廣東省河源市龍川縣重點中學2022-2023學年高二下學期期中考試數學試卷（含答案）

-2023學年廣東省河源市龍川重點中學高二（下）期中數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|log2x＝0}，集合N滿足M∩N＝{1}，則符合條件的集合N可以是（）A．{x|x2＝0} B．{x|2x＝1} C． D．{x|x2+x＝0}2．（5分）已知復數z＝（a+b）﹣（a﹣b）i為純虛數（a，b∈R，i是虛數單位），且|z|＝2，則（）A．a＝1且b＝1 B．a＝1且b＝﹣1 C．a＝1或b＝﹣1 D．b＝1或b＝﹣13．（5分）若圓錐的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的母線與底面所成的角的正弦值為（）A． B． C． D．4．（5分）已知不為常數數列的等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足，且a2是a1和a5的等比中項，則下列正確的是（）A．a3＝5或0 B．an＝n C． D．是公差為2的等差數列5．（5分）將函數y＝sinx的圖象向左平移φ（0≤φ＜2π）個單位后，得到函數y＝sin（x﹣）的圖象，則φ等于（）A． B． C． D．6．（5分）點（0，1）到直線y＝kx﹣1距離的最大值為（）A．1 B． C． D．27．（5分）在一般情況下，過江大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為90千米/小時；研究表明，當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．設當車流密度x＝x0時，車流量（單位時間內通過橋上某觀點的車輛數，單位：輛/小時）f（x）＝x?v（x）可以達到最大．則（）A．x0＝100 B．x0＝120 C．f（x0）＝3000 D．f（x0）＝60008．（5分）已知過點的直線與拋物線C：y2＝2x交于P，Q兩點，點，則△PQG一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．有一個角為60°的三角形 D．面積為定值的三角形二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知a，b∈R且a＞|b|，則下列不等式中一定成立的是（）A． B．a2＞b2 C．lg（a﹣b）＞0 D．a+b＞0（多選）10．（5分）袋中有3個紅球，m個白球，n個黃球．現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數為ξ，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一白的概率也為，則（）A．m＝n﹣1 B．m+n＝4 C．E（ξ）＝1 D．（多選）11．（5分）在平面內，點F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）為兩個定點，動點P滿足，則點P到直線x+y﹣2＝0的距離為d的點恰好有兩個，則d的值可以是（）A．1 B． C． D．4（多選）12．（5分）如圖，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝4，M為AA1的中點，直線B1M與平面ABC的交點為P，則以下結論正確的是（）A．PC⊥BC1 B．直線PC∥平面BMC1 C．在線段BC1上不存在一點Q使得A1Q⊥BC1 D．以A1為球心，為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）函數y＝tanx+x在坐標原點處的切線的斜率為．14．（5分）若，則sin（α﹣π）＝．15．（5分）的展開式的常數項為．16．（5分）將一個三棱臺的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數是．四、解答題：本大題共6個大題，第17題10分，18-22題每題12分，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數列{an}的前n項和為Sn，且a2+a5＝7，_____．請在①Sn+1﹣an＝Sn+1；②an+an+2＝2an+1，且a3＝3；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下列問題．