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福建省漳州市龍海龍江中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知平面向量,,且,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C略2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),則a5=A.29
B.30
C.31
D.32參考答案:C3.在等差數(shù)列中,若,公差,則有,類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列中,若,公比,則,,,的一個(gè)不等關(guān)系是(
)A.
B.C.
D.參考答案:A略4.設(shè)集合等于
(
)A.B.
C.
D.參考答案:A5.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且PF1⊥PF2,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()A.1 B. C. D.參考答案:D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【專題】計(jì)算題.【分析】先根據(jù)橢圓方程求得橢圓的半焦距c,根據(jù)PF1⊥PF2,推斷出點(diǎn)P在以為半徑,以原點(diǎn)為圓心的圓上,進(jìn)而求得該圓的方程與橢圓的方程聯(lián)立求得交點(diǎn)的坐標(biāo),則根據(jù)點(diǎn)P所在的象限確定其橫坐標(biāo).【解答】解:由題意半焦距c==,又∵PF1⊥PF2,∴點(diǎn)P在以為半徑,以原點(diǎn)為圓心的圓上,由,解得x=±,y=±∴P坐標(biāo)為(,).故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓與圓的位置關(guān)系.考查了考生對(duì)橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用.屬基礎(chǔ)題.6.曲線=1與曲線=1(k<9)的()A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等 C.離心率相等 D.焦距相等參考答案:D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【專題】計(jì)算題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】分別求出兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦距,即可判斷.【解答】解:曲線=1表示焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,短軸長(zhǎng)為6,離心率為,焦距為8.曲線=1(k<9)表示焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,短軸長(zhǎng)為2,離心率為,焦距為8.對(duì)照選項(xiàng),則D正確.故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.下列命題中,真命題是
(
)A.存在;
B.任意;
C.存在;
D.任意參考答案:B8.已知命題:,;命題:,,則下列命題中為真命題的是:(
)A. B. C. D.參考答案:B試題分析:考察函數(shù)圖象可知:命題為假命題,命題為真命題,所以為真命題.9.不等式的解集為,則的范圍為
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A略10.如果直線(2a+5)x+(a-2)y+4=0與直線(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,則a的值等于(
)
A.2
B.-2
C.2,-2
D.2,0,-2參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c,如果a=8,∠B=60°,∠C=75°,那么b等于.參考答案:4【考點(diǎn)】正弦定理.【分析】依題意可求得∠A,利用正弦定理即可求得b.【解答】解:∵在△ABC中,∠B=60°,∠C=75°,∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣60°﹣75°=45°,又a=8,∴由正弦定理=得:b===4.故答案為:4.12.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是,則
參考答案:略13.已知雙曲線上一點(diǎn),過雙曲線中心的直線交雙曲線于兩點(diǎn),記直線的斜率分別為,當(dāng)最小時(shí),雙曲線的離心率為_______參考答案:14.=
.參考答案:15.△ABC中,若,AC=1,且,則BC=__________.參考答案:116.設(shè)函數(shù)(x>0),定義,當(dāng)且時(shí),,則
;
。參考答案:,17.甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,只有其中一位獲獎(jiǎng),有人走訪了四位歌手,甲說:“是丙獲獎(jiǎng)”.乙說:“是丙或丁獲獎(jiǎng)”.丙說:“乙、丁都未獲獎(jiǎng)”.丁說:“我獲獎(jiǎng)了”.四位歌手的話只有兩句是對(duì)的,則獲獎(jiǎng)的歌手是.參考答案:丁【考點(diǎn)】F4:進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.【分析】這是一個(gè)簡(jiǎn)單的合情推理題,我們根據(jù)“四位歌手的話只有兩句是對(duì)的”,假設(shè)某一個(gè)人說的是真話,如果與條件不符,說明假設(shè)不成立,如果與條件相符,則假設(shè)成立的方法解決問題.【解答】解:若甲對(duì),則乙和丙都對(duì),故甲錯(cuò);若甲錯(cuò)乙對(duì),則丙錯(cuò)丁對(duì),此時(shí)成立,則獲獎(jiǎng)選手為??;若甲錯(cuò)乙錯(cuò),則丁錯(cuò),不成立.故獲獎(jiǎng)選手為?。蚀鸢笧椋憾。?、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題13分)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=FB=xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm)最大,試問x應(yīng)取何值?(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.
