測量誤差及其產(chǎn)生的原因

關于測量誤差及其產(chǎn)生的原因1第1頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三2一、觀測誤差當對某觀測量進行觀測，其觀測值與真值(客觀存在或理論值)之差，稱為測量誤差。用數(shù)學式子表達：△i=Li–X(i=1,2…n)L—觀測值X—真值

§5-1

測量誤差概述1、儀器的原因

①儀器結構、制造方面，每一種儀器具有一定的精確度，因而使觀測結果的精確度受到一定限制。二、測量誤差的來源測量誤差產(chǎn)生的原因很多，但概括起來主要有以下三個方面：第2頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三3

例如：

DJ6型光學經(jīng)緯儀基本分劃為1′，難以確保分以下估讀值完全準確無誤。使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，難以保證厘米以下估讀值的準確性。

②儀器構造本身也有一定誤差。例如：水準儀的視準軸與水準軸不平行，則測量結果中含有i角誤差或交叉誤差。水準尺的分劃不均勻，必然產(chǎn)生水準尺的分劃誤差。第3頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三4

2、人的原因

觀測者感官鑒別能力有一定的局限性。觀測者的習慣因素、工作態(tài)度、技術熟練程度等也會給觀測者成果帶來不同程度的影響。

人、儀器和外界環(huán)境通常稱為觀測條件；觀測條件相同的各次觀測稱為等精度觀測；觀測條件不相同的各次觀測稱為不等精度觀測。3、外界條件

例如：外界環(huán)境如溫度、濕度、風力、大氣折光等因素的變化，均使觀測結果產(chǎn)生誤差。

例如：溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮陽光曝曬使水準氣泡偏移，大氣折光使望遠鏡的瞄準產(chǎn)生偏差，風力過大使儀器安置不穩(wěn)定等。第4頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三5三、測量誤差的分類

先作兩個前提假設：①觀測條件相同.②對某一量進行一系列的直接觀測在此基礎上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值、符號及變化規(guī)律。第5頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三6

先看兩個實例：例1：用名義長度為30米而實際長度為30.04米的鋼尺量距。丈量結果見下表5-1：

表5-1

尺段數(shù)

一二三四五···N觀測值306090120150···30n真實長度30.0460.0890.12120.16150.20···30.04n真誤差-0.04-0.08-0.12-0.16-0.20···-0.04n可以看出：

誤差符號始終不變，具有規(guī)律性。誤差大小與所量直線成正比，具有累積性。誤差對觀測結果的危害性很大。第6頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三7例2：

在厘米分劃的水準尺上估讀毫米時，有時估讀過大，有時估過小，每次估讀也不可能絕對相等，其影響大小，純屬偶然。大氣折光使望遠鏡中目標成像不穩(wěn)定，則瞄準目標有時偏左、有時偏右?？梢钥闯觯孩購膫€別誤差來考察，其符號、數(shù)值始終變化，無任何規(guī)律性。②多次重復觀測，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。第7頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三81.系統(tǒng)誤差

----在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。系統(tǒng)誤差具有規(guī)律性。2.偶然誤差---在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差”。個別偶然誤差雖無規(guī)律，但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律。3.粗差----觀測中的錯誤叫粗差。例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標等。錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結果中不允許有錯誤。一旦發(fā)現(xiàn)，應及時更正或重測。引進如下概念：第8頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三9(二)測量誤差的處理原則在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時產(chǎn)生。系統(tǒng)誤差對觀測結果的影響尤為顯著，應盡可能地加以改正、抵消或削弱。對可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時間的多次觀測，消弱其影響。消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法：①檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。②求改正數(shù)：將觀測值加以改正，消除其影響。③采用合理的觀測方法：如對向觀測。研究偶然誤差是測量學的重要課題。消除或削弱偶然誤差的有效方法：①適當提高儀器等級。②進行多余觀測，求最或是值。第9頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三10

四、偶然誤差的特性

若△i=Li–

X（i=1,2,3,···,358）表5-2第10頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三11從表5-2中可以歸納出偶然誤差的特性⑴在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；⑵絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率??；⑶絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的頻率；

⑷當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零。

用公式表示為：實踐表明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而且，當觀測的個數(shù)愈大時，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。第11頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三12-24-21-18-16-12-9-6–30+3+6+9+12+15+18+21+24x=△

圖5-1頻率直方圖

為了直觀地表示偶然誤差的正負和大小的分布情況，可以按表5-2的數(shù)據(jù)作誤差頻率直方圖(見下圖)。第12頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三13

若誤差的個數(shù)無限增大(n→∞)，同時又無限縮小誤差的區(qū)間d△，則圖5-1中各小長條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為“正態(tài)分布曲線”，它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率P。即當n→∞時，上述誤差區(qū)間內誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式為:

(5-3)

為標準差，標準差的平方為方差。方差為偶然誤差平方的理論平均值：第13頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三14正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式為:

(5-3)

第14頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三15從5-3式可以看出正態(tài)分布具有前述的偶然誤差特性。即:

1.f(△)是偶函數(shù)。即絕對值相等的正誤差與負誤差求得的f(△)相等，所以曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。

2.△愈小，f(△)愈大。當△=0時，f(△)有最大值;反之，△愈大，f(△)愈小。當n→±∞時，f(△)→0,這就是偶然誤差的第一和第二特性。

3.如果求f(△)二階導數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐點橫坐標：△拐=±

如果求f(△)在區(qū)間±的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內的相對次數(shù)是某個定值，所以當愈小時，曲線將愈陡峭，即誤差分布比較密集；當愈大時，曲線將愈平緩，即誤差分布比較分散。由此可見，參數(shù)的值表征了誤差擴散的特征。第15頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三16f(△)+σ-σ111√2πσ1△-σ+σf(△)△2+σ-σ2√2πσ12√2πσ1第16頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三17觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù)；觀測條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù)；具有較小的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側以較陡的趨勢迅速下降；具有較大的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側以較平緩的趨勢伸展。最大縱坐標點：第17頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三18§5-2衡量觀測值精度的標準一.中誤差誤差△的概率密度函數(shù)為：標準差

在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述誤差公式：

①標準差σ中誤差m的不同在于觀測個數(shù)n上；②標準差表征了一組同精度觀測在(n→∞)時誤差分布的擴散特征，即理論上的觀測指標；③而中誤差則是一組同精度觀測在為n有限個數(shù)時求得的觀測精度指標；④所以中誤差是標準差的近似值估值；⑤隨著n的增大，m將趨近于σ。第18頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三19必須指出：

同精度觀測值對應著同一個誤差分布，即對應著同一個標準差，而標準差的估計值即為中誤差。

同精度觀測值具有相同的中誤差。例3:

設對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進行了10次觀測，求得每次觀測所得的三角形內角和的真誤差為

第一組：+3″,-2″,-4″,+2″,0″,-4″,+3″,+2″,-3″,-1″；第二組：0″,-1″,-7″,+2″,+1″,+1″,-8″,0″,+3″,-1″.

試求這兩組觀測值的中誤差。由

解得：m1=±2.7″m2=±3.6″

可見：第一組的觀測精度較第二組觀測精度高。第19頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三20二、容許誤差（極限誤差）

根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d△中的概率：

p(△)=f(△)·d△設以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為：

分別以k=1,2,3代入上式，可得：

P(︱△︱≤m)=0.683=68.3℅P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅

由此可見：偶然誤差的絕對值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5℅，而大于3倍的誤差僅占誤差總數(shù)的0.3℅。由于一般情況下測量次數(shù)有限，3倍中誤差很少遇到，故以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“容許誤差”，或稱為“限差”即△容=2m第20頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三21三、相對誤差

在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質量。例如:用鋼卷尺量200米和40米兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，但不能認為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關。為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質量。即m/L來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。

相對中誤差又可要求寫成分子為1的分式，即。上例為K1=m1/L1=1/10000,K2=m2/L2=1/2000

可見:前者的精度比后者高。

與相對誤差相對應，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對誤差。第21頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三22§5-3算術平均值及其中誤差

設在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次出該未知量的最或然值。，觀測值為L1、L2……Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這n個觀測值確定

設未知量的真值為X，寫出觀測值的真誤差公式為?i=Li-X(i=1,2…n)將上式相加得或故一、觀測值的算術平均值第22頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三23

設以x表示上式右邊第一項的觀測值的算術平均值，即以?X表示算術平均值的真誤差，即代入上式，則得由偶然誤差第四特性知道，當觀測次數(shù)無限增多時，?x趨近于零，即:也就是說，n趨近無窮大時，算術平均值即為真值。第23頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三24

現(xiàn)在來推導算術平均值的中誤差公式。因為式中，1／n為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設其中誤差均為m?，F(xiàn)以mx表示算術平均值的中誤差，則可得算術平均值的中誤差為故

該式即算術平均值的中誤差公式。

二、算術平均值的中誤差公式第24頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三25

三、同精度觀測值的中誤差

同精度觀測值中誤差的計算公式為而這是利用觀測值真誤差求觀測值中誤差的定義公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真誤差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求觀測值的中誤差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和觀測值的差數(shù)也可以求得，即第25頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三26因n為有限值，故在實用上可以用x的中誤差近似地代替x的真誤差，即為用改正數(shù)來求觀測值中誤差的公式，稱為白塞爾公式。用改正數(shù)計算最或然值中誤差的公式為第26頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三27

