冪的運(yùn)算八大題型（人教版）（解析版）

專題14.1寨的運(yùn)算【八大題型】

【人教版】

【題型1基的基本運(yùn)算】.......................................................................1

【題型2幕的運(yùn)算法則逆用（比較大?。?.....................................................2

【題型3幕的運(yùn)算法則逆用（求代數(shù)式的值）】..................................................4

【題型4幕的運(yùn)算法則逆用（整體代入）】......................................................5

【題型5塞的運(yùn)算法則逆用（求參）】...........................................................6

【題型6基的運(yùn)算法則逆用（代數(shù)式的表示）】..................................................8

【題型7塞的運(yùn)算法則（混合運(yùn)算）】..........................................................10

【題型8基的運(yùn)算法則（新定義問題）】........................................................13

二

【知識點(diǎn)1幕的運(yùn)算】

①同底數(shù)塞的乘法：am?a』am+n。同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

②塞的乘方：（am）n=am%幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

③積的乘方：（ab）n=anb%積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘。

④同底數(shù)塞的除法：am+a『am-n。同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

任何不等于0的數(shù)的0次第都等于1。

【題型1哥的基本運(yùn)算】

【例1】（2022?谷城縣二模）下列各選項(xiàng)中計(jì)算正確的是（）

A.nrn-n=n2B.2（-ab2）'=-2a3b6

C.淄=川D.漿=x3y

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)得出結(jié)論即可.

【解答】解：A.m2n-n=n（w2-1）,故A選項(xiàng)不符合題意；

B.2（-/）3=_2a3陰,故3選項(xiàng)符合題意；

C.（-w）故C選項(xiàng)不符合題意；

D善=/y,故。選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【變式1-1］（2022秋?南陵縣期末）（卷）2。。5、（2|）2。。4=（）

A.1B.卷C.2|D.舄嚴(yán)3

【分析】根據(jù)/?.,=（孫）"，進(jìn)行運(yùn)算即可.

【解答】解：原式=*x當(dāng)）2004x^

5

12

故選：B.

【變式1-2］（2022秋?孝南區(qū)月考）計(jì)算/〃+3"+一（V）2.（-f）2的結(jié)果是（）

A-j^7m+n+\Bx^nt+n+*C廠〃+lQ丁〃?+〃+1

【分析】利用同底數(shù)事的乘法運(yùn)算、幕的乘方以及同底數(shù)事的除法的知識求解即可求得答案.

【解答】解：/"+3"+一（?）2.-嚴(yán)）2—15，〃+3〃+1二/〃?/，〃二丁〃計(jì)3〃+1-2”+2，“一17"?+”+1

故選：B.

【變式1-3］（2022秋?溫江區(qū)校級期末）下列等式中正確的個(gè)數(shù)是（）

①。5+。5=?。虎冢?a）6.（_②3.q=aio；③--a）5=清；@25+25=26.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【分析】①和④利用合并同類項(xiàng)來做；②③都是利用同底數(shù)基的乘法運(yùn)算法則做（注意一個(gè)負(fù)數(shù)的偶次

幕是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)）.

【解答】解：①???/+,戶=2〃，故①的答案不正確；

②???（-a）6?（-a）3.〃=-小故②的答案不正確；

③???-/.（-a）5="\故③的答案不正確；

④25+25=2X25=26.故④的答案正確；

所以正確的個(gè)數(shù)是1,

故選：B.

【題型2幕的運(yùn)算法則逆用（比較大?。?/p>

【例2】（2022春?宣城期末）已知。=8產(chǎn)，。=273c=961,則“、b、c的大小關(guān)系是（）

A.a>h>cB.h>a>cC,h>c>aD.a>c>h

【分析】將人匕、c轉(zhuǎn)化為同底數(shù)形式，即可比較大小.

【解答】解：*=8131=（34）3,=3124；

。=27第=（33）4,=3123；

c=961=(32)61=3122：

A3124>3123>3122>

即a>b>c.

故選：A.

【變式2-1](2022春?晉州市期中)閱讀：已知正整數(shù)mh,c,若對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)事/和

a，(a￥l),當(dāng)匕>c時(shí)，則有M>“,；若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)幕Q和沙，當(dāng)a>c時(shí)，則有射

>心，根據(jù)上述材料，回答下列問題.