參考答案:(1)根據(jù)題意有(0<x<30),所以x=15cm時(shí)包裝盒側(cè)面積S最大.(2)根據(jù)題意有,所以,當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)x=20時(shí),V取極大值也是最大值.此時(shí),包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為.即x=20包裝盒容積V(cm)最大,此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為19.(10分)當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí),復(fù)數(shù)z=+(m2-2m)i為(1)實(shí)數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)?參考答案:略20.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,是否存在直線l,使得△BFM與△BFN的面積比值為2?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.參考答案:【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題.【分析】(Ⅰ)根據(jù)橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距,求出幾何量,即可求橢圓C的方程;(Ⅱ)△BFM與△BFN的面積比值為2等價(jià)于FM與FN比值為2,分類討論,設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣1),代入橢圓方程,消x并整理,利用韋達(dá)定理,根據(jù)FM與FN比值為2,即可求得直線方程.【解答】解:(Ⅰ)由已知得c=1,a=2c=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴=,∴橢圓C的方程為﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ)△BFM與△BFN的面積比值為2等價(jià)于FM與FN比值為2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),F(xiàn)M與FN比值為1,不符合題意,舍去;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣1),直線l的方程代入橢圓方程,消x并整理得(3+4k2)y2+6ky﹣9k2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=﹣①,y1y2=﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由FM與FN比值為2得y1=﹣2y2③由①②③解得k=±,因此存在直線l:y=±(x﹣1)使得△BFM與△BFN的面積比值為2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21.某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜.過去50周的資料顯示,該地周光照量X(小時(shí))都在30小時(shí)以上,其中不足50小時(shí)的周數(shù)有5周,不低于50小時(shí)且不超過70小時(shí)的周數(shù)有35周,超過70小時(shí)的周數(shù)有10周.根據(jù)統(tǒng)計(jì),該基地的西紅柿增加量y(百斤)與使用某種液體肥料x(千克)之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖,是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系?請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說明(精確到0.01)(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合)(2)蔬菜大棚對(duì)光照要求較大,某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀,但每周光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量X限制,并有如表關(guān)系:周光照量X(單位:小時(shí))光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)321
若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行,則該臺(tái)光照控制儀周利潤(rùn)為3000元;若某臺(tái)光照控制儀未運(yùn)行,則該臺(tái)光照控制儀周虧損1000元.以過去50周的周光照量的頻率作為周光照量發(fā)生的概率,商家欲使周總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝光照控制儀多少臺(tái)?附:相關(guān)系數(shù),參考數(shù)據(jù):,,,參考答案:(1),可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系;(2)2臺(tái)光照控制儀.【分析】(1)由題中所給的數(shù)據(jù)計(jì)算,進(jìn)而結(jié)合參考數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù),得出答案。(2)由題意分類討論的范圍求解即可?!驹斀狻浚?)由已知數(shù)據(jù)可得,所以相關(guān)系數(shù)因?yàn)?,所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系。(2)設(shè)商家周總利潤(rùn)為元,由條件知在過去周里當(dāng)時(shí),共有周,此時(shí)只有臺(tái)光照控制儀運(yùn)行,周總利潤(rùn)元;當(dāng)時(shí),共有周,此時(shí)只有臺(tái)光照控制儀運(yùn)行,周總利潤(rùn)元;當(dāng)時(shí),共有周,此時(shí)只有臺(tái)光照控制儀運(yùn)行,周總利潤(rùn)元;所以過去周里周總利潤(rùn)的平均值元【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)以及統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用,屬于簡(jiǎn)單題。22.已知數(shù)列是等差數(shù)列,;數(shù)列的前n項(xiàng)和是,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(3)記,求的前n項(xiàng)和.參考答案:解:(1)設(shè)的公差為,則:,,∵,,∴,∴.………2分∴.
…………
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