2022-2023學年湖南省常德市七里湖農(nóng)場中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析

2022-2023學年湖南省常德市七里湖農(nóng)場中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若實數(shù)a滿足x+lgx=2，實數(shù)b滿足x+10x=2，函數(shù)f（x）=，則關于x的方程f（x）=x解的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】54：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】根據(jù)y=lgx與y=10x的對稱關系得a+b=2，做出y=f（x）和y=x的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷方程解的個數(shù)．【解答】解：由題意可得：2﹣a=lga，2﹣b=10b，做出y=lgx，y=2﹣x，y=10x的函數(shù)圖象如圖所示：∵y=lgx與y=10x互為反函數(shù)，∴y=lgx與y=10x的函數(shù)圖象關于直線y=x對稱，又直線y=2﹣x與直線y=x垂直，交點坐標為（1，1），∴a+b=2，∴f（x）=，做出y=f（x）與y=x的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知f（x）的圖象與直線y=x有兩個交點，∴f（x）=x有兩個解．故選B．【點評】本題考查了方程的根與函數(shù)的零點的關系，利用反函數(shù)的性質(zhì)求出a+b=2，以及作出對應函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．2.若全集，則集合的真子集共有（

）A．個

B．個

C．個

D．個參考答案：C略3.已知的圖象與軸切于，則的極值情況是（

）A．極大值為，極小值為B．極大值為，極小值為C．極大值為，沒有極小值D．極小值為，沒有極大值參考答案：B略4.已知函數(shù)在處取得極小值，則的最小值為（

）A.4 B.5 C.9 D.10參考答案：C由，得，則，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故選C.5.將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為（）A．B．C．D．參考答案：C考點：簡單空間圖形的三視圖．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：根據(jù)三視圖的特點，知道左視圖從圖形的左邊向右邊看，看到一個正方形的面，在面上有一條對角線，對角線是由左下角到右上角的線，得到結(jié)果．解答：解：左視圖從圖形的左邊向右邊看，看到一個正方形的面，在面上有一條對角線，對角線是由左下角到右上角的線，故選C．點評：本題考查空間圖形的三視圖，考查左視圖的做法，本題是一個基礎題，考查的內(nèi)容比較簡單，可能出現(xiàn)的錯誤是對角線的方向可能出錯．6.已知直線、、,平面、有以下命題:

①若且,則;②若且,則;③若,則;④若平面內(nèi)不共線的三點到平面的距離相等,則.則正確命題有(

)A.0個

B.1個

C.2個

D.3個參考答案：B7.設m、n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：

①若，，則

②若，，，則

③若，，則

④若，，則

其中正確命題的個數(shù)是(

)Ks5u

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個參考答案：B略8.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC和EF所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角．【分析】連接BC1，A1C1，A1B，根據(jù)正方體的幾何特征，我們能得到∠A1C1B即為異面直線AC和EF所成的角，判斷三角形A1C1B的形狀，即可得到異面直線AC和EF所成的角．【解答】解：連接BC1，A1C1，A1B，如圖所示：根據(jù)正方體的結(jié)構特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，則∠A1C1B即為異面直線AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B為等邊三角形故∠A1C1B=60°故選C9.若實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．4參考答案：C10.“”是“”的（▲）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)，其中A的各位數(shù)中出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記，當程序運行一次時，X的數(shù)學期望_____．參考答案：【分析】的可能取值分別為0，1，2，3，4分別計算對應概率，寫出分布列計算數(shù)學期望得到答案.【詳解】由題意知的可能取值分別為0，1，2，3，4；表示這4個數(shù)字都是0，則；表示這4個數(shù)字中有一個為1，則；同理；；；所以分布列為，01234

計算數(shù)學期望為．故答案為：．【點睛】本題考查了分布列，數(shù)學期望正確計算各種情況的概率是關鍵，意在考查學生的計算能力.

