2020學(xué)年新人教版必修一542正弦函數(shù)余弦性質(zhì)二課件

聯(lián)系QQ805889734加入百度網(wǎng)盤群3500G一線老師5.4必.2備資料正一鍵弦轉(zhuǎn)函存，數(shù)自動、更余新，弦一勞函永數(shù)逸的性質(zhì)(二)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854無法顯示該圖片。1.正弦、余弦函數(shù)的最值正弦曲線:余弦曲線:可得如下性質(zhì):由正弦、余弦曲線很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集R,值域都是[-1,1].對于正弦函數(shù)y=sin

x,x∈R有:當(dāng)且僅當(dāng)

x=p

+2kπ,k∈Z時,取得最大值1;22對于余弦函數(shù)y=cos

x,x∈R有:當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ,k∈Z時,取得最大值1;當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k+1)π,k∈Z時,取得最小值-1.當(dāng)且僅當(dāng)x=-p

+2kπ,k∈Z時,取得最小值-1.【思考】

(1)正、余弦函數(shù)的定義域、值域各是什么?提示:正弦、余弦函數(shù)的定義域為R,值域為[-1,1].(2)從圖象的變化趨勢來看,正弦、余弦函數(shù)的最大值、最小值點分別處在什么位置?提示:正弦、余弦函數(shù)的最大值、最小值點均處于圖形拐彎的地方.2.正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性2(1)正弦函數(shù)y=sin

x的增區(qū)間為2kp-p,2kp+p

(k∈Z);

2

(k∈Z)

.2減區(qū)間為2kp+p,2kp+3p

2

(2)余弦函數(shù)y=cos

x的增區(qū)間為2kp－p，2kp

(k∈Z);減區(qū)間為2kp，2kp＋p

(k∈Z).【思考】廣到整個定義域呢?2(1)正弦函數(shù)在－p，3p2

上函數(shù)值的變化有什么特點?推提示:觀察圖象可知:當(dāng)x∈－p，p

時,曲線逐漸上升,是增函數(shù),sin

x的值2 2

由-1增大到1;當(dāng)x∈

p，3p

時,曲線逐漸下降,是減函數(shù),sin

x的值

2

2

由1減小到-1.推廣到整個定義域可得y=sin

x是增函數(shù),函數(shù)值由-1增大到1;函數(shù),函數(shù)值由1減小到-1.2

2p當(dāng)x∈

－p＋2kp，p＋2k

(k∈Z)時,正弦函數(shù)2p

2當(dāng)x∈

p＋2kp，3p＋2k

(k∈Z)時,正弦函數(shù)y=sin

x是減(2)余弦函數(shù)在[-π,π]上函數(shù)值的變化有什么特點?推廣到整個定義域呢?提示:觀察圖象可知:當(dāng)x∈[-π,0]時,曲線逐漸上升,是增函數(shù),cos

x的值由-1增大到1;當(dāng)x∈[0,π]時,曲線逐漸下降,是減函數(shù),cos

x的值由

1減小到-1.推廣到整個定義域可得當(dāng)x∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z時,余弦函數(shù)y=cos

x是增函數(shù),函數(shù)值由-1增大到1;當(dāng)x∈[2kπ,(2k+1)π],k∈Z時,余弦函數(shù)y=cosx是減函數(shù),函數(shù)值由1減小到-1.【素養(yǎng)小測】)1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)y=sin

x在(0,π)上是單調(diào)遞增的.

(cos

1>cos

2>cos

3.

(

)(3)函數(shù)y=-

1

sin

x,x∈

0，p

的最大值為0.

(

)2

2

2【解析】(1)×.y=sin

x在

(0，p)

上是單調(diào)遞增的,在(p，p)上是單調(diào)遞減的.2(2)√.y=cos

x在(0,π)上是單調(diào)遞減的,且0<1<2<3<π,所以cos

1>cos

2>cos

3.

2

(3)√.函數(shù)y=-

1

sin

x在x∈0，p

上是單調(diào)遞減的,2故當(dāng)x=0時,y=-1

sin

x取最大值0.22.在下列區(qū)間中,使函數(shù)y=sin

x為增加的是

(

)2

2A．[0，p]C．－p，pB．

p，3p

2 2

D．[p，2p]【解析】選C.根據(jù)正弦曲線可知答案選C.增的是

(

)A.y=sinB.y=sin

xC.y=cos

2xD.y=-cos

2x23.下列函數(shù)中,以π為周期且在區(qū)間(0，p)上是單調(diào)遞【解析】選D.由周期為π,排除A,B.又y=cos

2x易求遞,k∈Z,從而C不正確.2增區(qū)間為2kp-

p,

2k

p類型一 正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性A.y=sinxB.y=cosxC.y=sin2xD.y=cos2xp