(1)比較大?。?20>420,961<274'；(填或“=")

(2)比較233與3z2的大小;

(3)比較3以51°與3町5%的大小.[注(2),(3)寫出比較的具體過程]

【分析】(I)根據(jù)“同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)暴力和當(dāng)時(shí).，則有力>/,”即可比較52。，42。

的大?。桓鶕?jù)“對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)暴T和/,當(dāng)匕〉。時(shí)，則有即可比較

96',27型的大?。?/p>

(2)據(jù)“對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)暴/和/(a#l),當(dāng)b>c時(shí)，則有/>/”，即可比較233

與322的大?。?/p>

(3)利用作商法，即可比較3i2X5i°與3"?5口的大小.

【解答】解：(1)V5>4,

A52O>42O,

V96l=⑶)61=3122,274I=(33)*=3123,122Vl23,

.,.961<2741,

故答案為：>,<;

(2))V233=(23)u=8",322=(32)H=9",8<9,

A233<322.

(3)3=2,

3畋512S225

.?.3I2X51O<3'°X512.

【變式2-2](2022秋?濱城區(qū)月考)已知”=3231,b=l64',c=821,則“，h,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.a<b<cD.b>a>c

【分析】把a(bǔ),b,c?化成以2為底數(shù)的基的形式，再進(jìn)行大小比較即可.

【解答】解：：a=323i=(25)3|=2155,h=i64'=(24)4,=2164,c=82l=(23)21=263,

故選：D.

【變式2-3](2022春?泰興市校級月考)若4=2555,6=3*4,C=4333,4=5222,試比較a、b>以d的大

小.(寫出過程)

【分析】首先原式變形為〃=32M，fe=81'",c=64l",J=25"1,根據(jù)指數(shù)相同，由底數(shù)的大小就可以

確定數(shù)的大小.

【解答】解：：a=2555,Q3444,c=4333,d=5222,

：.a=(25)h=(34)c=(43)d=(52)"S

.,.a=32"',b=8「”，。=64川，J=25,".

V8I>64>32>25,

.■.81lll>64lll>32lll>25111,

>\b>c>a>d.

【題型3塞的運(yùn)算法則逆用(求代數(shù)式的值)]

【例3】(2022春?巨野縣期中)已知：52n=a,9n=b,則64"=謬序.

【分析】將15寫成3X5,根據(jù)積的乘方得到15初=(3X5)4n=34"X54fl,再根據(jù)塞的乘方變形即可得

出答案.

【解答】解：；9"=b,

:.(32)"=b,

：.3^=b,

：.154W

=(3X5)4"

=34,,X54n

=(3S2X(52n)2

=b1ai

=crb2.

故答案為：

【變式3-1](2022秋?西青區(qū)期末)若2，=a,16>=b,則22A+-的值為a2b.

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕相乘，累的乘方的逆運(yùn)算可進(jìn)行求解.

【解答】解：?.?22"4，=22r

=⑵)2?(24)>.

-(2V)2?16V,

將2，=a,16'=b代入，

，原式=4%,

故答案為：a2b.

【變式3-2](2022春?蕭山區(qū)期中)若片=5,^'=~,則/"「"=()

4

525

A.-B.40C.—D.100

24

【分析】直接利用同底數(shù)幕的除法運(yùn)算法則以及哥的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【解答】解：??Y=5,?=；,

4

.W"=(f)24-y1

=25+工

4

=100.

故選：D.

【變式3-3](2022春?高新區(qū)校級月考)已知32"=小27"=瓦求：

(1)34ffl的值;

(2)33"的值;

(3)3廿6"的值.

【分析】(1)3布"=(32m)2,然后代入計(jì)算即可；

(2)27"變形為底數(shù)為3的事的形式即可；

(3)逆用同底數(shù)毒的除法公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)34m=(32m)2=a2.

(2)'：2T=h,

：.33n=b.

(3)3而廠6"=34，"+36”=42+/=￡

b2

【題型4塞的運(yùn)算法則逆用(整體代入)】

【例4】(2022?鐵嶺模擬)若a+3b-2=0,則3"?275=2.

【分析】根據(jù)塞的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)塞的乘法運(yùn)算法則得出即可.

【解答】解：a+3b-2=0>

a+3b—2,

則3"?27“=3"X33）=3"+3"=32=9.

故答案為：9

【變式4-1］（2022秋?淇濱區(qū)校級月考）當(dāng)3"計(jì)2〃-3=0時(shí)，則8"'?4"=8.