§5-4誤差傳播定律

在實際工作中有許多未知量不能直接觀測而求其值，需要由觀測值間接計算出來。例如某未知點B的高程HB，是由起始點A的高程HA加上從A點到B點間進行了若干站水準測量而得來的觀測高差h1……h(huán)n求和得出的。這時未知點B的高程H。是各獨立觀測值的函數(shù)。那么如何根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)的中誤差呢？

闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關系的定律，稱為誤差傳播定律。第27頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三28

一、倍數(shù)的函數(shù)設有函數(shù)：

Z為觀測值的函數(shù)，K為常數(shù)，X為觀測值，已知其中誤差為mx，求Z的中誤差mZ。設x和z的真誤差分別為△x和△z則：若對x共觀測了n次，則：將上式平方，得：求和，并除以n，得第28頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三29

即，觀測值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘常數(shù)。因為：所以：第29頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三30

例：在1：500比例尺地形圖上，量得A、B兩點間的距離SAB=23.4mm，其中誤差msab=土0.2mm，求A、B間的實地距離SAB及其中誤差msAB。解：由題意：

SAB=500×Sab=500×23.4=11700mm=11.7mmSAB＝500×mSab＝500×（士0.2）

=土100mm＝土0.1m

最后答案為：SAB=11.7m士0.1m第30頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三31

二、和或差的函數(shù)設有函數(shù)：

Z為x、y的和或差的函數(shù)，x、y為獨立觀測值，已知其中誤差為mx、my，求Z的中誤差mZ。設x、y和z的真誤差分別為△x、△y和△z則

若對x、y均觀測了n次，則將上式平方，得第31頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三32

由于Δx、Δy均為偶然誤差，其符號為正或負的機會相同，因為Δx、Δy為獨立誤差，它們出現(xiàn)的正、負號互不相關，所以其乘積ΔxΔy也具有正負機會相同的性質，在求［ΔxΔy］時其正值與負值有互相抵消的可能；當n愈大時，上式中最后一項［ΔxΔy］/n將趨近于零，即求和，并除以n，得

第32頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三33

將滿足上式的誤差Δx、Δy稱為互相獨立的誤差，簡稱獨立誤差，相應的觀測值稱為獨立觀測值。對于獨立觀測值來說，即使n是有限量，由于式殘存的值不大，一般就忽視它的影響。根據(jù)中誤差定義，得

即，兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差的平方之和。第33頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三34

當z是一組觀測值X1、X2…Xn代數(shù)和（差）的函數(shù)時，即可以得出函數(shù)Z的中誤差平方為：

式中mxi是觀測值xi的中誤差。即，n個觀測值代數(shù)和（差）的中誤差平方，等于n個觀測值中誤差平方之和。第34頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三35

當諸觀測值xi為同精度觀測值時，設其中誤差為m，即mx1=mx2=mxn=m則為這就是說，在同精度觀測時，觀測值代數(shù)和（差）的中誤差，與觀測值個數(shù)n的平方根成正比。例設用長為L的卷尺量距，共丈量了n個尺段，已知每尺段量距的中誤差都為m，求全長S的中誤差ms。解：因為全長S=L＋L＋……＋L（式中共有n個L）。而L的中誤差為m。

量距的中誤差與丈量段數(shù)n的平方根成正比。第35頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三36

例如以30m長的鋼尺丈量90m的距離，當每尺段量距的中誤差為±5mm時，全長的中誤差為第36頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三37

當使用量距的鋼尺長度相等，每尺段的量距中誤差都為mL，則每公里長度的量距中誤差mKm也是相等的。當對長度為S公里的距離丈量時，全長的真誤差將是S個一公里丈量真誤差的代數(shù)和，于是S公里的中誤差為式中，S的單位是公里。即：在距離丈量中，距離S的量距中誤差與長度S的平方根成正比。第37頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三38

例:為了求得A、B兩水準點間的高差，今自A點開始進行水準測量，經(jīng)n站后測完。已知每站高差的中誤差均為m站，求A、B兩點間高差的中誤差。解：因為A、B兩點間高差hAB等于各站的觀測高差hi（i=l，2…n）之和，即:hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn

則即水準測量高差的中誤差，與測站數(shù)n的平方根成正比。第38頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三39

在不同的水準路線上，即使兩點間的路線長度相同，設站數(shù)不同時，則兩點間高差的中誤差也不同。但是，當水準路線通過平坦地區(qū)時，每公里的水準測量高差的中誤差可以認為相同，設為mkm。當A、B兩點間的水準路線為S公里時，A、B點間高差的中誤差為即，水準測量高差的中誤差與距離S的平方根成正比?；虻?9頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三40

