經(jīng)典高考立體幾何知識(shí)點(diǎn)和例題(理科學(xué)生用)

PAGEPAGE4高考立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)整體知識(shí)框架：一、空間幾何體（一）空間幾何體的類型1多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。2旋轉(zhuǎn)體：把一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。（二）幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1、棱柱的結(jié)構(gòu)特征1.1棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。圖1-1棱柱1.2棱柱的分類圖1-1棱柱棱柱底面是四邊形四棱柱底面是平行四邊形平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形長(zhǎng)方體底面是正方形正四棱柱棱長(zhǎng)都相等正方體底面是四邊形底面是平行四邊形側(cè)棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形棱長(zhǎng)都相等性質(zhì)：Ⅰ、側(cè)面都是平行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等；Ⅱ、兩底面是全等多邊形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3棱柱的面積和體積公式（是底周長(zhǎng)，是高）S直棱柱表面=c·h+2S底V棱柱=S底·h 2、棱錐的結(jié)構(gòu)特征2.1棱錐的定義（1）棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。（2）正棱錐：如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。2.2正棱錐的結(jié)構(gòu)特征Ⅰ、平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；Ⅱ、正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；ABCDPOH正棱錐側(cè)面積：ABCDPOH體積：（為底面積，為高）正四面體：對(duì)于棱長(zhǎng)為正四面體的問(wèn)題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體問(wèn)題。對(duì)棱間的距離為（正方體的邊長(zhǎng)）正四面體的高（）正四面體的體積為（）正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為（）⑶將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問(wèn)題；⑷注意圓與正方體的兩個(gè)關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對(duì)角線；球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長(zhǎng)。7-4球的面積和體積公式S球面=4πR2(R為球半徑)V球=4/3πR3練習(xí)：1）將直角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體一定是（）A．圓錐B．圓柱C．圓臺(tái)D．上均不正確2）用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是四邊形，這個(gè)幾何體可能是（）A．圓錐B．圓柱C．球體D．以上都可能3）下左一圖是一個(gè)物體的三視圖,根據(jù)圖中尺寸（單位：cm）,計(jì)算它的體積為cm3.二、典型例題分析例1：（幾何體的側(cè)面展開圖）如上左二圖,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是5cm、4cm、3cm，一只螞蟻從到點(diǎn)，沿著表面爬行的最短距離是多少．練習(xí)：1）如上右二圖,四面體P-ABC中,PA=PB=PC=2,APB=BPC=APC=300.一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿四面體的表面繞一周,再回到A點(diǎn),問(wèn)螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程是_________．練習(xí).1）已知一個(gè)幾何體的主視圖及左視圖均是邊長(zhǎng)為2的正三角形,俯視圖是直徑為2的圓,則此幾何體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．（三）空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和圓柱的表面積：圓錐的表面積：圓臺(tái)的表面積：球的表面積：扇形的面積公式（其中表示弧長(zhǎng)，表示半徑，表示弧度）空間幾何體的體積柱體的體積：錐體的體積：臺(tái)體的體積：球體的體積：（四）空間幾何體的三視圖和直觀圖正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖?！锂嬋晥D的原則：主視圖反映了物體的上、下和左、右位置關(guān)系；俯視圖反映了物體的前、后和左、右位置關(guān)系；側(cè)視圖反映了物體的上、下和前、后位置關(guān)系。三個(gè)視圖之間的投影關(guān)系為：正俯長(zhǎng)相等、正側(cè)高相同、俯側(cè)寬一樣注：球的三視圖都是圓；長(zhǎng)方體的三視圖都是矩形直觀圖：斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫水平放置的平面圖形的基本步驟(1)建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐標(biāo)系；(2)畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對(duì)應(yīng)的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平平面；(3)畫對(duì)應(yīng)圖形，在已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x′軸，且長(zhǎng)度保持不變；平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y′軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；(4)擦去輔助線，圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線(虛線)．原視圖與直觀圖的關(guān)系：例1、將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析：如圖所示，點(diǎn)D1的投影為點(diǎn)C1，點(diǎn)D的投影為點(diǎn)C，點(diǎn)A的投影為點(diǎn)B.