12.歐拉公式exi=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，e3i表示的復數(shù)在復平面中位于

象限．參考答案：二【考點】A4：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】由題意結(jié)合三角函數(shù)的象限符號得答案．【解答】解：由題意可得，e3i=cos3+isin3，∵＜3＜π，∴cos3＜0，sin3＞0，則e3i表示的復數(shù)對應點的坐標為（cos3，sin3），在復平面中位于二象限．故答案為：二．13.已知函數(shù)，且，則____．參考答案：6分析：由可求得，先求得的值，從而可得的值.詳解：函數(shù)，且，，即，，，，故答案為.點睛：本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)解不等式，屬于中檔題.對于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動向之一，這類問題的特點是綜合性強，對抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清楚，思路清晰.14.已知函數(shù)，（R）的最小正周期是___________.參考答案：略15.如下圖所示，對大于或等于2的自然數(shù)M的n次冪進行如下方式的“分裂”：依次類推，20143“分裂”中最大的數(shù)是

.

參考答案：4058209略16.10張獎券中只有3張有獎，5個人購買，每人1張，至少有1人中獎的概率是．參考答案：【考點】等可能事件的概率．【分析】由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的所有事件是從10張獎券中抽5張，滿足條件的事件的對立事件是沒有人中獎，根據(jù)古典概型公式和對立事件的公式得到概率．【解答】解：由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的所有事件是從10張獎券中抽5張共有C105=252，滿足條件的事件的對立事件是沒有人中獎，沒有人中獎共有C75=21種結(jié)果，根據(jù)古典概型公式和對立事件的公式得到概率P=1﹣=，故答案為：．17.命題“.”的否定是______________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1?Sn，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{nan}的前n項和．參考答案：【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）令n=1和2，代入所給的式子求得a1和a2，當n≥2時再令n=n﹣1得到2an﹣1﹣1=Sn﹣1，兩個式子相減得an=2an﹣1，判斷出此數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出nan=n?2n﹣1，再由錯位相減法求出此數(shù)列的前n項和．【解答】解：（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=，即，∵a1≠0，∴a1=1，令n=2，得2a2﹣1=1?（1+a2），解得a2=2，當n≥2時，由2an﹣1=Sn得，2an﹣1﹣1=Sn﹣1，兩式相減得2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1，∴數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴an=2n﹣1，即數(shù)列{an}的通項公式an=2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nan=n?2n﹣1，設數(shù)列{nan}的前n項和為Tn，則Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②①﹣②得，﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n?2n=2n﹣1﹣n?2n，∴Tn=1+（n﹣1）2n．【點評】本題考查了數(shù)列an與Sn之間的轉(zhuǎn)化，以及由錯位相減法求出數(shù)列的前n項和的應用．19.國家助學貸款是由財政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟困難學生支付在校學習期間所需的學費、住宿費及生活費.每一年度申請總額不超過6000元.某大學2010屆畢業(yè)生王某在本科期間共申請了元助學貸款，并承諾在畢業(yè)后年內(nèi)（按個月計）全部還清.簽約的單位提供的工資標準為第一年內(nèi)每月元，第個月開始，每月工資比前一個月增加直到元.王某計劃前個月每個月還款額為，第個月開始，每月還款額比前一月多元.（Ⅰ）用和表示王某第個月的還款額；（Ⅱ）若王某恰好在第36個月（即畢業(yè)后三年）還清貸款，求的值；（Ⅱ）當時，王某將在第幾個月還清最后一筆貸款？他當月工資的余額是否能滿足每月元的基本生活費？（參考數(shù)據(jù)：）參考答案：解：（Ⅰ）

……4分（Ⅱ）依題意，從第13個月開始，每個月的還款額為構成等差數(shù)列，其中，公差為.從而，到第個月，王某共還款

……6分令，解之得（元）.即要使在三年全部還清，第13個月起每個月必須比上一個月多還元.………………8分（Ⅲ）設王某第個月還清，則應有整理可得，解之得，取.…………10分即王某工作個月就可以還清貸款.這個月王某的還款額為（元）第32個月王某的工資為元.……11分因此，王某的剩余工資為，能夠滿足當月的基本生活需求.

………12分20.已知p：方程x2+mx+1=0有兩個不等的實根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0無實根．若“p”為假命題，“q”為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】求出命題p：m＞2，命題q：1＜m＜3，再由“p”為假命題，“q”為真命題，能求出m的取值范圍．【解答】解：∵p：方程x2+mx+1=0有兩個不相等的負實根，∴，∴m＞2，又∵q：方程4x2+4（m﹣2）x