此時(shí)圓C2的半徑r的最大．則兩圓心之間的距離OQ=d=．因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，所以圓c2的最大半徑r=3﹣d=3﹣1=2故答案為：212.的值域?yàn)?/p>

；參考答案：

13.若拋物線y2=8x的焦點(diǎn)恰好是雙曲線(a＞0)的右焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)，由題意可得方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為（2，0），雙曲線的右焦點(diǎn)為（，0），由題意可得為=2，解得a=1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查拋物線的焦點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.平面向量的夾角為，________________.參考答案：1略15.兩條漸近線所成的銳角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .參考答案：或16.袋中裝有大小、形狀完全相同的m個(gè)紅球和n個(gè)白球，其中m，n滿足：已知從袋中任取2個(gè)球，取出的2個(gè)球是同色的概率等于取出的2個(gè)球是異色的概率.現(xiàn)從袋中任取2個(gè)球，設(shè)取到紅球的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ的期望=

．參考答案：17.一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上．如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為lcm，那么該棱柱的表面積為

cm2。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(14分)已知數(shù)列滿足，．函數(shù)．（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（III）若，數(shù)列滿足，求證：．參考答案：（I）∵，

∴當(dāng)時(shí)，，∴，即，∴，對(duì)也成立，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．………3分（II），………4分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是；…………5分當(dāng)時(shí)，令，解得，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和，減區(qū)間是；………6分當(dāng)時(shí)，，，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間．………7分綜上所述，當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間．（III）當(dāng)時(shí)，，．由且，故．………8分要證，即證，即證．由（II）得在上單調(diào)遞增，所以，所以，即成立．…………11分要證，由，即證，即證，即證．設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，，從而，即成立．綜上，．………14分19.已知等差數(shù)列{an}滿足a4﹣a2=4，a3=8．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}的前8項(xiàng)和．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（II）利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵a4﹣a2=2d=4，∴d=2．又a3=a1+2d=8，可得a1=4，從而an=2n+2．（Ⅱ）∵，∴數(shù)列{bn}的前8項(xiàng)和為S8==4=1020．20.已知函數(shù)(Ⅰ)若時(shí)，函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求b的取值范圍；(Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)的最小值；(Ⅲ)設(shè)函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于P、Q，過(guò)線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N，問(wèn)是否存在點(diǎn)R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：（1）依題意：∵上是增函數(shù)，∴恒成立，……2分∴∵∴b的取值范圍為………4分（2）設(shè)，即…5分∴當(dāng)上為增函數(shù)，當(dāng)t=1時(shí)，…6分當(dāng)…………7分當(dāng)上為減函數(shù)，當(dāng)t=2時(shí)，……………8分綜上所述，當(dāng)當(dāng)…9分（3）設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為C1在M處的切線斜率為

C-2-在點(diǎn)N處的切線斜率假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則即則，………12分設(shè)…………①令則∵

∴

所以上單調(diào)遞增，故，

則這與①矛盾，假設(shè)不成立,故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.……14分21.（本小題滿分12分）某電視臺(tái)在一次對(duì)收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：

（1）由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)？

（2）用分層抽樣的方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名？

（3）在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率.參考答案：解：(1)有關(guān)，收看新聞節(jié)目的觀眾多為年齡大的.

…………3分（2）應(yīng)抽取的人數(shù)為：(人)……………………6分（3）由（2）知，抽取的5名觀眾中，有2名觀眾的年齡處于20至40歲，3名觀眾的年齡大