數(shù)列萬(wàn)能解法

#主要性質(zhì)□□□：□□□□ {a}n若m+n=p+q則a+a=a+am n p q推論：若 m+n=2p則a+a=2am n p□□□：□□□□ {a}n若m+n=p+q則a?a=a?am n p q推論：若m+n=2p則a?a=（a）2mn p其它性質(zhì)1、等差數(shù)列中連續(xù) m□□□,□□□□□□□□□□□□□：s,s-s,s-S,…等差m2m m3m 2m2、從等差數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的□□□□□□□□□□如：a,a,a,a,???□□□□□□□□□1 4 7 103、{a},等差，則 {a},{a},n n 2n 2n-1{ka+b},{pa+qb}也等差。n n n4、等差數(shù)列 {a}的通項(xiàng)公式是 n的一次n函數(shù)，即： a=dn+c（d中0）n等差數(shù)列 {a}的前n□□□□□□□□n□□□□□ n□□□□□,即：S=An2+Bn（d豐0）n1、□□□□□□□□□□,□□□□□□ □□□□□□□:s,s-s,s-s,???□□,□□□ qm□m2m m3m 2m2、口等比數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成□□□□□□□□□□□如： a,a,a,a,???□□□□□□□□□1 4 7 103、{a},等比，則{a},{a},{ka}n n 2n 2n-1 n□□□□□□ k牛04、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式類似于 n的指數(shù)函數(shù)，rr rrr G即：a=cqn，其中 c=一n q□□□□□□ n□□□□□□□□□加振幅的n□□□□□,□：s=cqn-c（q豐1）n證明方法□□□□□□□□□□□□□□:1、定義法： a-a=4（常數(shù)）n+1 n2、中項(xiàng)法： a+a=2a（n>2）n-1 n+1 n□□□□□□□□□□□□□□:a 1、定義法： —=q（常數(shù)）an2、中項(xiàng)法： a?a=（a）（n>2,a豐0）n-1n+1 n n設(shè)元技巧三數(shù)等差： a-d,a,a+d四口等差： a-3d,a-d,a+d,a+3dnnnnn & # 一三數(shù)等比： —,a,aq或a,aq,aq2q四數(shù)等比： a,aq,aq2,aq3聯(lián)系1、若數(shù)列 ｛a｝是等差數(shù)列，則數(shù)列 Can｝是等比數(shù)列，公比為 Cd，其中 C是常數(shù)，nd是｛a｝的公差。n2、若數(shù)列 ｛a｝是等比數(shù)列，且 a>0，則數(shù)列 ｛loga｝是等差數(shù)列，公差為 logq,n n an a其中a是常數(shù)且 a>0,a中1,q是｛a｝的公比。n數(shù)列的項(xiàng)a與前n項(xiàng)和S的關(guān)系：n ns (n=1)1.~s—s (n>2)n n—1數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列(如果{a}等差，

n等比，那么

n{ab}叫做差比數(shù)列)

nn即把每一項(xiàng)都乘以的公比 q，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列n求和。3、裂口相消0：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。適用于數(shù)列可裂口為：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題：1、口等差數(shù)列{a}的首項(xiàng)na>0，公差1d<0，則前n項(xiàng)和S有最大值。n(iOOOOOOa，則nS最大na>0n；a<0n+1(ii)若已知S=pn2+qn，則當(dāng)nn取最靠近q-的非零自然數(shù)時(shí)2PS最大；n2、若等差數(shù)列{a}的首項(xiàng)

na<0，公差1d>0，則前n項(xiàng)和S有最小值n(i)若已知通項(xiàng)a，則nS最小nnan+1(ii)若已知S=pn2+qn，則當(dāng)nn取最靠近—q-的非零自然數(shù)時(shí)2PS最小；n數(shù)列通項(xiàng)的求0：⑴公式0：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式;□等比數(shù)列通項(xiàng)公式。⑵已知S□即a+a+n 1 2+a=f(n))求na,0000：nS-S,(n=1)丫S1—S ,(n>2)已知..『(n)求a，用作商法:n⑶已知條件中既有⑷若a—an+1 n(n>2)。S還有n=f(n)求aa，有時(shí)先求n0000：S，再求nf(1),(n=1)【毋，(n>2)a;有時(shí)也可直接求n1—a)+n—1 n—2a口n+(a—a)2 1⑸已知a，用累乘法:n n—an—1a—n1?an—2?a(n>2)口1□□□□□□□□特別地，1)形如a-=ka+b□--1a=ka+bn(k,b□□□)□□□□□□□□□□□□□□n n-1□□□□□□a；□□-a=ka+kn□□□□□□□□□□n n-1kn得到一個(gè)等2)形如3)形如 -_■1

