新教材2023版高中數(shù)學(xué)習(xí)題課數(shù)列求和學(xué)案北師大版選擇性必修第二冊

習(xí)題課數(shù)列求和[教材要點]要點一分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列．所以求此類數(shù)列的前n項和，即先分別求和，然后再合并，形如：(1){an＋bn}，其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列；(2)an＝fn，n=2k-1，g要點二錯位相減求和法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如________數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的．狀元隨筆在運用錯位相減法求數(shù)列前n項和時要注意四點：①乘數(shù)(式)的選擇；②對q的討論；③兩式相減后(1－q)Sn的構(gòu)成；④兩式相減后成等比數(shù)列的項數(shù)．要點三裂項相消求和法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．裂項相消求和經(jīng)常用到下列拆項公式：(1)1nn+1＝(2)12n-1(3)1n+n+1[基礎(chǔ)自測]1．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝()A．9B．8C．17D．162．1＋11×2+12×3A．99100B．C．9899D．3．已知數(shù)列：112＋214＋318＋…＋n+124.12+34+58題型一分組求和法例1已知數(shù)列{an}構(gòu)成一個新數(shù)列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此數(shù)列是首項為1，公比為13(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.狀元隨筆觀察發(fā)現(xiàn)，新數(shù)列的前n項和恰為an，這樣即可將問題轉(zhuǎn)化為首項為1，公比為13方法歸納,分組轉(zhuǎn)化求和法的應(yīng)用條件和解題步驟：(1)應(yīng)用條件一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列的通項公式相加組成．(2)解題步驟跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{an＋bn}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，求{bn}的前n項和Sn.題型二錯位相減求和法例2已知等比數(shù)列{an}滿足：a1＝12，a1，a2，a3－18成等差數(shù)列，公比q∈(0，(1)求數(shù)列{an}的通項公式．(2)設(shè)bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.變式探究本例中設(shè)cn＝nan，求數(shù)列{an}的前n項和T方法歸納錯位相減法的適用題目及注意事項(1)適用范圍：它主要適用于{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和．(2)注意事項：①利用“錯位相減法”時，在寫出Sn與qSn的表達式時，應(yīng)注意使兩式錯位對齊，以便于作差，正確寫出1－q，Sn的表達式．②利用此法時要注意討論公比q是否等于1的情況．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.題型三裂項相消求和法例3Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知an>0，an2＋2a(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝1anan+1，求數(shù)列{bn方法歸納對于通項公式是分式的一類數(shù)列，在求和時常用“裂項法”．可用待定系數(shù)法對通項公式進行拆項，相消時應(yīng)注意消去項的規(guī)律，即消去哪些項，保留哪些項，常見的拆項公式有：(1)1nn+k＝1k·((2)若{an}為等差數(shù)列，公差為d，則1anan+1＝1跟蹤訓(xùn)練3在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，公差d＝2，Sn為前n項和，求1S1＋1S2＋…＋易錯辨析對錯位相減法掌握不到位致誤例4求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1.解析：(1)當(dāng)x＝1時，Sn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)；(2)當(dāng)x≠1時，Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1①∴xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn②①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝eq\f(1－xn,1－x)－nxn＝eq\f(1＋n·xn＋1－（n＋1）xn,1－x).∴Sn＝eq\f(1＋n·xn＋1－（n＋1）xn,（1－x）2)綜上Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n（n＋1）,2)，x＝1，,\f(1＋n·xn＋1－（n＋1）xn,（1－x）2)，x≠1.))【易錯警示】出錯原因糾錯心得(1)易忽略對x＝1的討論；(2)對錯位相減掌握不到位致誤，往往得到：(1－x)Sn＝eq\f(1－xn,1－x)＋nxn∴Sn＝eq\f(1－nxn＋1＋（n－1）xn,（1－x）2).(1)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列為字母參數(shù)時，應(yīng)對其公比是否為1進行討論．(2)在應(yīng)用錯位相減法時，一定要錯位對齊，并注意觀察未合并項的正負號．[課堂十分鐘]1．?dāng)?shù)列{an}，{bn}滿足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，則{bn}的前10項和為()A．14B．C．34D．2．若數(shù)列{an}的通項公式an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和Sn為()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n2－23．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－6n，則{|an|}的前n項和Tn等于()A．6n－n2B．n2－6n＋18C．6n-n24．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝2n-12n，其前n項和Sn＝3215．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝3(n＋1)an.(1)設(shè)bn＝ann，求證：數(shù)列{bn(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.習(xí)題課數(shù)列求和新知初探·課前預(yù)習(xí)要點二等比要點三(1)1n-1n+1(2)[基礎(chǔ)自測]1．解析：S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.故選A.答案：A2．解析：1＋11×2+＝1＋(1－12)＋(12-13＝1＋1－1100＝199故選B.答案：B3．解析：112＋214＋318＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋1＝n＝nn+12＋1－答案：nn+12＋14．解析：設(shè)Sn＝12+34+則12Sn＝14+38①－②得：12Sn＝12+2＝1＝1＝12＋1－∴Sn＝3－12n-2-答案：3－2n+3題型探究·課堂解透題型一例1解析：(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋13+132＋…(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝321-1＝32n－341-13n＝3跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d.∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，∴d＝－3，∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝－3n＋2.(2)∵數(shù)列{an＋bn}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列．∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，∴bn＝3n－2＋qn－1.∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝n3n-12＋(1＋q＋q2＋…＋qn故當(dāng)q＝1時，Sn＝n3n-12＋當(dāng)q≠1時，Sn＝n3n題型二例2解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＝12因為a1，a2，a3－18成等差數(shù)列，所以2a2＝a1＋a3－18，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝12或q＝32，又因為q∈(0，1)，所以所以an＝1212(2)根據(jù)題意得bn＝nan＝n2Sn＝12+222+12Sn＝122+22作差得12Sn＝12+12Sn＝2－(n＋2)12變式探究解析：由題意知cn＝n·2n所以Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1兩式相減得：－Tn＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝21-2n1-2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Tn＝(n跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)由已知得當(dāng)n≥2時，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22n＋1，an＝22n－1，而a1＝2，符合上式，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①從而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋題型三例3解析：(1)由an2＋2an兩式相減得an+12-an2＋2(an＋1－an即2(an＋1＋an)＝an+12-an2＝(an＋1＋an)(an＋∵an>0，∴an＋1－an＝2，∵a12＋2a1＝4a1∴a1＝－1(舍)或a1＝3，則{an}是首項為3，公差d＝2的等差數(shù)列，∴{an}的通項公式an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(2)∵an＝2n＋1，∴bn＝1anan+1＝∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝1＝1213-1跟蹤訓(xùn)練3解析：∵等差數(shù)列{an}的首項a1＝2，公差d＝2，∴前n項和Sn＝na1＋nn-12d＝2n＋nn-12∴1Sn＝1n2+n∴1S1+1＝1-12+＝1－1n+1＝n[課堂十分鐘]1．解析：依題意bn＝1an＝1n2+3n+2＝1n+1n+2＝1n+1-1n+2，所以{bn}的前10項和為S10故選B.答案：B2．解析：Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝21-2n1-2+n1+2n-故選C.答案：C3．解析：因為由Sn＝n2－6n得{an}是等差數(shù)列，且首項為－5，公差為2.所以an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，n≤3時，an<0，n>3時，an>0，Tn＝6n故選C.答案：C4．解析：an＝2n-12n所以Sn＝n－121-12n1-12＝n－所以n＝6.答案：65．解析：(1)證明：依題意，由nan＋1＝3(n＋1)an，可得an+1n+1＝