【分析】先變成同底數(shù)幕的乘法，再根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，最后代入求出即可.

【解答】解：?.?3m+2〃-3=0,

3，”+2〃=3,

...8，，，.4"

=（23）'"X（22）"

=23,"X22n

—Q3m+2n

=23

=8,

故答案為：8.

【變式4-2］（2022春?東臺(tái)市期中）己知a-2b-3c=2,則2"+4%1不的值是4.

【分析】先將原式變形為同底數(shù)基的形式，然后再依據(jù)同底數(shù)幕的除法和乘法法則計(jì)算即可.

【解答】解：原式=2”22&X2TC=2"-2,3C=22=4.

故答案為：4.

【變式4-3］（2022春?昌平區(qū)期末）若5x-2y-2=0,則心'.」』史。

【分析】根據(jù)移項(xiàng)，可得（5x-2y）的值，根據(jù)同底數(shù)塞的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，可得答案.

【解答】解：移項(xiàng)，得

5x-2y=2.

105t+1a=105v-2y=1（）2=100,

故答案為：1（X）.

【題型5嘉的運(yùn)算法則逆用（求參）】

【例51（2022秋?西城區(qū)校級期中）若05?（/尸="7,則丫=4,若3X9MX27m=3"，則m的值為2.

【分析】先利用幕的乘方法則和同底數(shù)幕的乘法法則計(jì)算/?（"）3、3X9",義27,再根據(jù)底數(shù)與指數(shù)

分別相等時(shí)事也相等得方程，求解即可.

【解答】解：,.公?（爐）3=笳乂。3?，=一+34

，5+3y=17.

.?.y=4.

3X9mx27"'=3X32mX33"'=31+5m,

,31+5m—311

1+5相=11.

??/%=2.

故答案為：4；2.

【變式5-1］（2022春?建湖縣期中）規(guī)定a%=2"X2〃，例如：1*2=21*22=23=8,若2*（%+1）=64,

則x的值為3.

【分析】把相應(yīng)的值代入新定義的運(yùn)算，利用同底數(shù)基的乘法的法則進(jìn)行求解即可.

【解答】解：：2*（x+1）=64,

.?.22X2A+I=26,

則22+戶1=26,

**?2+x+1=6,

解得：x=3.

故答案為：3.

【變式5-2］（2022秋?衛(wèi)輝市期末）已知2m=4"-1,27"=3m則，？-〃?=5.

【分析】直接利用累的乘方運(yùn)算法則將原式變形進(jìn)而得出，*〃的值即可.

【解答】解：,.?2加=4"一|,27"=3"…,

?2，"=2-/:-=3,M1

故圈噩二不

解得：｛m=-8

n=—3

故〃-m=5.

故答案為：5.

【變式5-3］（2022春?興化市期中）若（2“）2-23rt=84,其中〃八”都是自然數(shù)，則符合條件施、”的值有

3組.

【分析】先根據(jù)基的乘方進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)同底數(shù)'幕的乘法進(jìn)行計(jì)算，求出2〃?+3”=12,再求出二元一

次方程的正整數(shù)解即可.

【解答】解：(2"')2*23"=84,

22m*23n=(23)4,

22/n+3n—212

2/77+3/7=12,

,3

"2=6—"，

2

?：m,〃都是自然數(shù)，

.*.6-〃20,

2

???0W〃W4,

???整數(shù)〃為0,1,2,3,4,

當(dāng)〃=0時(shí)，m=69

當(dāng)〃=1時(shí)，y

當(dāng)〃=2時(shí)，〃?=3,

當(dāng)〃=3時(shí),“I，

當(dāng)〃=4時(shí)，m=0,

即符合條件的m,“的值有3組,

故答案為：3.

【題型6嘉的運(yùn)算法則逆用(代數(shù)式的表示)】

【例6】(2022秋?崇川區(qū)校級期中)若心3=j=1.

yx

(1)請用含x的代數(shù)式表示y；

(2)如果x=4,求此時(shí)y的值.

【分析】(1)由已知等式得出無=已"+1,y=dbn+3,再將，嚴(yán)=x-1代入y=o2m+3=2+3,整理即

可得；

(2)將x=4代入整理后的y關(guān)于x的代數(shù)式即可得.

