高中數(shù)學(xué)4-3-1對(duì)數(shù)的概念（學(xué)案）

4.3.1對(duì)數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)

1理.解對(duì)數(shù)的概念、掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)（重、難點(diǎn)）.1、直觀想象

2.掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，能應(yīng)用對(duì)數(shù)的定義和性質(zhì)解方程（重點(diǎn)）.2、數(shù)學(xué)運(yùn)算

【自主學(xué)習(xí)】

一.對(duì)數(shù)|以“為底

I|N的對(duì)教|—I

（1）指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化及有關(guān)概念:|rffiM—?)

（2）底數(shù)a的范圍是.r

?=N<=>logaN=x

思考1：如何求解3,=2?---[S]-----1

二.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

1.常用對(duì)數(shù)：通常我們將以—為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把logioN記為.

2.自然對(duì)數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以—為底的對(duì)數(shù)稱

為自然對(duì)數(shù)，并把logeN記作.

三.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)

1.負(fù)數(shù)和零對(duì)數(shù).

2.1og?l=（。>0,且分1）.

3.1og“a=（a>0,且存1）.

思考2：為什么零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)?

四.對(duì)數(shù)恒等式

1.』°g“N=m>0且，N>0）.

2]Oga*=3>0,且存1）.

思考3：如何推出對(duì)數(shù)恒等式do&w=N（a>0且存1,N>0）嗎?

解讀：恒等式au,^'=N與logaab=b的作用

]/gn=N的作用在于能把任意一個(gè)正實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為以。為底的指數(shù)形式.

b

2Aogaa=b的作用在于能把以a為底的指數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù).

【小試牛刀】

i.思辨解析(正確的打“q”，錯(cuò)誤的打“X”)

⑴log“N是loga與N的乘積.()

(2)(—2)3=—8可化為log(一2)(—8)=3.()

⑶對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求毒指數(shù).()

(4)在8=10g3(〃2—1)中，實(shí)數(shù)加的取值范圍是(1,+8).()

2.若log3X=3,則*=()

A.1B.3C.9D.27

【經(jīng)典例題】

題型一指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

點(diǎn)撥：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路

1.指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的賽作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式.

2.對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為寤，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式.

例1根據(jù)對(duì)數(shù)定義，將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：

111

_

---

64(4)ln10=x.

272

【跟蹤訓(xùn)練】1將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式:

(1)43=64；(2)lna=b；(3)gJ=〃；(4)lg1000=3.

題型二利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化求變量的值

點(diǎn)撥:1.將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題.

2.利用幕的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計(jì)算.

例2利用指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的互化求下列各式中x的值.

1,

(l)log2X=—2；(2)log、25=2；(3)log5%2=2.

【跟蹤訓(xùn)練】2(1)求下列各式的值.

(T)log981=.②loggl=.③Ine2=.

(2)求下列各式中x的值.

2

①log64X=—亨②log<8=6；③lg100=x；Ine2=x.

題型三對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用

點(diǎn)撥：利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值的方法

1.性質(zhì):log“l(fā)=0;logaa=1(。〉0,且存1).

2.求多重對(duì)數(shù)式的值的解題方法是由內(nèi)到外，如求log“(logbc)的值，先求log/,c的值，再求

lOga(lOgbC)的值.

3.對(duì)數(shù)恒等式/°g"N=N(a>0且存1,N>0),log“/=8(a>0,且爾1).

例3求下列式子值。

log3

(l)22+21og3l-31og77+31n1=.(2)93嘀,=.

【跟蹤訓(xùn)練】3求下列各式中的x的值.

(l)log2(log3X)=0;

(2)10g2[10g3(10g2JC)]=l.

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.(多選)下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()

A.零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)

B.任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式

C.以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)

D.以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)

2.(多選)下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是()

A.10°=1與1g1=0B.27T=；與log27：=—；

C.Iog39=2與/=3D.Iog55=l與51=5

3.對(duì)數(shù)式logs.2)(5—a)=b中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-00,5)B.(2,5)

C.(2,+oo)D.(2,3)U(3,5)

4.方程lg(2x—3)=l的解為.

