第四章無窮級數(shù)

第四章無窮級數(shù)第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五討論無窮級數(shù)的目的→解析函數(shù)的表達(dá)形式復(fù)數(shù)級數(shù)完全等價于實(shí)數(shù)級數(shù)一個復(fù)數(shù)級數(shù)=兩個實(shí)數(shù)級數(shù)的有序組合第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五②若有限，則稱級數(shù)收斂于F，且F是級數(shù)的和，否則稱級數(shù)發(fā)散。4.1復(fù)數(shù)級數(shù)

定義

①復(fù)數(shù)，的無窮級數(shù)

稱為復(fù)數(shù)級數(shù)。③級數(shù)的收斂性＝部分和序列的收斂性第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五級數(shù)收斂的柯西充要條件使對任意正整數(shù)P，有定理當(dāng)P＝1，級數(shù)收斂的必要條件定義

若級數(shù)收斂，則稱絕對收斂。絕對收斂的級數(shù)一定收斂。定理第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五級數(shù)絕對收斂的判別法

比較判別法比值判別法

若，而收斂，則收斂，即絕對收斂。若，而發(fā)散，則發(fā)散。若存在與n無關(guān)的常數(shù)r

，則當(dāng)時，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五若，則級數(shù)收斂，即絕對收斂；若，則級數(shù)發(fā)散。若，則收斂，即絕對收斂；若，則發(fā)散。達(dá)朗貝爾判別法柯西判別法第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)ⅰ改變次序不改變絕對收斂性和級數(shù)的和Fⅱ把絕對收斂級數(shù)拆成若干子級數(shù)，每個子級數(shù)仍絕對收斂。ⅲ兩個絕對收斂級數(shù)之積仍然絕對收斂。第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五②設(shè)在區(qū)域G內(nèi)有定義，對，級數(shù)收斂，則稱級數(shù)在點(diǎn)收斂；反之，若發(fā)散，稱在點(diǎn)發(fā)散。4.2函數(shù)級數(shù)

定義

①各項(xiàng)均為復(fù)變函數(shù)，的無窮級數(shù)

稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五③若級數(shù)在G內(nèi)每一點(diǎn)都收斂，則稱級數(shù)在G內(nèi)逐點(diǎn)收斂，其和函數(shù)F(z)是G內(nèi)的單值函數(shù)。④若e

>0，與z無關(guān)的N(e)，使當(dāng)n>N(e)時，成立，則稱級數(shù)在G內(nèi)一致收斂。第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五魏爾斯特拉斯的M判別法定理若在區(qū)域G內(nèi)，Mk與z

無關(guān)，而

收斂，則在G內(nèi)絕對且一致收斂?！袆e級數(shù)是否一致收斂第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五一致收斂級數(shù)的性質(zhì)ⅰ連續(xù)性若fk(z)在G內(nèi)連續(xù)，級數(shù)在G內(nèi)一致收斂，則其和函數(shù)也在G內(nèi)連續(xù)。ⅲ逐項(xiàng)可導(dǎo)性設(shè)fk(z),(k=1,2,3…)在G上單值解析，在G上一致連續(xù)，則此級數(shù)的和函數(shù)F(z)是G內(nèi)的解析函數(shù)，且求導(dǎo)后在G內(nèi)一致收斂。ⅱ逐項(xiàng)可積性若fk(z)在分段光滑曲線CG上連續(xù)，則對于C上一致收斂級數(shù)可逐項(xiàng)求積分。第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五冪級數(shù)冪級數(shù)是通項(xiàng)為冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。4.4冪級數(shù)冪級數(shù)是解析函數(shù)最重要的表達(dá)形式之一，除了代數(shù)函數(shù)，許多初等函數(shù)和特殊函數(shù)都是用冪級數(shù)定義的。定義

Ci,a為復(fù)常數(shù)。它是一種特殊形式的函數(shù)級數(shù)，也是最基本最常用的一種函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五若級數(shù)在某點(diǎn)z0收斂，則在以a點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)絕對收斂，而在上一致收斂。阿貝爾第一定理（阿貝爾定理）定理證明∵

在z0

收斂∴

（級數(shù)收斂的必要條件）

e>0,d(e),

使當(dāng)z0－0<e時，

∵

q>0，使成立∴

第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)

，即時，

收斂，故

在圓

內(nèi)絕對收斂而當(dāng)時，（與z無關(guān)）常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂故

在圓上一致收斂第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五推論

若級數(shù)在某點(diǎn)z1

處發(fā)散，則在內(nèi)處處發(fā)散。證明反證法假設(shè)在內(nèi)某一點(diǎn)z2處收斂由阿貝爾定理可知，級數(shù)在圓內(nèi)收斂，與假設(shè)矛盾故級數(shù)在內(nèi)處處發(fā)散。第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五冪級數(shù)的收斂點(diǎn)所構(gòu)成的圓內(nèi)區(qū)域稱為冪級數(shù)的收斂圓。收斂圓的半徑稱為收斂半徑R。定義

級數(shù)在內(nèi)絕對收斂，在上一致收斂，在上，斂散性不定。特殊情況：收斂半徑為0——收斂圓退化為一個點(diǎn)，除該點(diǎn)外冪級數(shù)在全平面處處發(fā)散。收斂半徑為∞——收斂圓是全平面，在∞點(diǎn)發(fā)散（除非只有常數(shù)項(xiàng)）。第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五求冪級數(shù)收斂半徑的常用方法

1、根據(jù)柯西判別法當(dāng)，即時，級數(shù)絕對收斂，當(dāng)，即時，級數(shù)發(fā)散。因此，冪級數(shù)的收斂半徑為第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五2、根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法當(dāng)，即時，級數(shù)絕對收斂，當(dāng)，即時，級數(shù)發(fā)散。因此，冪級數(shù)的收斂半徑為若存在則第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五

例題解求級數(shù)的收斂半徑。

收斂圓為

例題解求級數(shù)的收斂半徑。

收斂圓為第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五

例題解已知和的收斂半徑分別為R1和R2，求級數(shù)的收斂半徑。

收斂圓為第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五

例題解求級數(shù)

的收斂半徑。

收斂圓為將奇偶項(xiàng)分開第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五

例題解求級數(shù)

的收斂半徑。

收斂圓為第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五

例題解求級數(shù)

的收斂半徑。

例題解求級數(shù)

的收斂半徑。

收斂圓為級數(shù)

發(fā)散。

第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五定理在收斂圓內(nèi)，冪級數(shù)可以逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)任意次，而收斂半徑不變。證明由一致收斂性質(zhì)可知第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五設(shè)積分后的冪級數(shù)(1)的收斂半徑為Ri，求導(dǎo)后的冪級數(shù)(2)的收斂半徑為Rd。則，對(1)式兩邊求導(dǎo)，必然存在，即所以同理可證一般地，逐項(xiàng)積分后收斂性加強(qiáng)，逐項(xiàng)求導(dǎo)后收斂性減弱。第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五定理若冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)收斂到f(z)，且在收斂圓周上某點(diǎn)z0也收斂，和為S(z0)，則當(dāng)z由收斂圓內(nèi)趨向于z0時，只要保持以z0為頂點(diǎn)，張角為2f<p，f(z)就一定趨向于S(z0)。阿貝爾第二定理第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五4.5含參量的反常積分的解析性定理

設(shè)①f(t,z)是t和z的連續(xù)函數(shù)，t>a，②在上單值解析③在上一致收斂，即，當(dāng)T2>T1>