條件概率和全概率公式_第1頁
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文檔簡介

第1頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月第2頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月第3頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月第4頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月第5頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月第6頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月第7頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月第8頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月第9頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月第10頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月例3某城市共發(fā)行A、B、C三種報(bào)紙.調(diào)查表明,居民家庭中訂購C報(bào)的占30%,同時訂購A、B兩報(bào),A、C兩報(bào),B、C兩報(bào)的分別各占10%,8%,5%,三種報(bào)紙都訂的占3%.今在該城市中任找一戶,問(1)該戶只訂A和B兩種報(bào)紙的概率是多少?(2)該戶只訂C報(bào)的概率是多少?第11頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)條件概率與全概率公式條件概率與乘法公式全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式小結(jié)第12頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月

在解決許多概率問題時,往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率與乘法公式如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率,將此概率記作P(A|B).一般地P(A|B)≠P(A)

第13頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月P(A)=1/6,例如,擲一顆均勻骰子,A={擲出2點(diǎn)},

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)},P(A|B)=?擲骰子已知事件B發(fā)生,此時試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B,

P(A|B)=1/3.B中共有3個元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個在集A中.容易看到P(A|B)于是第14頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月例1一批產(chǎn)品100件70件正品30件次品甲廠生產(chǎn)40件乙廠生產(chǎn)30件甲廠生產(chǎn)20件乙廠生產(chǎn)10件從中任取1件,記A=“取到正品”,B=“取到甲廠產(chǎn)品”,試計(jì)算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解

第15頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月設(shè)A、B是兩個事件,則稱

1.條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.為在事件A發(fā)生的條件下,事件B的條件概率.第16頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月2.條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證)第17頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月條件概率P(A|B)與積事件概率P(AB)的區(qū)別和聯(lián)系聯(lián)系:事件A,B都發(fā)生了.區(qū)別:(1)條件概率P(A|B)是在實(shí)驗(yàn)E的條件下增加條件B發(fā)生后,求此時事件A發(fā)生的概率.而積事件P(AB)是在實(shí)驗(yàn)E的條件下AB同時發(fā)生的概率。

(2)樣本空間不同,在P(A|B)中樣本空間是縮減樣本空間

;而P(AB)的樣本空間還是.第18頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月條件概率的計(jì)算方法由定義,計(jì)算P(B|A).在事件A發(fā)生的條件下將原樣本空間縮減為事件A所包含的樣本點(diǎn)的集合,然后在縮減的樣本空間中計(jì)算事件B發(fā)生的概率,從而求得P(B|A).

第19頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月例2設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8,活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動物,它能活到25歲以上的概率是多少?解設(shè)A={能活20年以上},B={能活25年以上}依題意,P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).思考:現(xiàn)年20歲的這種動物,它不能活25年以上的概率呢???第20頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月例2.100件產(chǎn)品中有5件次品,現(xiàn)從中接連任取兩件而不放回,求在第一次取得正品的條件下,第二次取得次品的概率.

第21頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月由條件概率的定義:即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(1)若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).即若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(2)(1)和(2)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個事件同時發(fā)生的概率4.乘法公式同樣,由可以反求P(AB)第22頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月第23頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月一批產(chǎn)品共有90件產(chǎn)品,其中有10件次品,其余為正品.現(xiàn)依次進(jìn)行不放回抽取三次,求第三次才取到正品的概率.乘法公式應(yīng)用舉例例3答案第24頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月

某人忘記電話號碼最后一位數(shù)字,因而任意地按最后一個數(shù).試求:

(1)不超過4次能打通電話的概率(2)若已知最后一位數(shù)字是偶數(shù).則不超過3次能打通電話的概率是多少?

乘法公式應(yīng)用舉例例4答案第25頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月

袋內(nèi)有

n

個球(n-1個白球,1個紅球),n

個人依次從袋中各隨機(jī)地取一球,并且每人取出一球后不再放回袋中,試求第

k人取得紅球的概率.乘法公式應(yīng)用舉例例5答案抽簽原理抓鬮問題第26頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月例

五個鬮,其中兩個鬮內(nèi)寫著“有”字,三個鬮內(nèi)不寫字,五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關(guān)?