在水準測量作業(yè)時，對于地形起伏不大的地區(qū)或平坦地區(qū)，可用式計算高差的中誤差；對于起伏較大的地區(qū)，則用式計算高差的中誤差。

例如，已知用某種儀器，按某種操作方法進行水準測量時，每公里高差的中誤差為±20mm，則按這種水準測量進行了25km后，測得高差的中誤差為第40頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三41三、線性函數(shù)設有線性函數(shù)：則有

例設有線性函救觀測量的中誤差分別為，求Z的中誤差第41頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三42四、一般函數(shù)

式中xi(i=1，2…n)為獨立觀測值，已知其中誤差為mi(i=12…n)，求z的中誤差。當xi具有真誤差Δ時，函數(shù)Z相應地產(chǎn)生真誤差Δz。這些真誤差都是一個小值，由數(shù)學分析可知，變量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關系，可以近似地用函數(shù)的全微分來表達。第42頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三43式中（i=l，2…n）是函數(shù)對各個變量所取的偏導數(shù)，以觀測值代人所算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)可為：第43頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三44

例設有某函數(shù)z=S·sinα

式中S=150.11m，其中誤差ms=士005m；α=119°45′00″，其中誤差mα=20.6″；求z的中誤差mz。解：因為z=S·sinα，所以z是S及a的一般函數(shù)。第44頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三45求觀測值函數(shù)的精度時，可歸納為如下三步：

1）按問題的要求寫出函數(shù)式：

2）對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測值真誤差之間的關系式：式中，是用觀測值代入求得的值。

3）寫出函數(shù)中誤差與觀測值中誤差之間的關系式：

第45頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三46例如，設有函數(shù)z=x＋y，而y=3x，此時，。因為x與y不是獨立觀測值，因為不論n值多少，恒有因此，應把Z化成獨立觀測值的函數(shù)，即z=x+3x=4x上式中X與3X兩項是由同一個觀測值X組成的，必須先并項為z=4x而后求其中誤差，即mz=4mx第46頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三47

§5-5廣義算術平均值及權

如果對某個未知量進行n次同精度觀測，則其最或然值即為n次觀測量的算術平均值：一、廣義算術平均值第47頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三48在相同條件下對某段長度進行兩組丈量：第一組：第二組：

算術平均值分別為第48頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三49其中誤差分別為：第49頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三50全部同精度觀測值的最或然值為：第50頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三51在值的大小體現(xiàn)了中比重的大小，稱為的權。令第51頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三52若有不同精度觀測值其權分別為該量的最或然值可擴充為：稱之為廣義算術平均值（加權平均值）。第52頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三53當各觀測值精度相同時第53頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三54二、權定權的基本公式：稱為中誤差，為單位權觀測值，當觀測值稱為單位權，單位權中誤差。第54頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三55權的特性1反映了觀測值的相互精度關系。

3

不在乎權本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關系。值的大小，對X值毫無影響。2第55頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三564若同類量的觀測值，此時，權無單位。若是不同類量的觀測值，權是否有單位不能一概而論，而視具體情況而定。第56頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三57例：已知的中誤差分別為：設若設第57頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三581水準路線觀測高差的權例：常用定權公式第58頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三59

當各測站觀測高差的精度相同時，水準路線觀測高差的權與測站數(shù)成反比。四條水準路線分別觀測了3,4,6,5測站。第59頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三60令c=3,令c=4,第60頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三61

水準路線的長分別為設每公里水準測量觀測的中誤差為第61頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三62

當每公里水準測量的精度相同時，水準路線觀測的權與路線長度成反比。第62頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三63當S=c=10公里的水準路線的觀測高差為單位權觀測。每測站觀測高差精度相同時：每公里觀測高差精度相同時：第63頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三64例對某角作三組同精度觀測：第一組測4測回，算術平均值為

第二組測6測回，算術平均值為

第三組測8測回，算術平均值為

三、不同個數(shù)的同精度觀測值求得的算術平均值的權。第64頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三65由不同個數(shù)的同精度觀測值求得的算術平均值，其權與觀測值個數(shù)成正比。第65頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三66令第66頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三67§5-6單位權中誤差的計算公式

在同精度觀測中，觀測值的精度是相同的，因此可用來計算觀測值的中誤差。在不同精度觀測中，每個觀測值的精度不同，就必須先求出單位權中誤差μ，然后根據(jù)

求出各觀測值的中誤差。以推導計算單位權中誤差的公式為第67頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三68

§5-7由真誤差計算中誤差對于一組同精度或不同精度觀測值來說，如果已經(jīng)知道它們的真誤差，則可按式計算觀測值的中誤差；用式計算單位權中誤差。第68頁，講稿共77頁，2023年5月2日，星期三69一、由三角形閉合差求測角中誤差上式就是由三角形閉合差計算的測角中誤差的公式，名