2【典例】1.下列函數(shù),在p，

上單調(diào)遞增的是(

)上單調(diào)遞增,則a的取值2.函數(shù)y=cos

x在區(qū)間范圍是

.調(diào)遞增區(qū)間. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號－p，a

4

3.已知函數(shù)f(x)=

2

sin

2x＋p

+1,求函數(shù)f(x)的單【思維·引】1.畫出正弦曲線,余弦曲線,找出答案.上單調(diào)遞減,從而求出a的范圍.2.確定a的范圍:要求y=cos

x在區(qū)間－p，a上單調(diào)遞增,－p，0又因為y=cos

x在區(qū)間 上單調(diào)遞增,在區(qū)間

0，p4遞增區(qū)間.3.確定增區(qū)間:令u=2x+p

即可求y=2

sin

u的單調(diào)p

2≤x≤π,所以【解析】1.選D.因為y=sin

x與y=cos

x在

p，

上都2單調(diào)遞減,所以排除A,B.因為

pπ≤2x≤2π.因為y=sin

2x在2x∈p，2p

內(nèi)不具有單調(diào)性,所以排除C.答案:(-π,0]2.因為y=cos

x在

－p，0

上單調(diào)遞增,在

0，p

上單調(diào)遞減,所以只有-π<a≤0時滿足條件,故a∈(-π,0].43.令u=p+2x,函數(shù)y=

2sin

u的單調(diào)遞增區(qū)間為2

2－p＋2kp，p＋2k

p24,k∈Z,由-p

+2kπ≤2x+p

≤p

+2kπ,k∈Z8所以函數(shù)f(x)=82得-3p

+kπ≤x≤p

+kπ,k∈Z.

4

2

sin

2x＋p

+1的單調(diào)遞增區(qū)間是83p

p－

8

＋kp，

＋kp

,k∈Z.【內(nèi)化·悟】1.怎樣在固定區(qū)間上求三角函數(shù)的單調(diào)性?提示:先畫出三角函數(shù)的圖象,再找出題目給出的區(qū)間,判斷單調(diào)性.2.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵注意什么?提示:求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,先找出子函數(shù)、主函數(shù)、原函數(shù),根據(jù)“同增異減”的原則判斷單調(diào)性.【類題·通】求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,b為常數(shù))的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(1)數(shù)形結(jié)合法:可以借助于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調(diào)區(qū)間,通過解不等式求得.(2)整體代換法:①要把ωx+φ看作一個整體,若ω<0,先用誘導(dǎo)公式將式子變形,將x的系數(shù)化為正;②在A>0,ω>0時,將“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以解得與之單調(diào)性一致的單調(diào)區(qū)間;當(dāng)

A<0,ω>0時同樣方法可以求得與正弦(余弦)函數(shù)單調(diào)性相反的單調(diào)區(qū)間.【習(xí)練·破】的單調(diào)增區(qū)間.

6

求函數(shù)f(x)=2cos

2x－p

是612【解析】令-π+2kπ≤2x-p

≤2kπ,k∈Z,解得-5p+kπ≤x≤p

+kπ,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間1212

12－5p＋kp，p

＋k

(k∈Z).p12

12p答案:

－5p＋kp，p

＋k

(k∈Z)【加練·固】

3

求函數(shù)y=3sin

p－2x

的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】因為y=3sin

p

3－2x

3

=-3sin

2x－p

,

3

所以y=3sin

2x－p

單調(diào)遞增時,

3

y=3sin

p－2x

單調(diào)遞減.(k∈Z).2p+2kπ,即因為函數(shù)y=sin

x在

－p＋2kp，p＋2k

(k∈Z)上單調(diào)遞增,所以-p

+2kπ≤2x-32

22p

≤

p-

p

+kπ≤x≤

5p

+kπ(k∈Z),12

12

3

所以函數(shù)y=3sin

p－2x

的單調(diào)遞減區(qū)間為12

12－

p

＋kp，5p＋k

p類型二 利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小【典例】1.

下列關(guān)系式中正確的是

(

)A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°2.比較下列各組數(shù)的大小.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(2)sin

196°與cos

156°.18

(1)sin

－p

與sin

p

.10

－5

4

(3)cos

－23

p

與cos

－17

p

.【思維·引】先利用誘導(dǎo)公式把角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角,再利用函數(shù)的單調(diào)性比較.【解析】1.選C.cos

10°=sin

80°,sin

168°=sin

12°.sin

80°>sin

12°>sin

11°,即cos

10°>sin

168°>sin

11°.2

10

18

22.(1)