ka+b--1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。an+1=ak□□□□□□□□□□□□□□□□n(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。(8)當(dāng)遇到a(8)當(dāng)遇到a-+1一a--1—a =d或n+1=q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段形式。a--1□□□□□□□□□:(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式；口等比數(shù)列求和公式。(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，口□□□□□□□□(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常n□□□□□□□□□n□□□□□□□□□n□□□□□□□□□(4)n□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(5)裂口相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選□□□□□□□□1 —1n(n+1)nn+1=1(」k2-12k-1k+11 1n——；(k+1)k k2 (k-1)kk-1k=匕」n(n+1)(n+2) 2n(n+1) (n+1)(n+2);⑤(n+1)!n!(n+1)!⑥2(\?n+1-nn)=_2 <工<_2 nn+n++17nnn+n--1=2(Jn-n--1)□□□□□□□□□□□□：1、公式法2、由S求a- -(n=1時(shí)，a=S,n>2時(shí)，a=S-S)1 1 nnn-13、求差(商)法如：｛an1滿足1a1+ +1+—a2nn=2n+5解：-1n=1時(shí)，一a=2義1+5,.?a=1421 11 1 1一一一一nN20^,—a+—a+ + a—2n—1+5 <2>21222 2n-1n-11<1>—<2>得：——a—22nn?\a=2n+1n. [14(n—1)??a=<n 2n+1(n>2)I□□□□數(shù)列｛a｝滿足S+S=5a，a—4，求an n n+13n+1 1 nS(注意到a=S-S代入侍：一n+1=4n+1 n+1 n Sn?{?{S}是等比數(shù)列，Sn=4nnn>2時(shí)，a—S-S= ― 3,4n-1nnn-14口乘法例如：數(shù)列｛a｝例如：數(shù)列｛a｝中，a—3,n 1aa1

―3-——n———aa22 n-1解:a一nn11― ,an+1nn-1 .a1- ,??—n"——nan1TOC\o"1-5"\h\zT7c. 3^又a=3,??a——1 nn5口■□口公□由a-a=f(n),a=a，求a，用迭加法n n-1 1 0 nn>2時(shí)，a-a―f(2)1a-a=f(3)上/日2 B兩邊相加，得：a-a—f(n)n n-1a-a=f(2)+f(3)+……+f(n)n1?a=a+f(2)+f(3)+……+f(n)n0□□□□數(shù)列｛a｝,a=1,a—3n-1+a (n>2)，求an 1 n n-1 n(a=1Gn-1))n26、口口■■口a=ca+d(、d為常數(shù)，c中0,c中1,d中0：n n-1

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)a+x=c(a +x)n-1na=ca +(c-1)xn-1令(c-1)x=d,，x=是首項(xiàng)為a1c為公比的等比數(shù)列?Cn?Cn-1+ c-1JCnCn-1Ia1+□□□□數(shù)列｛a數(shù)列｛a｝滿足a=9，

n 13an+1+a=4,求an nn-1(a=8-4 +1)nI3J?□□□□2a例如：a=1,a= n—,求an+1a+2nn由已知得:TOC\o"1-5"\h\z1a+2 1 1由已知得: =-n =+a2a2an+1 n n1 1 - aan+1 n.?./］為等差數(shù)列IanJX=1+(n-1)?1=1(n+1)a 22n.c 21a二 nn+1□□□n□□□□□□□：1、公式口：等差、等比前 n□□□□?□□□□：□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□如：｛a｝是公差為d的等差數(shù)列，求￡^^n aak=1kk+1□:由=z1)=1(-1-JL1(d00)

a?aa(a+d)d<aaJkk+1kk kk+1□□□□???Jk=1aakk+1dIak=1 kakJ求和:kaa)

n n+1anJ(an若｛a｝為等差數(shù)列，n｛b｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛ab｝(差比數(shù)列)前n項(xiàng)和，可由S-qS求S其中q為｛b｝的公比。n如：Sn=1+2x+3x2+4x3++nxn-1x+2x2+3x3+4x4++(n-1)xn-1+nxn(1-x)S=1+x+x2+

n+xn-1一nxnx牛1時(shí)，(1-xn)x=1時(shí)，nxn(1-x)2 1-xn(n+1)+n