2022-2023學年安徽省宣城市孫埠高級中學高三數(shù)學理模擬試題含解析

2022-2023學年安徽省宣城市孫埠高級中學高三數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在區(qū)間單調(diào)遞增.若實數(shù)滿足,則的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：C2.雙曲線的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作一條直線與兩條漸近線分別相交于A，B兩點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3參考答案：C3.在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C滿足，則角C為(

)

A．30° B．60°

C．120°

D．150°參考答案：A4.對實數(shù)與，定義新運算“”：

設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D.

參考答案：B5.求值：（

）A.1

B.

C.

D.

參考答案：D6.設(shè)（是虛數(shù)單位），則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：，故選A.考點：1.復數(shù)的運算.

7.函數(shù)f（x）=x2﹣bx+c滿足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，則f（bx）和f（cx）的大小關(guān)系是（）A．f（bx）≤f（cx） B．f（bx）≥f（cx）C．f（bx）＞f（cx） D．大小關(guān)系隨x的不同而不同參考答案：A【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由f（1+x）=f（1﹣x）推出函數(shù)關(guān)于直線x=1對稱，求出b，f（0）=3推出c的值，x≥0，x＜0確定f（bx）和f（cx）的大?。窘獯稹拷猓骸遞（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）圖象的對稱軸為直線x=1，由此得b=2．又f（0）=3，∴c=3．∴f（x）在（﹣∞，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．若x≥0，則3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．若x＜0，則3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故選A．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查學生分析問題解決問題的能力，基本知識掌握的熟練程度，利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．8.已知向量

B

C

D

參考答案：D9.在平行四邊形ABCD中，設(shè),，,,則下列等式中不正確的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.已知，且，則等于 A．

B．

C．

D．參考答案：A因為,所以,解得,因為,所以；本題選擇A選項.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，且則不等式的解集是________________________.

參考答案：

12.學校為了調(diào)查學生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50,60)元的同學有30人，則n的值為________．參考答案：100略13.長方體的8個頂點都在球的表面上，為的中點，，，且四邊形為正方形，則球的直徑為

.

參考答案：4或試題分析：由于，因此就是異面直線與所成的角，即，設(shè)，則，，由余弦定理得，解得或．，所以或，此即為球的直徑．考點：長方體與外接球．【名師點睛】在長方體或正方體中其對角線就是外接球的直徑，因此本題實質(zhì)就是求長方體的對角線長，從而只要求得三棱長即可．對其他的組合體的外接球要注意應用公式求解．14.已知圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），直線l的極坐標方程為ρsinθ=1，則直線l與圓C的交點的直角坐標為

．參考答案：（﹣1，1），（1，1）【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】計算題；方程思想；分析法；坐標系和參數(shù)方程．【分析】求出圓的普通方程，直線的普通方程，然后聯(lián)立方程組求解即可．【解答】解：圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），則圓的普通方程為：x2+（y﹣1）2=1，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsinθ=1，普通方程為：y=1．則，解得或，∴直線l與圓C的交點的直角坐標為（﹣1，1），（1，1）．故答案為：（﹣1，1），（1，1）．【點評】本題考查圓的參數(shù)方程以及直線的極坐標方程與普通方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系，考查計算能力．15.若函數(shù)y=ax（a＞1）和它的反函數(shù)的圖象與函數(shù)y=的圖象分別交于點A、B，若|AB|=，則a約等于

（精確到0.1）．參考答案：8.4【考點】4R：反函數(shù)．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖，設(shè)A（x，ax），函數(shù)y=ax（a＞1）和它的反函數(shù)的圖象與函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線x﹣y=0對稱，得出點A到直線y=x的距離為AB的一半，利用點到直線的距離公式及A（x，ax）在函數(shù)y=的圖象上得到a=（）≈8.4即可．【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖，設(shè)A（x，ax），∵函數(shù)y=ax（a＞1）和它的反函數(shù)的圖象與函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線x﹣y=0對稱，∴|AB|=，?點A到直線y=x的距離為，∴?ax﹣x=2，①又A（x，ax）在函數(shù)y=的圖象上，?ax=，②由①②得：﹣x=2?x=，∴a﹣（﹣1）=2，?a=（）≈8.4故答案為：8.4．16.觀察下列等式：照此規(guī)律,第n個等式可為____

__ __。參考答案：17.20設(shè)定義域為R的函數(shù)若函數(shù)有7個零點，則實數(shù)的值為

.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)是實數(shù)，。(1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；(2）試證明：對于任意，在R上為單調(diào)函數(shù)；(3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：（1），且

（注：通過求也同樣給分）

(2）證明：設(shè)，則

==

，

即

所以在R上為增函數(shù)。

(3）因為為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，

由得即對任意恒成立。令，問題等價于對任意恒成立。令，其對稱軸。當即時，，符合題意。當時，對任意恒成立，等價于解得：綜上所述，當時，不等式對任意恒成立。19.已知函數(shù)f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）． （1）求函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程； （2）求函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間； （3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的取值范圍． 參考答案：【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】（1）先求函數(shù)的導函數(shù)f′（x），再求所求切線的斜率即f′（0），由于切點為（0，0），故由點斜式即可得所求切線的方程； （2）先求原函數(shù)的導數(shù)得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再對a進行討論，得到f'（x）＞0，從而函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增． （3）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調(diào)性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調(diào)性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關(guān)系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍． 【解答】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna， ∴f′（x）=axlna+2x﹣lna， ∴f′（0）=0，f（0）=1 即函數(shù)f（x）圖象在點（0，1）處的切線斜率為0， ∴圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y=1； （2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0 ①當a＞1，y=2x單調(diào)遞增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調(diào)遞增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； ②當0＜a＜1，y=2x單調(diào)遞增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調(diào)遞增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； 綜上，函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）； （3）因為存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1， 所以當x∈[﹣1，1]時，|（f（x））max﹣（f（x））min| =（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1， 由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上遞減，在[0，1]上遞增， 所以當x∈[﹣1，1]時，（f（x））min=f（0）=1， （f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}， 而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna， 記g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0）， 因為g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（當t=1時取等號）， 所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（1）=0， 所以當t＞1時，g（t）＞0；當0＜t＜1時，g（t）＜0， 也就是當a＞1時，f（1）＞f（﹣1）； 當0＜a＜1時，f（1）＜f（﹣1） ①當a＞1時，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e， ②當0＜a＜1時，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1?+lna≥e﹣1?0＜a≤， 綜上知，所求a的取值范圍為a∈（0，]∪[e，+∞）． 【點評】本題考查了基本函數(shù)導數(shù)公式，導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．屬于中檔題． 20.（12分）已知定義在上的三個函數(shù)，，，且在處取得極值．w_ww.k#s5_u.co*m

（Ⅰ）求a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（Ⅱ）求證：當時，恒有成立.參考答案：解：（Ⅰ），，，∴． 2分而，，令得；令得．∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是． 4分（Ⅱ）∵，∴，∴，欲證，只需要證明，即證明， 6分記，∴，當時，，∴在上是增函數(shù)，∴，∴，即，∴，故結(jié)論成立．略21.設(shè)f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥對任意實數(shù)a≠0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．參考答案：考點：函數(shù)恒成立問題；絕對值不等式的解法．專題：分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應用；不等式的解法及應用．分析：（1）運用絕對值的含義，對x討論，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉絕對值，得到不等式組，解出它們，再求并集即可得到解集；（2）運用絕對值不等式的性質(zhì)，可得不等式右邊的最大值為3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去絕對值的方法，即可解得x的范圍．解答： 解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集為；

（2）=||1+|