答案：D練習(xí)：（1）如圖所示為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是（）（2）判斷：①水平放置的正方形的直觀圖可能是等腰梯形②兩條相交的線段的直觀圖可能是平行線段③兩條互相垂直的直線的直觀圖仍然垂直④平行四邊形的直觀圖仍為平行四邊形⑤長(zhǎng)度相等的兩線段直觀圖仍然相等（3）三角形是邊長(zhǎng)為正三角形，求其直觀圖三角形的面積（4）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，求原圖形的周長(zhǎng)和面積(5)如上右圖，用斜二測(cè)畫法作ABC水平放置的直觀圖形得A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1邊上的中線，由圖形可知在ABC中，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．AB=BC=ACB．ADBCC．AC>AD>AB>BCD．AC>AD>AB=BC空間幾何體三視圖（重點(diǎn)）例1如圖所示，某幾何體的正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為 ()A．6eq\r(3) B．9eq\r(3)C．12eq\r(3) D．18eq\r(3)解析：由三視圖可還原幾何體的直觀圖如圖所示．此幾何體可通過(guò)分割和補(bǔ)形的方法拼湊成一個(gè)長(zhǎng)和寬均為3，高為eq\r(3)的長(zhǎng)方體，所求體積V＝3×3×eq\r(3)＝9eq\r(3).答案：B（2）一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．80(3)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．eq\f(9,2)π＋12B．eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42D．36π＋18【答案】（1）C(2)B【解析】(1)由三視圖可知本題所給的是一個(gè)底面為等腰梯形的放倒的直四棱柱(如圖所示)，所以該直四棱柱的表面積為S＝2×eq\f(1,2)×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×eq\r(1＋16)×4＝48＋8eq\r(17).由三視圖可得這個(gè)幾何體是由上面是一個(gè)直徑為3的球，下面是一個(gè)長(zhǎng)、寬都為3、高為2的長(zhǎng)方體所構(gòu)成的幾何體，則其體積為：V＝V1＋V2＝eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＋3×3×2＝eq\f(9,2)π＋18，故選B..【2012高考真題北京理7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（）A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12【答案】B【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長(zhǎng)度，黑色數(shù)字代表通過(guò)勾股定理的計(jì)算得到的邊長(zhǎng)。本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，，，，因此該幾何體表面積，故選B。例題：1.一空間幾何體的三視圖如下右圖所示,則該幾何體的體積為().A.B.C.D.2、上中圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是A.9πB.10πC.11πD．12π3、若一個(gè)正三棱柱的體積為，其三視圖如上左圖所示，則這個(gè)正三棱柱的側(cè)視圖的面積為_______。4.【2012高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（C）A．12πB.45πC.57πD.81π二、典型例題考點(diǎn)一：三視圖22側(cè)(左)視圖222側(cè)(左)視圖222正(主)視圖俯視圖俯視圖第1題2.若某空間幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積是________________.第2題第3題3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，則這個(gè)幾何體的體積為.4．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖4所示，則此幾何體的體積是.33正視圖俯視圖112左視圖a第4題第5題5．如圖5是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是，則.6．已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖6，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是.20 20 20 正視圖20 側(cè)視圖101020 俯視圖第6題第7題7.若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是8.設(shè)某幾何體的三視圖如圖8（尺寸的長(zhǎng)度單位為m），則該幾何體的體積為_________m3。俯視圖俯視圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖2322第7題第8題9．一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為_________________.10.一個(gè)三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖及其尺寸如圖10所示（單位cm），則該三棱柱的表面積為_____________.俯視圖正視圖俯視圖正視圖圖1011.如圖11所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為_____________.圖圖11圖12圖1312.如圖12，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，俯視圖是一個(gè)圓，那么幾何體的側(cè)面積為_____________.13.已知某幾何體的俯視圖是如圖13所示的邊長(zhǎng)為的正方形，主視圖與左視圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，則其表面積是_____________.14.如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖14所示(單位長(zhǎng)度:),則此幾何體的表面積是_____________.圖1415．一個(gè)棱錐的三視圖如圖圖9-3-7，則該棱錐的全面積（單位：）_____________.