第十一章動量矩定理

第十一章動量矩定理第一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五第11章質(zhì)點系動量矩定理□動量矩定理□剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程□討論□質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理□剛體平面運(yùn)動微分方程□動量矩第二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五★質(zhì)點動量矩★質(zhì)點系動量矩□動量矩第三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)點對于點O的位矢與質(zhì)點動量叉乘，所得到的矢量稱為質(zhì)點對于點O的動量矩?！鮿恿烤亍|(zhì)點的動量矩動量矩矢量垂直于矢徑r與動量mv所形成的平面，指向按右手法則確定，其大小為：點O稱為矩心。動量矩(momentofmomentum)矢量是定位矢量；質(zhì)點對于點O的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z軸的動量矩。第四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五m1mnmim3m2xzyOviri質(zhì)點系中所有質(zhì)點對于點O的動量矩的矢量和，稱為質(zhì)點系對點O的動量矩?！鮿恿烤亍|(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系對于點O的動量矩矢在通過該點的z軸上的投影等于質(zhì)點系對該軸的動量矩。第五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五★質(zhì)點動量矩定理★質(zhì)點系動量矩定理□動量矩定理第六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五★質(zhì)點動量矩定理質(zhì)點對固定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點上的力對同一點的力矩——質(zhì)點的動量矩定理。第七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五★質(zhì)點系動量矩定理m1mnmim3m2xzyOviriFiFnF1F2設(shè)質(zhì)系內(nèi)有n個質(zhì)點，對于任意質(zhì)點Mi有式中分別為作用于質(zhì)點上的內(nèi)力和外力。求n個方程的矢量和有——作用于系統(tǒng)上的外力系對于O點的主矩式中第八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)點系對于定點O的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在系統(tǒng)上所有外力對于同一點的主矩——質(zhì)點系對于定點的動量矩定理(theoremofthemomentofmomentumofasystemofpatties)。交換左端求和及求導(dǎo)的次序，有m1mnmim3m2xzyOviriFiFnF1F2第九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五★質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系對于定軸的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上的外力主矩在投影軸上的投影(或所有外力在同一軸上投影的代數(shù)和)。#投影形式第十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五★質(zhì)點系動量矩定理#守恒形式

如果外力系對于定點的主矩等于0，則質(zhì)點系對這一點的動量矩守恒(conservationofmomentOfmorrlentulllofsystemofpardc1es)。如果外力系對于定軸之矩等于0，則質(zhì)點系對這一軸的動量矩守恒。第十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五兩個質(zhì)量為m1，m2的重物分別系在繩子的兩端，如圖所示。兩繩分別繞在半徑為，并固結(jié)在一起的兩鼓輪上求：鼓輪的角加速度和軸承的約束力。例題1★質(zhì)點系動量矩定理#應(yīng)用舉例第十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)對O的軸總動量矩應(yīng)用動量矩定理解：設(shè)鼓輪的角速度和角加速度分別為。求軸承的約束反力：討論：若兩鼓輪對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jo，重為W，結(jié)論如何？第十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五例題2★質(zhì)點系動量矩定理#應(yīng)用舉例水平桿AB長為2a,可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)重為P的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，系統(tǒng)繞z軸的角速度為。如某瞬時此細(xì)線拉斷后，桿AC與BD各與鉛垂線成角，如圖所示。不計各桿重量，求這時系統(tǒng)的角速度。第十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五解：系統(tǒng)所受外力有小球的重力及軸承的約束力，這些力對z軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒。即，=常數(shù)開始時系統(tǒng)的動量矩為細(xì)線拉斷后的動量矩為由，有由此求出細(xì)線拉斷后的角速度第十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五（4）象這樣的爬繩比賽能比出誰的力氣大嗎？討論：1．花樣滑冰運(yùn)動員在光滑的冰面上，可做出許多優(yōu)美的動作。試分析運(yùn)動員繞鉛垂軸角速度的變化。2．兩人A、B同時爬繩，設(shè)兩人質(zhì)量相同，不計繩重及摩擦。試討論下面幾種情形（1）A以絕對速度v爬繩，B不爬，問B的絕對速度為多少？（3）在（2）中繩子移動的速度為多少？（2）開始時兩人靜止在同一高度，而后兩人分別以相對于繩子的速度同時爬繩，問誰先到達(dá)頂點？第十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五□剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程★剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程★剛體對軸轉(zhuǎn)動慣量★工程實例★應(yīng)用舉例第十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五——剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量

(momentOfinertia)

★剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程——剛體定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動微分方程(differentialequationsOfrotationofbodywithafixedaxis)

virimiF1F2FnFiyxz第十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五★剛體對軸轉(zhuǎn)動慣量如果剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則上式可寫為積分形式1．簡單形狀的均質(zhì)剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算(1)長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)長桿第十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五2.慣性半徑（或回轉(zhuǎn)半徑）

在工程中，常將轉(zhuǎn)動慣量表示為——m為剛體的質(zhì)量，稱為回轉(zhuǎn)半徑

回轉(zhuǎn)半徑的物理意義為：若將物體的質(zhì)量集中在以為半徑、Oz為對稱軸的細(xì)圓環(huán)上，則轉(zhuǎn)動慣量不變(2)半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)薄圓盤第二十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五形狀簡圖轉(zhuǎn)動慣量慣性半徑體積

細(xì)直桿

圓柱

薄壁圓筒常見均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑第二十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

空心圓柱

薄壁空心球

實心球

第二十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

圓錐體

圓環(huán)

橢圓形薄板

第二十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

立方體

矩形薄板

第二十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五定理：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。即3．轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理（3）過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。（1）兩軸互相平行注意點：（2）其中一軸過質(zhì)心；第二十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五CAlOk例題3扭擺裝置中，圓盤A對通過圓心C的鉛垂軸的轉(zhuǎn)動慣量為JC；彈性桿件OC的長度為l、切變模量為G、橫截面的極慣性矩為IP，桿件的質(zhì)量與圓盤相比可以忽略不計。若不考慮空氣阻力，求：扭擺的扭轉(zhuǎn)振動周期?！飸?yīng)用舉例第二十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五CAlOk將扭擺看作一扭轉(zhuǎn)彈簧，其剛度系數(shù)解：假設(shè)圓盤扭過一任意角度，根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)的變形與扭矩的關(guān)系應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動微分方程扭擺的周期為第二十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五例題4CABOC′A′B′z用于測量圓盤轉(zhuǎn)動慣量的三線擺中，三根長度相等(l)的彈性線，等間距懸掛被測量的圓盤。已知圓盤半徑為R、重量為W。怎樣才能測量出圓盤轉(zhuǎn)動慣量？★應(yīng)用舉例第二十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五例題4★應(yīng)用舉例第二十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五CABOC′A′B′z

解：讓三線擺作微小扭轉(zhuǎn)振動建立振動周期與轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系，通過測量振動周期，就可以測量出圓盤轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓盤繞z軸轉(zhuǎn)過微小角度OABCzC′A′B′FTFTFTWFT圓盤周邊切線方向上的分量第三十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五直升飛機(jī)如果沒有尾翼將發(fā)生什么現(xiàn)象？★工程實例第三十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五？航天器是怎樣實現(xiàn)姿態(tài)控制的★工程實例第三十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五★相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩★相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩定理□質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理

★對定點O與對質(zhì)心C的動量矩之間的關(guān)系第三十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五m1mnm3m2miCxzyOvirx′z′y′★相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩質(zhì)點系中所有質(zhì)點,在以質(zhì)心為原點的平移參考系中，相對運(yùn)動動量對質(zhì)心C之矩的矢量和，稱為質(zhì)點系相對質(zhì)心(平移系)的動量矩。定位矢，作用點在質(zhì)心。第三十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

★對定點O與對質(zhì)心C的動量矩之間的關(guān)系質(zhì)系對于固定點O的矩為圖中C為質(zhì)系的質(zhì)心，有上式中——為質(zhì)系相對質(zhì)心C的動量矩于是得質(zhì)系對定點O的動量矩，等于質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩，與將質(zhì)系的動量集中于質(zhì)心對于定點動量矩的矢量和。第三十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五對時間的相對導(dǎo)數(shù)★相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩定理在動系為平移系的情形下，變矢量的相對導(dǎo)數(shù)等于絕對導(dǎo)數(shù)第三十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)質(zhì)心的定義，(質(zhì)心到平移系原點的位矢)質(zhì)點系相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系上的外力系對質(zhì)心的主矩，這就是質(zhì)點系相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩定理(theoremofmomentofmomentumwithrespecttoacenterofmass)。*

該式與質(zhì)點系相對定點動量矩定理形式相同。*當(dāng)外力對質(zhì)心的主矩為0時，——質(zhì)點系相對質(zhì)心(平移系)動量矩守恒第三十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五□剛體平面運(yùn)動微分方程☆剛體平面運(yùn)動微分方程☆應(yīng)用舉例☆工程實例第三十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五SCxyF2F1FnFiaCS－平面圖形；C－平面圖形的質(zhì)心；

