湖南省岳陽(yáng)市北港中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省岳陽(yáng)市北港中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若,則一定成立的不等式是()A. B.

C.

D.參考答案：B2.在等差數(shù)列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，則a+a+a等于（

）A.40

B.42

C.43

D.45參考答案：B3.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則的方程為 （）A． B． C． D．參考答案：D

略4.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線上,則a=（

）A. B.2 C.－2 D.參考答案：A分析：等式分子分母同時(shí)乘以，化簡(jiǎn)整理，得出，再得，將的坐標(biāo)代入中求解詳解：，所以。故選B點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算公式，在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)在直線上，則坐標(biāo)滿足直線方程。5.設(shè)F1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上滿足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面積是（

）A．1 B.

C.2

D.

參考答案：A略6.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎(jiǎng)．”乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)．”丙說：“我獲獎(jiǎng)了．”丁說：“是乙獲獎(jiǎng)．”四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁參考答案：C【詳解】若甲是獲獎(jiǎng)的歌手，則四句全是假話，不合題意；若乙是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、乙、丁都說真話，丙說假話，與題意不符；若丁是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、丁、丙都說假話，丙說真話，與題意不符；當(dāng)丙是獲獎(jiǎng)的歌手，甲、丙說了真話，乙、丁說了假話，與題意相符.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查的是簡(jiǎn)單的合情推理題，解決本題的關(guān)鍵是假設(shè)甲、乙、丙、丁分別是獲獎(jiǎng)歌手時(shí)的，甲乙丙丁說法的正確性即可.7.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

（

）A. B.

C.

D.參考答案：C略8.在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人現(xiàn)獨(dú)立思考完成，然后一起討論，甲說：“我做錯(cuò)了！”乙對(duì)甲說：“你作對(duì)了！”，丙說：“我也做錯(cuò)了！”最后老師知道了他們?nèi)说拇鸢负陀懻摵罂偨Y(jié)：“你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧?duì)了”，有且只有一人說對(duì)了.”請(qǐng)問下列說法正確的是A．甲做對(duì)了

B．甲說對(duì)了

C．乙作對(duì)了

D．乙說對(duì)了參考答案：B9.已知，則的最小值為（

）A. B.6 C. D.參考答案：B【分析】結(jié)合所給表達(dá)式特點(diǎn)，構(gòu)造均值定理的結(jié)構(gòu)，利用均值定理求解最小值.【詳解】∵，∴∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查均值定理的應(yīng)用，使用均值定理求解最值時(shí)，一要注意每一項(xiàng)必須為正實(shí)數(shù)，二是要湊出定值，三是要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，三者缺一不可，尤其是等號(hào)不要忘記驗(yàn)證.10.已知，命題“若，則.”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：C【分析】先寫出原命題的逆命題，否命題，再判斷真假即可,這里注意的取值,在判斷逆否命題的真假時(shí)，根據(jù)原命題和它的逆否命題具有相同的真假性判斷原命題的真假即可.【詳解】解：逆命題:設(shè)，若，則a＞b,由可得，能得到a＞b，所以該命題為真命題;否命題設(shè)，若a≤b，則,由及a≤b可以得到，所以該命題為真命是題；因?yàn)樵}和它的逆否命題具有相同的真假性，所以只需判斷原命題的真假即可，當(dāng)時(shí)，，所以由a＞b得到，所以原命題為假命題，即它的逆否命題為假命題;故為真命題的有2個(gè).故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查四種命題真假性的判斷問題，由題意寫出原命題的逆命題，否命題并判斷命題的真假是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某單位為了了解用電量y度與氣溫x°C之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫（°C）181310﹣1用電量（度）24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程中b=﹣2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為﹣4°C時(shí)，用電量的度數(shù)約為

．參考答案：68【考點(diǎn)】回歸分析的初步應(yīng)用．【分析】根據(jù)所給的表格做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，利用待定系數(shù)法做出a的值，現(xiàn)在方程是一個(gè)確定的方程，根據(jù)所給的x的值，代入線性回歸方程，預(yù)報(bào)要銷售的件數(shù)．【解答】解：由表格得，為：（10，40），又在回歸方程上且b=﹣2∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴y=﹣2x+60．當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=﹣2×（﹣4）+60=68．故答案為：68．12.甲、乙兩人在次測(cè)評(píng)中的成績(jī)由下面莖葉圖表示，其中有一個(gè)數(shù)字無(wú)法看清，現(xiàn)用字母代替，則甲的平均成績(jī)超過乙的平均成績(jī)的概率為

.

甲

乙

8885109

參考答案：13..若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：略14.已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.參考答案：【分析】變形，令，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于直線與函數(shù)且的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)且的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由，得，令，則，當(dāng)時(shí)，不是函數(shù)的零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，令,分離參數(shù)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于直線與函數(shù)且的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，，時(shí)，，在上遞減；時(shí)，，在上遞增；極小值，畫出的圖象如圖所示：因?yàn)橹本€與函數(shù)且的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn).15.圓截直線所得的弦長(zhǎng)

．參考答案：16.已知向量=（2，3）=（1，m），且⊥，那么實(shí)數(shù)m的值為．參考答案：﹣【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】利用平面向量垂直的性質(zhì)求解．【解答】解：∵向量=（2，3）=（1，m），且⊥，∴=2+3m=0，解得m=﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．17.參考答案：

6，0.45三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為

（1）求C的普通方程和直線l的傾斜角；（2）設(shè)點(diǎn)，l和C交于A,B兩點(diǎn)，求的值。參考答案：(1)因?yàn)榍€的參數(shù)方程為所以消去參數(shù)，得又因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為

即直線的普通方程為：直線的傾斜角為（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且傾斜角為，所以

直線的參數(shù)方程即代的入整理得：所以所以19.（本小題滿分為13分）已知直線經(jīng)過點(diǎn)．求解下列問題（最后結(jié)果表示為一般式方程）（Ⅰ）若直線的傾斜角的正弦為；求直線的方程；（Ⅱ）若直線與直線垂直，求直線的方程.參考答案：解：（Ⅰ）由題意：設(shè)直線的傾斜角為，則

…………2分

即的斜率…………4分

直線的方程為：…………6分

（Ⅱ）設(shè)所求直線方程為：············9分

又過，

······················12分直線的方程為：················13分20.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．（1）求證：AP∥平面BEF；（2）求證：GH∥平面PAD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定．【分析】（1）連接EC，推導(dǎo)出四邊形ABCE是平行四邊形，從而FO∥AP，由此能證明AP∥平面BEF．（2）連接FH，OH，推導(dǎo)出FH∥PD，從而FH∥平面PAD．再求出OH∥AD，從而OH∥平面PAD，進(jìn)而平面OHF∥平面PAD，由此能證明GH∥平面PAD．【解答】證明：（1）連接EC，∵AD∥BC，，∴BC=AE，BC∥AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點(diǎn)．又∵F是PC的中點(diǎn)，∴FO∥AP，又∵FO?平面BEF，AR?平面BEF，∴AP∥平面BEF．（2）連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，∴FH∥PD，又∵PD?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，∴FH∥平面PAD．又∵O是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，∴OH∥AD，AD?平面PAD，OH?平面PAD，∴OH∥平面PAD．又∵FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD，又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．21.（14分）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為

（1）求橢圓的方程

（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C

D兩點(diǎn)

問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)?請(qǐng)說明理由

參考答案：解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0

依題意解得∴橢圓方程為

（2）假若存在這樣的k值，由得

∴

①設(shè)，

，，則

②而

要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)，則，即

∴

③將②式代入③整理解得

經(jīng)驗(yàn)證，，使①成立

綜上可知，存