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若bn＝an﹣5，求數列{|bn|}的前m（m≥6，m∈N*）項和Tm．18．（12分）如圖，在體積為2的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且AB⊥BC，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝2．（1）求AD的長；（2）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．19．（12分）在△ABC中，已知內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2（csinC﹣bsinCcosA）＝csinA．（1）求角B的大??；（2）若，求ac的最大值．20．（12分）某茶樓提供了龍井、大紅袍等幾類茶葉供顧客選擇．根據以往銷售統(tǒng)計資料，顧客選擇龍井的概率為0.5，選擇大紅袍但不選擇龍井的概率為0.3，設各顧客選擇茶葉的種類是相互獨立的．（1）求該茶樓的一位顧客至少選擇龍井、大紅袍兩種茶葉中的一種的概率；（2）X表示該茶樓的100位顧客中，龍井、大紅袍兩種茶葉都不選擇的顧客數．求X的數學期望及方差．21．（12分）已知橢圓C：的離心率為，橢圓的左頂點為P，上頂點為Q，O為坐標原點，且△OPQ的面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l與橢圓C交于A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．22．（12分）已知函數f（x）＝ax﹣lnx﹣1．（1）若f（x）≥0恒成立，求a的最小值；（2）證明：+x+lnx﹣1≥0．答案解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【分析】求出集合M和答案選項中的各個集合即可．【解答】解：由log2x＝0解得x＝1，∴M＝{1}，∵{x|x2＝0}＝{0}，{x|2x＝1}＝{0}，{x|＝1}＝{1}，{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}，∴只有C選項的方程才符合題意．故選C．2．【分析】根據已知條件，結合純虛數的定義，以及復數模公式，即可求解．【解答】解：復數z＝（a+b）﹣（a﹣b）i為純虛數，則a+b＝0，故z＝2bi，|z|＝2，則b＝1或b＝﹣1．故選：D．3．【分析】根據題意得出圓錐的母線長等于底面圓的直徑，圓錐的軸截面是等邊三角形，母線與底面所成的角以及角的正弦值．【解答】解：設圓錐的底面圓半徑為r，母線長為l，由題意知，2πr＝πl(wèi)，所以2r＝l，即該圓錐的母線長等于底面圓的直徑，所以圓錐的軸截面為等邊三角形，所以母線與底面所成的角為60°，正弦值為．故選：B．4．【分析】根據等差數列的性質，可得a3＝5，根據a2是a1和a5的等比中項，可得d，從而判斷各選項．【解答】解：∵S5＝＝5a3，，∴，a3＝0或者a3＝5．∵a2是a1和a5的等比中項，∴，∴a3＝0時，d＝0（舍去）A，B錯誤．a3＝5時，（5﹣d）2＝（5﹣2d）（5+2d），解得d＝2，所以an＝2n﹣1，，C正確．＝n，是公差為1的等差數列，D錯誤．故選：C．5．【分析】先根據圖象變換得到平移后的函數y＝sin（x+φ），然后結合誘導公式可得到sin（x+π）＝sin（x﹣），進而可確定答案．【解答】解：將函數y＝sinx向左平移φ（0≤φ＜2π）個單位得到函數y＝sin（x+φ）．根據誘導公式知當φ＝π時有：y＝sin（x+π）＝sin（x﹣）．故選：D．6．【分析】利用點到直線的距離公式直接求解．【解答】解：點（0，1）到直線y＝kx﹣1距離：d＝＝≤2，∴當k＝0時，點（0，1）到直線y＝kx﹣1距離取最大值為2．故選：D．7．【分析】根據條件建立分段函數關系，利用待定系數法求出k，m的值，利用二次函數的最值性質進行求解即可．【解答】解：，則當x＝200時，v（200）＝0，當x＝20時，v（20）＝90，即，解得，故，當0＜x≤20時，f（x）的最大值為x＝20時，f（20）＝1800；當20≤x≤200時，根據二次函數的對稱軸得f（x）的最大值為x0＝100時，f（100）＝5000．故選：A．8．【分析】設P（x1，y1），Q（x2，y2），過點的直線方程為，聯(lián)立方程組可證，進而易判斷A，B，C，可證△PQG的面積不為定值，可判斷D．