正視圖左視圖俯視圖圖1二、點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系（一）、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：公理4公理4線線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直三垂線逆定理三垂線定理⑴⑵⑷⑶⑸⑹⑾⑿⒀⒁⑼⑽⒂⒃⑺⑻1.平面的基本性質(zhì)公理1若一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.公理3經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.2.等角定理及其推論定理若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等.推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的角相等.2.空間線面的位置關(guān)系共面平行—沒(méi)有公共點(diǎn)(1)直線與直線相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)異面(既不平行，又不相交)直線在平面內(nèi)—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線和平面直線不在平面內(nèi)平行—沒(méi)有公共點(diǎn)(直線在平面外)相交—有且只有一公共點(diǎn)(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn))平行—沒(méi)有公共點(diǎn)唯一性定理：（1）過(guò)已知點(diǎn)，有且只能作一直線和已知平面垂直。（2）過(guò)已知平面外一點(diǎn)，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）過(guò)兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。1、線線平行的判斷方法：1.中位線、證明平行四邊形、相似邊互相平行（初中的方法）、內(nèi)錯(cuò)角同位角相等、平行公理等2.線面平行的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)3.線面垂直的性質(zhì)：垂直于同一平面的兩直線平行。4.向量法，證明2、線線垂直的判斷：1.勾股定理2.正方形、菱形、圓等特點(diǎn)3.等腰、等邊三角形的中線4.線面垂直和面面垂直的轉(zhuǎn)化補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。3、線面平行的判斷：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。符號(hào)表示：4.線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。5、面面平行的判斷：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。注：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行5、面面平行的性質(zhì)：性質(zhì)定理：1.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。2.兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。★判斷或證明線面平行的方法⑴利用定義(反證法)：，則∥α(用于判斷)；⑵利用判定定理：線線平行線面平行(用于證明)；⑶利用平面的平行：面面平行線面平行(用于證明)；⑷利用垂直于同一條直線的直線和平面平行(用于判斷)。2線面斜交和線面角：∩α=A2.1直線與平面所成的角(簡(jiǎn)稱線面角)：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角θ。圖2-3線面角2.2線面角的范圍：θ∈[0°，90°]注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時(shí)，θ=0°；當(dāng)直線垂直于平面時(shí)，θ=90°圖2-3線面角4、線面垂直的判斷：判定定理如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。5.線面垂直性質(zhì)：（1）若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。即：（2）垂直于同一平面的兩直線平行。即：推論：6、面面垂直的判斷：一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。判定定理：6、面面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，那么在—個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另—個(gè)平面。圖2-10面面垂直性質(zhì)2圖2-10面面垂直性質(zhì)2定義法：若兩面垂直，則這兩個(gè)平面的二面角的平面角為90°；★判斷或證明線面垂直的方法⑴利用定義，用反證法證明。⑵利用判定定理證明。⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。⑷一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則也垂直于另一個(gè)。⑸如果兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面?！?.5三垂線定理及其逆定理圖2-7斜線定理⑴斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的所有線段中，斜線相等則射影相等，斜線越長(zhǎng)則射影越長(zhǎng)，垂線段最短。圖2-7斜線定理如圖：⑵三垂線定理及其逆定理已知PO⊥α，斜線PA在平面α內(nèi)的射影為OA，a是平面α內(nèi)的一條直線。①三垂線定理：若a⊥OA，則a⊥PA。即垂直射影則垂直斜線。②三垂線定理逆定理：若a⊥PA，則a⊥OA。即垂直斜線則垂直射影。圖2-8三垂線定理⑶三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用圖2-8三垂線定理①證明異面直線垂直；②作出和證明二面角的平面角；③作點(diǎn)到線的垂線段。（二）、其他定理：（1）確定平面的條件：①不共線的三點(diǎn)；②直線和直線外一點(diǎn)；③相交直線或平行直線；（5）最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。（6）異面直線的判定：①反證法；②過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。（7）過(guò)已知點(diǎn)與一條直線垂直的直線都在過(guò)這點(diǎn)與這條直線垂直平面內(nèi)。（8）如果—直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)平面的交線?？