－平面圖形的角速度；

－平面圖形的角加速度；aC

－平面圖形質(zhì)心加速度；Oxyz－定系；Cxyz－動系；xyOF1、F2、…、Fi、…、Fn－力系☆剛體平面運(yùn)動微分方程第三十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五SCxyF2F1FnFiaCxyOmirivir在平移系中，任意質(zhì)點mi對平面圖形質(zhì)心的動量矩為：剛體對平面圖形質(zhì)心的動量矩為：應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理應(yīng)用相對質(zhì)心動量矩定理——剛體平面運(yùn)動微分方程第四十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五？跳遠(yuǎn)運(yùn)動員怎樣使身體在空中不發(fā)生轉(zhuǎn)動☆工程實例第四十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五？跳遠(yuǎn)運(yùn)動員怎樣使身體在空中不發(fā)生轉(zhuǎn)動☆工程實例第四十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五？無論力偶加在哪里，為什么圓盤總是繞著質(zhì)心轉(zhuǎn)動☆工程實例第四十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五？無論力偶加在哪里，為什么圓盤總是繞著質(zhì)心轉(zhuǎn)動☆工程實例第四十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五例題5C

求：1、圓輪滾動到任意位置時，質(zhì)心的加速度；2、圓輪在斜面上不發(fā)生滑動所需要的最小摩擦因數(shù)。CCCCCCC☆應(yīng)用舉例半徑為r的均質(zhì)圓輪，在傾角的斜面上，從靜止開始向下作無滑動的滾動。第四十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

解：受力分析

CW＝mgFN1、圓輪質(zhì)心加速度:W＝mg－圓輪所受重力；F－滑動摩擦力；

FN－斜面約束力。xyxyOFaC根據(jù)平面運(yùn)動微分方程圓輪作平面運(yùn)動，根據(jù)圓輪作純滾動的條件aC=r第四十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五2、圓輪在斜面上不發(fā)生滑動所需要的最小摩擦因數(shù):純滾動時，滑動摩擦力一般小于最大靜摩擦力FNfsCW＝mgFNxyFaC第四十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五例題6R求：1、圓柱體的運(yùn)動微分方程；2、圓槽對圓柱體的約束力；3、微振動周期與運(yùn)動規(guī)律?！顟?yīng)用舉例半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，在半徑為R的剛性圓槽內(nèi)作純滾動。在初始位置，由靜止向下滾動。C第四十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五解：分析圓柱體受力

mg－重力；F－滑動摩擦力；FN－圓槽對圓柱體的約束力。RCs=0s+mgFNF圓柱體作平面運(yùn)動，自由度N＝1，廣義坐標(biāo)，弧坐標(biāo)s與圓柱體質(zhì)心軌跡重合。1、圓柱體的運(yùn)動微分方程C*為瞬心，第四十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五2、圓槽對圓柱體的約束力由第二個運(yùn)動微分方程圓槽對圓柱體的約束力為：——法向力——摩擦力RCs=0s+mgFNF這是大小角度都適用的圓柱體非線性運(yùn)動微分方程。第五十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五3、微振動的周期與運(yùn)動規(guī)律，非線性微分方程線性化線性微分方程的一般解為：A和為待定常數(shù)，由運(yùn)動的初始條件確定。第五十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五例7均質(zhì)細(xì)桿AB，長l，重，兩端分別沿鉛垂墻和水平面滑動，不計摩擦，如圖所示。若桿在鉛垂位置受干擾后，由靜止?fàn)顟B(tài)沿鉛垂面滑下，求桿在任意位置的角加速度?！顟?yīng)用舉例第五十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五例8均質(zhì)實心圓柱體A和薄鐵環(huán)B的質(zhì)量均為m，半徑都等于r，兩者用桿AB鉸接，無滑動地沿斜面滾下，斜面與水平面的夾角為，如圖所示。如桿的質(zhì)量忽略不計，求桿AB的加速度和桿的內(nèi)力?！顟?yīng)用舉例第五十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五例9均質(zhì)圓柱體A和B的質(zhì)量均為m，半徑為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，如圖所示。摩擦不計。求：（1）圓柱體B下落時質(zhì)心的加速度；（2）若在圓柱體A上作用一逆時針轉(zhuǎn)向，矩為M的力偶，試問在什么條件下圓柱體B的質(zhì)心加速度將向上。☆應(yīng)用舉例第五十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五例10均質(zhì)桿AB長l，質(zhì)量為m，用兩根細(xì)繩懸掛如圖所示。設(shè)繩與桿的夾角為且OA=OB，求當(dāng)細(xì)繩OB被突然剪斷時，OA繩的拉力?！顟?yīng)用舉例——突然解除約束問題第五十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五＊突然解除約束問題☆應(yīng)用舉例第五十六頁，共六十頁，編輯于202