,?Q2m+3am+l

【解答】解:.---------=--=--1---->--

yX

??.x=""+l,y=a

則dn=x-\,

.?.〉=於"+3

=(d")2+3

=(X-1)2+3

=.r2-2x+4,

即y=f-2x+4；

(2)當(dāng)x=4時(shí)，y=16-2X4+4

=16-8+4

=12.

【變式6-1](2022?高新區(qū)校級三模)已知,"=8,〃=93試用含m,〃的式子表示7272.

【分析】利用基的乘方與積的乘方的法則把7272變形為(89)8X(98)9,再把m=8\"=98代入即可

得出結(jié)果.

【解答】解：?.?，〃=8%"=爐,

/.7272

=(8X9)72

=872X972

=(89)8X(98)9

=m%9.

【變式6-2](2022?高新區(qū)校級三模)(1)若x=2"41,y=3+4",用x的代數(shù)式表示y.

(2)若x=2*,y=3+4'",用x的代數(shù)式表示y.

【分析】(1)根據(jù)幕的乘方以及完全平方公式解答即可；

(2)根據(jù)幕的乘方法則解答即可.

【解答】解：(1)：x=2"'+l,

：.2m=x-1

.“=3+4”=3+(2m)2=3+(x-1)2=3+r-2戶1=/-2.計(jì)4：

(2)'：x=2m+i,

y=3+4"=3+(2機(jī))2=3+(f)2=3+9=

【變式6-3](2022春?新泰市期末)若0m=a"(a>0,,〃、〃都是正整數(shù))，則m=〃，利用上面結(jié)

論解決下面的問題：

(1)如果2n23=32,求x的值：

(2)如果2+8*?16*=25,求x的值；

(3)若x=5*2,y=3-25T用含x的代數(shù)式表示y.

【分析】根據(jù)幕的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)：2，?23=32,

：.2K+3=25,

：.x+3=5,

*'?x=2；

(2)?.?2+8"16、=25,

.".2-i-23jc*24l=25,

?21'3戶4,一？5,

l+x=5,

?**x—4；

(3)Vx=5,n-2,

???5'”=x+2,

???y=3-25川，

，y=3-(5m)2,

；.y=3-(x+2)』-x2-4x-1.

【題型7幕的運(yùn)算法則(混合運(yùn)算)】

【例7】(2022春?沐陽縣校級月考)計(jì)算：

(1)(-a)2?&3

(2)Ji.“。"

8

(3)?廿++”(〃是正整數(shù))

(4)(曲/)4.

【分析】結(jié)合索的乘方與積的乘方的概念和運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

【解答】解：(1)原式=標(biāo)?涼

=〃2+3

=a5.

(2)原式=[(-8)x滬3.1

—(-])2013」

8

=--1

8

(3)原式=口+1+0出

=2rn+,.

(4)原式=(/)4

=a20.

【變式7-1](2022秋?道外區(qū)校級月考)計(jì)算：

(1)產(chǎn)y2.y

(2)(x3)4"

(3)(/.次)3.(-4)5

(4)(-3標(biāo))3-"+(4。3)2.

【分析】(1)根據(jù)同底數(shù)基的乘法求出即可；

(2)先算乘方，再根據(jù)同底數(shù)器的乘法求出即可;

(3)先算乘方，再算乘法即可；

(4)先算乘方和乘法，再合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：(1)/?/,>'=/;

(2)(x3)4,x2—x'2,x1—x'4i

(3)(小/)3.(一“)5

=32.46.(-45)

--a23；

(4)(-3a2)3-a^+(4a3)2

=-27a6-(AH6a6

=-12a6.

【變式7-2](2022春?太倉市期中)用簡便方法計(jì)算下列各題

(1)(士)2015X(-1.25)2016.

5

(2)(3-)12X(―)"X(-2)3.

825

【分析】⑴將(-1.25)236寫成(_》2。內(nèi)(_》，再利用積的乘方計(jì)算即可;

(2)將(3：)12寫成(稱)"x^,再運(yùn)用乘法結(jié)合律與積的乘方計(jì)算即可.

888

【解答】解：(1)(i)2015x(-1.25)2016

=(滬15x(_*x(_；)

=[^x(-^)]20l5x(吟

=-1X(——)

4

5

=7

(2)原式=^X(-)"X(色)"X(-8)

8825

-25X?X.

=-25.