键c(diǎn)六線面、面面關(guān)系判斷題1．已知直線l、m、平面α、β，且l⊥α，mβ，給出下列四個(gè)命題：（1）α∥β，則l⊥m （2）若l⊥m，則α∥β（3）若α⊥β，則l∥m （4）若l∥m，則α⊥β其中正確的是__________________.2.是空間兩條不同直線，是空間兩條不同平面，下面有四個(gè)命題：①②③④其中真命題的編號(hào)是________（寫出所有真命題的編號(hào)）。5.關(guān)于直線m、n與平面與，有下列四個(gè)命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若且，則；其中真命題的序號(hào)是_________________.練習(xí)1.判斷下面命題的正確的是平行于同一直線的兩平面平行.垂直于同一平面的兩直線平行.平行于同一平面的兩直線平行.垂直于同一直線的兩平面平行.平行于同一平面的兩平面平行.垂直于同一平面的兩平面平行.2空間不重合的三平面可以把空間分成部分,正方體六個(gè)面所在平面把空間分成部分.3若是異面直線,b,c是異面直線,則a,c的位置關(guān)系是（)A.相交,平行或異面B.相交或平行C.異面D.平行或異面4設(shè)b,c表示兩條直線,,表示兩個(gè)平面,下列命題中正確的是A．若b,c∥,則b∥c B．若b,b∥c,則c∥ C．若c∥c⊥,則⊥ D．若c∥⊥則c5設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題正確的是（)A,若,則B,若則C,若,則D,若則6設(shè)是兩條直線,是兩個(gè)平面,則能推出的一個(gè)條件是()A.B.9已知為兩條不同的直線,為兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是（)10已知兩條直線,兩個(gè)平面,給出下面四個(gè)命題：①②③④其中正確命題的序號(hào)是（)A．①③B．②④C．①④D．②③11設(shè)有直線和平面.下列四個(gè)命題中,正確的是()A.若m∥,n∥,則m∥nB.若m,n,m∥,n∥,則∥C.若,m,則mD.若,m,m,則m∥ 12設(shè)是兩個(gè)不同的平面,是一條直線,以下命題正確的是（)A．若則B．若,則C．若,則D．若,則13已知直線和平面,下述推理中正確的有.14如下左圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，=1\*GB3①BM與ED平行；=2\*GB3②CN與BE是異面直線；=3\*GB3③CN與BM成角；=4\*GB3④DM與BN垂直；以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）Ａ．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③Ｂ．=2\*GB3②=4\*GB3④Ｃ．=3\*GB3③=4\*GB3④Ｄ．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④練習(xí)：下左二圖是一個(gè)正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：⑴AB與EF所在直線平行；⑵AB與CD所在直線異面；⑶MN與BF所在直線成60°；⑷MN與CD所在直線垂直；其中正確命題的序號(hào)是________.考點(diǎn)四平行與垂直的證明1.正方體，，E為棱的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：平面；（Ⅲ）求三棱錐的體積．2.已知正方體，是底對(duì)角線的交點(diǎn).求證：(１)C1O∥面；(2)面．3．如圖，矩形所在平面，、分別是和的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若，求證：平面.AFEBAFEBCDMNAD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，N為AE的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD(I)證明平面AMD平面CDE；(II)證明平面CDE；PPDABCOM5．在四棱錐P－ABCD中,側(cè)面PCD是正三角形,且與底面ABCD垂直,已知菱形ABCD中∠ADC＝60°,M是PA的中點(diǎn)，O是DC中點(diǎn).（1）求證：OM//平面PCB；（2）求證:PA⊥CD；（3）求證:平面PAB⊥平面COM.7．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.（1）證明PA//平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD異面直線所成的角，線面角，二面角的求法★★★1．求異面直線所成的角：1.定義法：解題步驟：一找（作）：利用平移法找出異面直線所成的角；（1）可固定一條直線平移另一條與其相交；（2）可將兩條一面直線同時(shí)平移至某一特殊位置。常用中位線平移法二證：證明所找（作）的角就是異面直線所成的角（或其補(bǔ)角）。常需要證明線線平行；三計(jì)算：通過(guò)解三角形，求出異面直線所成的角；2．向量法求異面直線所成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|).2求直線與平面所成的角：關(guān)鍵找“兩足”：垂足與斜足1.定義法：解題步驟：一找：找（作）出斜線與其在平面內(nèi)的射影的夾角（注意三垂線定理的應(yīng)用）；二證：證明所找（作）的角就是直線與平面所成的角（或其補(bǔ)角）（常需證明線面垂直）；三計(jì)算：常通過(guò)解直角三角形，求出線面角。2.向量法：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，a〉|＝eq\f(|n·a|,|n||a|).3求二面角的平面角解題步驟：一找：根據(jù)二面角的平面角的定義，找（作）出二面角的平面角；二證：證明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定義法，三垂線法，垂面法）；三計(jì)算：通過(guò)解三角形，求出二面角的平面角。2.向量法求二面角：求出二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α與β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)；若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).五、距離的求法：（1）點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)、點(diǎn)與線、面間的距離是點(diǎn)到線、面垂足間線段的長(zhǎng)。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計(jì)算。注意：求點(diǎn)到面的距離的方法：①直接法：直接確定點(diǎn)到平面的垂線段長(zhǎng)（垂線段一般在二面角所在的平面上）；②轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離（利用線面平行的性質(zhì)）；③體積法：利用三棱錐體積公式。