第六節(jié)空間直角坐標系

第六節(jié)空間直角坐標系第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五空間中點的坐標

如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立適當的坐標系，寫出長方體各頂點的坐標．第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五分析

解答本題可根據長方體的特征，建立適當的空間直角坐標系，然后對特殊點，可直接寫出坐標，對于非特殊點，可找出它在xOy平面上的射影以確定其橫、縱坐標，再找出它在z軸上的射影以確定其豎坐標．第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解

如圖所示，以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系．∵長方體的棱長AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，顯然D(0,0,0)，A在x軸上，∴A(3,0,0)；C在y軸上，∴C(0,5,0)；D1在z軸上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面內，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面內，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面內，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面內的射影為B(3,5,0)，∴B1的橫坐標為3，縱坐標為5.∵B1在z軸上的射影為D1(0,0,4)，∴B1的豎坐標為4，∴B1的坐標為(3,5,4)．第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五規(guī)律總結

(1)建立空間直角坐標系時，應遵循以下原則：①讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內；②充分利用幾何圖形的對稱性．(2)求某點的坐標時，一般先找這一點在某一坐標平面的射影，確定其兩個坐標，再找出它在另一軸上的射影(或者通過它到這個平面的距離加上正負號)，確定第三個坐標．第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五變式訓練1右圖為一個正方體截下的一角P－ABC，|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，建立如圖坐標系，則△ABC的重心G的坐標為________．【解析】

【答案】

第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五空間點的對稱問題

求點A(1,2，－1)關于x軸及坐標平面xOy的對稱點B、C的坐標，以及B、C兩點間的距離．第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五分析

通過點A向x軸及平面xOy作垂線，然后再寫坐標．第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解

過A作AN⊥x軸于N，并延長到點B，使NB＝AN，則A與B關于x軸對稱且B(1，－2,1)．過A作AM⊥xOy交平面于M，并延長到C，使CM＝AM，則A與C關于坐標平面xOy對稱且C(1,2,1)．∴A(1,2，－1)關于x軸的對稱點為B(1，－2,1)，A(1,2，－1)關于坐標平面xOy的對稱點為C(1,2,1)，第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

規(guī)律總結

(1)關于哪條軸對稱，則哪個坐標不變；另兩個坐標變?yōu)樵瓉碜鴺说南喾磾担?2)關于原點對稱，三個坐標都變?yōu)樵鴺说南喾磾担谑摚捕唔?，編輯?023年，星期五變式訓練２

在空間直角坐標系中，點M的坐標是(4,5,6)，則點M關于y軸的對稱點在坐標平面xOz上的射影的坐標為(

)A．(4,0,6)B．(－4,5，－6)C．(－4,0，－6)D．(－4,5,0)第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五【答案】

C【解析】

點關于y軸的對稱點應該是x、z坐標與原坐標互為相反數，y坐標不變，點在平面xOz上的射影應該是x、z坐標不變，y坐標變?yōu)?.第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五空間兩點間的距離公式的簡單應用(12分)如圖所示，已知點A(1,1,0)，對于z軸正半軸上任意一點P，在y軸上是否存在一點B，使得PA⊥AB恒成立？若存在，求出B點的坐標；若不存在，說明理由．第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五分析

假設存在滿足題設條件的點．依據PA⊥AB，得到PA2＋AB2＝PB2；再由兩點間距離公式，得關于待求量的方程；解方程，若有解，則存在，若無解，則不存在．第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解

設P(0,0，c)，B(0，b,0)，對于z軸正半軸上任意一點P，假設在y軸上存在一點B，使得PA⊥AB恒成立，則|PA|2＋|AB|2＝|PB|2，……3分∴[(0－1)2＋(0－1)2＋(c－0)2]＋[(1－0)2＋(1－b)2＋(0－0)2]＝(0－0)2＋(0－b)2＋(c－0)2，………6分即3＋(b－1)2＝b2，…………………8分解得b＝2，…………10分∴存在這樣的點B，當點B坐標為(0,2,0)時，PA⊥AB恒成立…………………12分第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五規(guī)律總結

在空間直角坐標系中，利用距離可以證明垂直問題．此外，用距離還可以解決空間三點共線問題和求簡單的點的軌跡．其核心就是利用兩點間的距離公式，建立等量關系或方程．第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

變式訓練３已知三點A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在實數a，使A、B、C共線？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五【解析】∵|BC|>|AB|，∴若A，B，C三點共線，有|BC|＝|AC|＋|AB|或|AC|＝|BC|＋|AB|，若|BC|＝|AC|＋|AB|，整理得5a2＋18a＋19＝0，此方程無解；若|AC|＝|BC|＋|AB|，整理得5a2＋18a＋19＝0，此方程無解．∴不存在實數a，使A、B、C共線．

第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五1．空間直角坐標系(右手直角坐標系)(1)右手直角坐標系的建立規(guī)則：x軸、y軸、z軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指．(2)已知點的坐標P(x，y，z)作點的方法與步驟：沿x軸正方向(x>0時)或負方向(x<0時)移動|x|個單位，再沿y軸正方向(y>0時)或負方向(y<0時)移動|y|個單位，最后沿z軸正方向(z>0時)或負方向(z<0時)移動|z|個單位，即可作出點．(3)已知點的位置求坐標的方法：過點P作三個平面分別與x軸、y軸、z軸垂直于A，B，C，點A，B，C在x軸、y軸、z軸的坐標分別是a，b，c，則(a，b，c)就是點P的坐標．第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五2．一些特殊點的坐標表示在x，y，z軸上的點分別可以表示為(a,0,0)，(0，b,0)，(0,0，c)．在坐標平面xOy，xOz，yOz內的點分別可以表示為(a，b,0)，(a,0，c)，(0，b，c)．第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五3．關于坐標軸和坐標平面的對稱點的坐標的關系點P(a，b，c)關于x軸的對稱點的坐標為(a，－b，－c)；點P(a，b，c)關于y軸的對稱點的坐標為(－a，b，－c)；點P(a，b，c)關于z軸的對稱點的坐標為(－a，－b，c)；點P(a，b，c)關于坐標平面xOy的對稱點為(a，b，－c)；點P(a，b，c)關于坐標平面xOz的對稱點為(a，－b，c)；點P(a，b，c)關于坐標平面yOz的對稱點為(－a，b，c)；點P(a，b，c)關于原點的對稱點(－a，－b，－c)．第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五4．中點坐標公式已知空間兩點P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，則線段PQ的中點坐標為.5．利用空間兩點間的距離公式，可以解決的幾類問題(1)判斷兩條相交直線是否垂直．(2)判斷空間三點是否共線．(3)得到一些簡單的空間軌跡方程．第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五已知點A(－3，－1,1)，點B(－2,2,3)，在x、y、z軸上分別取點L、M、N，使它們與A、B兩點等距離．第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五錯解

設L點的坐標為(x，y，z)，由題意得LA＝LB.由兩點間的距離公式得：(x＋3)2＋(y＋1)2＋(z－1)2＝(x＋2)2＋(y－2)2＋(z－3)2，即x＋3y＋2z－3＝0，有無數解，故L有無數個位置，同理M、N也有無數個位置．第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五錯解分析

對于坐標軸上點的坐標特征不明確，沒有充分利用坐標軸上點的特征．事實上，設x軸上的點L的坐標為(x,0,0)，由題意可得關于x的一元方程，從而解得x的值．類似可求得點M、N的坐標．第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五正解

設L、M、N的坐標分別為(x,0,0)、(0，y,0)、(0,0，z)．由題意，得：(x＋3)2＋1＋1