5.把下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式.

(1)2-3=|；(2)9)=b；(3)lgf500=-3.

6.計(jì)算下列各式:

(1)2lne-*~lgI-|-3loS32?(2)3咋34Tg10+2防］

7.若logo。2—7x+13)=0,求x的值.

【課堂小結(jié)】

1.對(duì)數(shù)概念的理解

⑴規(guī)定a>0且

(2)由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次易都是正數(shù)，所以或=N中，N總是正數(shù),即零和負(fù)數(shù)沒

有對(duì)數(shù).

(3)對(duì)數(shù)概念與指數(shù)概念有關(guān)，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式是互逆的，即〃=N01og“N=b(a>0且。W1,

N〉0),據(jù)此可得兩個(gè)常用恒等式：①log,/=b；②*g，=N.

2.在關(guān)系式〃=N中，已知。和x求N的運(yùn)算稱為求累運(yùn)算，而如果已知a和N求尤的運(yùn)算就

是對(duì)數(shù)運(yùn)算，兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)相同而形式不同，互為逆運(yùn)算.

【參考答案】

【自主學(xué)習(xí)】

一<7>0,且存1

思考1：X=log32.

二.10lg_Neln_N

三.沒有01

思考2：由對(duì)數(shù)的定義：a』N(a>0且存1)，則總有N>0,所以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式x=k)g“N時(shí)，不

存在NW0的情況.

四.N。

思考3：因?yàn)閍x=N,所以x=log"M代入a"=N可得1°&'=乂

【小試牛刀】

l.(l)x(2)x(3)<(4)4

2.C解析：Vlog3x=2,.*.X=32=9.

【經(jīng)典例題】

1_11

例1解：①log3，y=x；②log164=x；③164=2；@er=10.

4

【跟蹤訓(xùn)練】1解(1)因?yàn)?3=64,所以log464=3；

(2)因?yàn)镮na=6,所以e"=a；

(3)因?yàn)椤猲,所以log：〃=m；

⑷因?yàn)?g1000=3,所以l()3=i(x)o.

例2解(1)由log2X=—看得2—T=x,，x=坐

(2)由log\25=2,得f=25.?.3>(),且#1,，x=5.

(3)由logs%2=2,得f=52,.?，X=±5.V52=25>0,(-5)2=25>0,；.x=5或％=—5.

【跟蹤訓(xùn)練】2(1)①2②0③2

解析：①設(shè)log981=x,所以>=設(shè)=92,故x=2,即log981=2；②設(shè)logo_41=x,所以0.4*

=1=0.4°,故x=0,即logo.41=0；③設(shè)Ine~=x,所以&v=e2,故x=2,BPIne^=2.

2--3x(-2]j

(2)解：①由Iog64%=—Q得x=643=4=4*-=—;

②由log、8=6,得3=8,又x>0,即X=84=2%=0；

③由lglOO=x,得10r=100=102,即％=2；

④由一lne2=%，得lne2=-x,所以ei=e2,所以一無=2,即“=-2.

例3(1)0解析：原式=3+2x0—3xl+3xO=O.

4-

(2)4解析：9°S，=(9^)幅4=3啕4=4.

【跟蹤訓(xùn)練】3解(1)因?yàn)閗)g2(log3X)=0,所以10g3X=l,所以x=3.

(2)由Iog2[log3(log吐)]=1得Iog3(log2x)=2,所以k>g2X=32,所以x=29=512.

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.BCD解析：只有符合。>0,且中1,N>0,才有at=NG=log“N,故B錯(cuò)誤.由定義可知

CD均錯(cuò)誤.只有A正確.

1111

2.ABD解析：對(duì)于A,io(>=l=Igl=O,A正確；對(duì)于B,273=-?log-=-i,B正確；

32373

對(duì)于C,log,9=2