（2）線線距離：關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：①定義法，關(guān)鍵是確定出的公垂線段；②轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為與過(guò)而平行于的平面之間的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出這個(gè)平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；（3）線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點(diǎn)線間距離常常相互轉(zhuǎn)化；例題：如圖所示,已知正四棱錐S—ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為,底面邊長(zhǎng)為,E是SA的中點(diǎn),則異面直線BE與SC所成角的大小為（）A．90°B．60°C．45°D．30°2正方體中,異面直線和所成的角的度數(shù)是_________________.如圖7，在正方體中，分別是，中點(diǎn)，求異面直線與所成角的角______________.考點(diǎn)二體積、距離、角等問(wèn)題1．正棱錐的高和底面邊長(zhǎng)都縮小原來(lái)的，則它的體積是原來(lái)的______________.2．已知圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面周長(zhǎng)為6π，則它的體積是.3.如圖8所示，已知正四棱錐S—ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成角的大小為_____________.第3題4.如圖9-1-4，在空間四邊形中，,分別是AB、CD的中點(diǎn)，則與所成角的大小為_____________.5．如上右三圖在正三棱柱中，，則直線與平面所成角的正弦值為_______________.6如圖9-3-6，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，對(duì)角線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為_______________.A1CA1CBAB1C1D1DO 圖9-3-6圖9-3-1圖77．如圖9-3-1，已知為等腰直角三角形,為空間一點(diǎn)，且，，，的中點(diǎn)為，則與平面所成的角為8．如圖7，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為__________________.9.一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是4cm，則該球的體積是______________.10．長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且AB=2，AD=，，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是_________________.11.已知點(diǎn)在同一個(gè)球面上，若，則兩點(diǎn)間的球面距離是.12.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點(diǎn)，則直線OP與直線AM所成的角是_________________.13．△ABC的頂點(diǎn)B在平面a內(nèi)，A、C在a的同一側(cè)，AB、BC與a所成的角分別是30°和45°，若AB=3，BC=，AC=5，則AC與a所成的角為_________.14．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為_____________.15．已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，且球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為_________.16.一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為_________.考點(diǎn)五異面直線所成的角，線面角，二面角證明1.如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.求證：（1）平面PAC⊥平面PBD；（2）求PC與平面PBD所成的角；2.如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成角的大小為_____________.5.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，平面ABCD，且PA＝AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面AEC；（3）若，求三棱錐E－ACD的體積；（4）求二面角E－AC－D的大小.立體幾何中的向量方法（理科）例題：如圖，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高為3，底面是邊長(zhǎng)為4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中點(diǎn).EO1OD1C1BEO1OD1C1B1DCBAA1（2）求點(diǎn)E到平面O1BC的距離.解(1）∵OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖）∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=2，OB=2，則A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O1（0，0，3）設(shè)平面O1BC的法向量為=（x，y，z），則⊥，⊥，∴，則z=2，則x=－，y=3，∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）∴cos<，>=，設(shè)O1－BC－D的平面角為α，∴cosα=∴α=60°.故二面角O1－BC－D為60°.（2）設(shè)點(diǎn)E到平面O1BC的距離為d，∵E是O1A的中點(diǎn)，∴=（－，0，），則d=，∴點(diǎn)E到面O1BC的距離等于.ACDOBEyzx例題：如圖，在四面體ABCD中，OACDOBEyzx（1）求證：平面BCD；（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．⑴證明連結(jié)OC，．在中，由已知可得而， 即 ∴平面．(2)解以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為．⑶解設(shè)平面ACD的法向量為則，∴，令得是平面ACD的一個(gè)法向量．又 ∴點(diǎn)E到平面ACD的距離 ．EABCFE1A1B1EABCFE1