【解答】解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），過點的直線方程為，將直線方程與拋物線C：y2＝2x聯(lián)立得：y2＝2t（y+1）+5，∴y2﹣2ty﹣2t﹣5＝0，∴y1+y2＝2t，y1y2＝﹣2t﹣5．∵點，∴＝（x1﹣，y1﹣1），＝＝（x2﹣，y2﹣1），∴＝＝＝（y1+1）（y2+1）+4＝y(tǒng)1y2+y1+y2+5＝﹣2t﹣5+2t+5＝0，所以，故B正確．當直線無限接近平行于對稱軸時，顯然|PG|≠|QG|，∴△PQG不一定是等腰三角形，同時∠GPQ無限接近0°，故C不正確；點到直線PQ：的距離為，，＝＝＝不為定值．故D錯誤，故選：B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．【分析】利用舉實例判斷AC，利用不等式的基本性質判斷BD．【解答】解：A，當a＝2，b＝﹣1時，滿足a＞|b|，但＞1不成立，∴錯誤，B，∵a＞|b|，∴a2＞b2，∴正確，C，當a＝2，b＝時，滿足a＞|b|，但lg（a﹣b）＜0，∴錯誤，D，由a＞|b|知，a為絕對值比b大的正數，且a是正數，∴a+b＞0，∴正確．故選：BD．10．【分析】根據取出的兩個都是紅球的概率和取出的兩個是一紅一白的概率列方程組求出m、n的值，再判斷選項中的命題是否正確．【解答】解：取出的兩個都是紅球的概率為＝，即（m+n+3）（m+n+2）＝5×6，解得m+n＝3，選項B錯誤；取出的兩個是一紅一白的概率為＝，化簡得15m＝15，解得m＝1，所以n＝2，所以m＝n﹣1，選項A正確；計算P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝，所以E（ξ）＝0×+1×+2×＝1，選項C正確；由P（ξ＝0）＝，判斷選項D正確．故選：ACD．11．【分析】由已知結合向量數量積的坐標表示可求出P的軌跡方程，然后結合圓的性質可求．【解答】解：設點P（x，y），由得（x+1）（x﹣1）+y2＝1，整理得x2+y2＝2，因為圓心（0，0）到直線x+y﹣2＝0的距離為d＝＝，由幾何意義可知恰好滿足有兩個點符合的距離為d的范圍為．故選：AB．12．【分析】由線面垂直的判定和性質可判斷A；由三角形的中位線定理和線面平行的判定定理可判斷B；由線面垂直的判定和性質可判斷C；求得以A1為球心，為半徑的球被側面BCC1B1截得的小圓為以H為圓心，為半徑的圓，其交線為四分之一的圓弧，計算可判斷D．【解答】解：延長B1M，延長BA，交于點P，連接PC，因為M，A分別為線段A1A和PB的中點，可得PC⊥BC，又B1B⊥平面ABC，而PC?平面ABC，可得B1B⊥PC，又B1B∩BC＝B，可得PC⊥平面B1BCC1，而BC1?平面B1BCC1，可得BC1⊥PC，所以A正確；連結B1C，交BC1于點N，易證得MN是△B1PC的中位線，PC∥MN，PC?平面BMC1，MN?平面BMC1，直線PC∥平面BMC1，所以B正確；取B1C1的中點為H，連結A1H，則A1H⊥平面BCC1B1，欲證A1Q⊥BC1，只需HQ⊥BC1，顯然過H作BC1的垂線即可，所以存在這樣的點Q，所以C錯誤；因為A1H⊥平面BCC1B1，所以以A1為球心，為半徑的球被側面BCC1B1截得的小圓為以H為圓心，為半徑的圓，其交線為四分之一的圓弧，長度為，所以D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【分析】求出原函數的導函數，可得x＝0時的導數值，則答案可求．【解答】解：由y＝tanx+x＝，得y′＝，代入x＝0，得原點處的切線斜率為．故答案為：2．14．【分析】由題意利用誘導公式即可求解．【解答】解：因為，所以，所以．故答案為：﹣．15．【分析】根據多項式乘積的性質分別進行討論求解即可．【解答】解：每個括號內有x4，﹣x，﹣，若的5項式乘積中先選x4，顯然不會超過2項．①，顯然不可能出現(xiàn)的項；②再考慮＝，展開式中，唯有取會出現(xiàn)常數項，為．而，不可能出現(xiàn)常數項．故答案為：30．16．【分析】利用分步計數原理進行計算即可．【解答】解：設在三棱臺ABC﹣DEF中，首先：對A，B，C著色，有5×4×3種；然后：D點可以用B或C點的色，也可以用剩下的兩種色．