【變式7-3](2022春?漳浦縣期中)計(jì)算

(1)(〃？-〃)2,(〃-〃?)3,(n-w?)4

(2)(戶)3(/)4"+(%5)?+1

(3)(°2)3_/./+(2/)2；

(4)(-4/+I)3+[2(2d")2切.

【分析】(1)根據(jù)同底數(shù)'幕的乘法計(jì)算即可；

(2)根據(jù)幕的乘方和同底數(shù)幕的除法計(jì)算即可；

(3)根據(jù)基的乘方、同底數(shù)累的乘法和合并同類項(xiàng)解答即可；

(4)根據(jù)積的乘方和同底數(shù)基的除法計(jì)算即可.

【解答】解：(1)(，”-”)2*(n-m)3,(n-in)4

—(,n-m)2+3+4,

=(n-m)9；

(2)(爐")3(Z>3)4，，+(產(chǎn))

=?〃⑵+j5”+5

一匕6〃+12〃'5M_5

—b]3n5；

(3)(a2)3-(P*a3+(2a3)2

=(?-ij6+4a6

=4次

(4)(3?[2(2"")2.可

=-64a3"'+3+8“2"，+I

=-8*2

【題型8塞的運(yùn)算法則(新定義問題)】

【例8】(2022春?大竹縣校級期中)我們知道，同底數(shù)塞的乘法法則為心(其中aWO,小n為

正整數(shù))，類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)胴、n的一種新運(yùn)算：h(，"+")=hCm)-h(n)；比如h

(2)=3,則/?(4)=h(2+2)=3X3=9,若h(2)=k(左#0),那么/i(2n)*h(2022)的結(jié)果是

()

A.2Z+2021B.2M2022C.r+l0l0D.2022%

【分析】根據(jù)/?(，〃+〃)=h(,〃)?/?(n),通過對所求式子變形，然后根據(jù)同底數(shù)基的乘法計(jì)算即可解

答本題.

【解答】解：,:h(2)=k(AWO),h(，"+〃)=hCm)'h(〃)，

：.h(2n)?//(2022)

=A(2+2+…+2)[(2+2+…+2)

n個(gè)1010個(gè)

=九(2)?九(2)?九(2)?九(2)?九(2)?h(2)

n個(gè)1010個(gè)

=2]./0]0

=興+1010,

故選：C.

【變式8-1](2022?蘭山區(qū)二模)一般的，如果〃=2(“>0,且a#l),那么x叫做以。為底N的對數(shù)，

記作x=k>g"N.例如：由于23=8,所以3是以2為底8的對數(shù)，記作log28=3；由于G=a,所以1是

以a為底。的對數(shù)，記作1084=1.對數(shù)作為一種運(yùn)算，有如下的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0,且a#l,M>

那么弓根

0,N>0,(1)1og“(M?N)=log?M+loguyV；(2)log=log〃M-log“N；(3)log?Af-=nlog?M.

據(jù)上面的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算10g2(23X8)-lo效竽一log?10的結(jié)果是1.

【分析】根據(jù)所給的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

【解答】解：log2(23X8)-log2-——Iog2l0

=log223+log28-(log216-log25)-log210

=3+3-(4-log25)-log210

=6-4+log25-log210

—2+log2—

1

=2+log22'

=2+(-I)

=1.

故答案為：1.

【變式8-2](2022春?泰興市期中)規(guī)定兩數(shù)m匕之間的一種運(yùn)算，記作?！?：如果/=從那么?！?/p>

=c.例如：因?yàn)??=9,所以3X9=2

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：2X16=4,土6※用=一2,

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(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：3"派4"=3派4,小明給出了如下的證明：

設(shè)3"X4"=x,則(3")"=4",即(3")"=4"

所以3*=4,即3X4=x,

所以3"X4"=3X4.

請你嘗試運(yùn)用這種方法解決下列問題：

①證明：6X7+6X9=6X63；

②猜想：(x-1)啰(y+1)"+(x-1)"X(y-2)"=(x-1)X(y2-y-2)(結(jié)果化成最

簡形式).

【分析】(1)規(guī)定：如果相=也那么?！?=c.即可進(jìn)行求解.

(2)①設(shè)6X7=x,6X9=y,則6中=63,易得6X63=x+y,即可得證.

②根據(jù)①中的結(jié)論：(x-1)咚(y+1)"+(x-1)哆()，-