-

p＜-

p

＜－

p

＜p，18

10

所以sin

－

p

>sin

－

p

.(2)sin

196°=sin(180°+16°)=-sin

16°,cos

156°=cos(180°-24°)=-cos

24°=-sin

66°,因為0°<16°<66°<90°,所以sin

16°<sin

66°,從而-sin

16°>-sin

66°,即sin

196°>cos

156°.5

55

54

4

p4

(3)

cos－23

p＝cos

23

p＝cos

4p＋3

p＝cos

3

p，cos－17

p＝cos17

p＝cos

4p＋p

＝cos

.4因為0＜p＜3

p＜p，且y＝cos

x在[0，p]上是減函數(shù)，4

55

454

所以cos

3

p＜cos

p，即cos－23

p＜cos－17

p.【內(nèi)化·悟】1.怎樣利用誘導(dǎo)公式把三角函數(shù)式化簡?提示:利用誘導(dǎo)公式一～六進(jìn)行化簡,大角化小,負(fù)角化正,奇變偶不變,符號看象限.2.利用三角函數(shù)曲線比較大小時,不同名函數(shù)能否比較大小?提示:可以,對于不同名的三角函數(shù)式,運用公式五、六,化為同名三角函數(shù),再比較大小.【類題·通】三角函數(shù)值大小比較的策略(1)利用誘導(dǎo)公式,對于正弦函數(shù)來說,一般將兩個角轉(zhuǎn)2 2

2

2

化到

－p，p或

p，3p

內(nèi);對于余弦函數(shù)來說,一般將兩個角轉(zhuǎn)化到－p，0

或0，p

內(nèi).(2)不同名的函數(shù)化為同名的函數(shù).(3)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),借助正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.【習(xí)練·破】比較下列各組數(shù)的大小..(2)sin

194°與cos

160°.

8

(1)cos

－p

與cos13p

7所以cos

8

8【解析】(1)cos

－p

=cos

p7

7

,cos

13p

=cos

2p－p

7

7=cos

－p

=cos

p

.8

因為0<p

<7p

<π,且y=cos

x在(0,π)上單調(diào)遞減,87

8

7p

>cos

p

,即cos

－p

>cos

13p

.(2)sin

194°=sin

(180°+14°)=-sin

14°,cos

160°=cos(180°-20°)=-cos

20°=-sin

70°.所以sin

70°>sin

14°,即-sin

14°>-sin

70°.故sin

194°>cos

160°.

2

因為0°<14°<70°<90°且y=sin

x在

上

0，單p

調(diào)遞增,【加練·固】已知α,β為銳角三角形的兩個內(nèi)角,則以下結(jié)論正確的是

(

)A.sin

α<sin

β B.cos

α<sin

βC.cos

α<cos

β D.cos

α

>cos

β【解析】選B.因為α,β為銳角三角形的兩個內(nèi)角,所=sin

β.

2

22

2

2

以α+β>p

,α>p

-β,α∈

0，p

,p

-β∈

0，p

,

2

所以cos

α<cos

p－b類型三 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值問題角度1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域問題學(xué)號

3

此時自變量的取值集合為

. 世紀(jì)金榜導(dǎo)【典例】函數(shù)y=3-4cos

2x＋p

的最大值為

,取最小值-1時的自變量x的值.

3

【思維·引】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì),求出當(dāng)cos

2x＋p

答案:733【解析】當(dāng)2x+p

=π+2kπ,k∈Z時,即當(dāng)2x=2p

+2kπ,3所以ymax=3-(-4)=7.

3

k∈Z,當(dāng)x=

p

+kπ,k∈Z時,cos

2x＋p

=-1,px

x

= +

kp,

k

?

Z3【素養(yǎng)·探】求三角函數(shù)的最值時,經(jīng)常利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值;此時計算中要特別注意自變量的有效性.求函數(shù)的最大、最小值及相應(yīng)的x值.

3

3 6

將本例條件改為:y=3-4cos

2x＋p

,x∈

－p，p

,max【解析】因為x∈

－p，p

,所以2x+3 6

33

3

p

∈

－p，2p

,2

3

3

從而-

1

≤cos

2x＋p

≤1.所以當(dāng)cos

2x＋p

=1,3

6即2x+p

=0,x=-p

時,ymin=3-4=-1.

3

23

36當(dāng)cos

2x＋p

=-

1

,即2x+

p

=

2p

,x=

p

時,y =3-4×(-

1

)

=5.2綜上所述,當(dāng)x=-p

時,ymin=-1;當(dāng)x=p

時,ymax=5.6

6x+Bsin

x+C或y=Acos2

x+角度2 形如y=Asin2Bcos

x+C型最值問題【典例】函數(shù)y=cos2

x+2sin

x-2,x∈R的值域為

.【思維·引】先用平方關(guān)系轉(zhuǎn)化,即cos2x=1-sin2x,再將sin

x看作整體,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題.【解析】y=cos2x+2sin

x-2答案:=-sin2x+2sin

x-1=-(sin

x-1)2.因為-1≤sin

x≤1,所以-4≤y≤0,所以函數(shù)y=cos2

x+2sin

x-2,x∈R的值域為

－4,

0

.－4,

0【內(nèi)化·悟】將三角函數(shù)y=asin2x+bsinx+c(a≠0)通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=at2+bt+c問題時,哪些地方易出錯?提示:三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)時,要特別注意①一次項和二次項必須同名;②換元時必須求出新元的取值范圍.角度3 三角函數(shù)在固定區(qū)間上求值域問題域. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號6 6

3

【典例】已知x∈－p，p

,求函數(shù)y=2cos

2x＋p

+1的值3再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的值域.【思維·引】根據(jù)x的范圍,