現(xiàn)分類：①用B或C點的色，對稱性，不妨設用B點的色，則E點有4種色可以選擇，又分為兩類：（1）E與C同色，則F有3種色可選擇；（2）與C不同色，則F有2種色可選擇，共有2×（1×3+3×2，②用剩下的兩種色，則E點有3種色可選擇，又分為兩類：（1）E與C同色，則F有3種色可選擇；（2）與C不同色，則F有2種色可選擇．共有：2×（1×3+2×2）．所以不同的染色方法的總數是5×4×3×[2×（1×3+3×2）+2×（1×3+2×2）]＝1920．故答案為：1920．四、解答題：本大題共6個大題，第17題10分，18-22題每題12分，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【分析】（1）①由已知可得an+1﹣an＝1，可求數列{an}的通項公式；②an+an+2＝2an+1，得an+2﹣an+1＝an+1﹣an，可求數列{an}的通項公式；③由已知可得，可求數列{an}的通項公式；（2）bn＝n﹣5，分n≤5或n＞5兩種情況求數列{|bn|}的前m（m≥6，m∈N*）項和Tm．【解答】解：（1）①Sn+1﹣an＝Sn+1，得Sn+1﹣Sn＝an+1＝an+1，an+1﹣an＝1，所以數列{an}是以1為公差的等差數列，a2+a5＝a1+1+a1+4＝7，解得a1＝1，所以an＝n；②an+an+2＝2an+1，得an+2﹣an+1＝an+1﹣an，依等差數列的定義知數列{an}是等差數列，所以有a3＝a1+2d＝3，a2+a5＝a1+d+a1+4d＝7，解得a1＝d＝1，所以an＝n．③，，兩式相減得：2an+1＝（n+2）an+1﹣（n+1）an，化為nan+1＝（n+1）an，，所以an＝na1，由a2+a5＝7，得2a1+5a1＝7，解得a1＝1，所以an＝n．（2）bn＝an﹣5＝n﹣5，當m≤5時，可得Tm＝|b1|+|b2|+|b3|+|b4|+|bn|＝5﹣1+5﹣2+?+5﹣m＝5m﹣．所以數列{|bn|}的前m（m≥6，m∈N*）項和為10再加上首項為1，公差為1的等差數列的前m﹣5項和，所以（m≥6）．綜上：Tm＝．18．【分析】（1）由三棱錐的體積可求AD的長；（2）以A為坐標原點，AD方向為x軸，AB方向為y軸，AP方向為z軸建立空間直角坐標系．求得平面PAB的一個法向量和平面PCD的一個法向量，利用向量法可求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．【解答】解：（1）由題意，＝，解得AD＝1．（2）如圖，以A為坐標原點，AD方向為x軸，AB方向為y軸，AP方向為z軸建立空間直角坐標系．則C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），，，設平面PCD的一個法向量為，由，得，令x＝2，則y＝﹣1，z＝1，∴平面PCD的一個法向量，∵AD⊥平面PAB，∴取與共線的向量為平面的一個法向量，設平面PAB與平面PCD所成銳二面角為θ，則．19．【分析】（1）由正弦定理得2sinC（sinC﹣sinBcosA）＝sinCsinA，利用三角恒等變換可求B；（2）由正弦定理可求b，進而由余弦定理可得a2+c2＝ac+4，由基本不等式可求ac的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得2sinC（sinC﹣sinBcosA）＝sinCsinA，∴2sinC﹣2sinBcosA＝sinA，由三角形的內角和定理，得2sin（A+B）﹣2sinBcosA＝sinA，所以得2cosBsinA＝sinA，解得，∵B∈（0，π），；（2）若，，由正弦定理得，解得b＝2，由余弦定理得a2+c2﹣2accosB＝b2，∴a2+c2＝ac+4，利用基本不等式可得ac+4≥2ac，所以ac≤4（當且僅當a＝c＝2時，取等號），即ac的最大值為4．20．【分析】（Ⅰ）根據互斥事件的概率和計算即可．（Ⅱ）根據對立事件的概率公式和二項分布，計算數學期望和方差．【解答】解：記A表示事件：該茶樓的一位顧客選擇龍井；B表示事件：該茶樓的一位顧客選擇大紅袍但不選擇龍井；C表示事件：該茶樓的一位顧客至少選擇龍井、大紅袍兩種茶葉中的一種；D表示事件：該茶樓的一位顧客龍井、大紅袍兩種茶葉都不選擇．（Ⅰ）P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，C＝A+B，P（C）＝P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.8．（Ⅱ）D＝，P（D）＝1﹣P（C）＝1﹣0.8＝0.2，X～B（100，0.2），即X服從二項分布，所以期望為E（X）＝100×0.2＝20