第27頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月依此類推故抓鬮與次序無關(guān).第28頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月例4.獵人在距離100米處射擊一動物,擊中的概率為0.6,如果第一次未擊中,則進(jìn)行第二次射擊.但由于動物逃跑而使距離變?yōu)?50米;如果第二次又沒擊中,則進(jìn)行第三次射擊,這時距離變?yōu)?00米.假定擊中的概率與距離成反比,求獵人最多射擊三次的情況下?lián)糁袆游锏母怕?第29頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)條件概率的概念概率的乘法公式要求:在計(jì)算概率時經(jīng)常使用,需要牢固掌握!第30頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月

有三個箱子,分別編號為1,2,3;1號箱裝有1個紅球4個白球,2號箱裝有2紅3白球,3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解記Ai={球取自i號箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}B發(fā)生總是伴隨著A1,A2,A3之一同時發(fā)生,123其中A1、A2、A3兩兩互斥看一個例子:二、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式第31頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月將此例中所用的方法推廣到一般的情形,就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.對求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得:P(B)=8/15運(yùn)用加法公式得到即B=A1B+A2B+A3B,

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥第32頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月1.樣本空間的劃分第33頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月一個事件發(fā)生.第34頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月2.全概率公式運(yùn)用全概率公式的關(guān)鍵在于找出樣本空間一個恰當(dāng)?shù)膭澐?說明

全概率公式的主要用途在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為若干個簡單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.第35頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因

,如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)所引起,則B發(fā)生的概率是每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生,故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和,即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我們還可以從另一個角度去理解第36頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”,每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”,即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系.A1A2A3A4A5A6A7A8B諸Ai是原因B是結(jié)果第37頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月全概率公式的使用要點(diǎn)1.如果所考慮問題的試驗(yàn)分兩步,第一步試驗(yàn)結(jié)果可確定為樣本空間的一個劃分,求與第二步試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)的事件的概率,此時可用全概率公式解決.2.用全概率公式的關(guān)鍵是確定樣本空間的一個劃分,這可以從第一步試驗(yàn)的結(jié)果確定.第38頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月例.有朋自遠(yuǎn)方來,他坐火車、坐船、坐汽車、坐飛機(jī)來的概率分別是0.3,0.2,0.1,0.4.若坐火車來,遲到的概率是0.25;坐船來,遲到的概率是0.3;坐汽車來,遲到的概率是0.1;坐飛機(jī)來,則不會遲到。問此人遲到的概率有多大?第39頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月例6:某保險(xiǎn)公司認(rèn)為,人可以分為兩類,第一類是容易出事故的,另一類,則是比較謹(jǐn)慎,保險(xiǎn)公司的統(tǒng)計(jì)數(shù)字表明,一個容易出事故的人在一年內(nèi)出一次事故的概率為0.04,而對于比較謹(jǐn)慎的人這個概率為0.02,如果第一類人占總?cè)藬?shù)的30%,那么一客戶在購買保險(xiǎn)單后一年內(nèi)出一次事故的概率為多少?第40頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月

例7甲箱中有5個正品3個次品,乙箱中有4個正品3個次品,從甲箱中任取3個產(chǎn)品放入乙箱,然后從乙箱中任取一個產(chǎn)品,求這個產(chǎn)品是正品的概率.第41頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月

例8.某間房門上鎖的概率為0.5,這個門上的鑰匙是架子上的12把鑰匙中的一把,有人在架子上任意取2把鑰匙去開門.求他能打開門的概率.第42頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月例9一商店出售的是某公司三個分廠生產(chǎn)的同型號空調(diào)器,而這三個分廠的空調(diào)器比例為3:1:2,它們的不合格品率分別,現(xiàn)在某顧客從這批空調(diào)器中任意選購一臺

試求:(1)顧客購到不合格空調(diào)器的概率;(2)若已知顧客購到不合格的空調(diào)器,試問這臺空調(diào)器是哪一個分廠生產(chǎn)的可能性較大?第43頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月該球取自哪號箱的可能性最大?這一類問題是“已知結(jié)果求原因”.在實(shí)際中更為常見,它所求的是條件概率,是已知某結(jié)果發(fā)生條件下,探求各原因發(fā)生可能性大小.某人從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:看一個例子:3.貝葉斯公式第44頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式第45頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月有三個箱子,分別編號為1,2,3,1號箱裝有1個紅球4個白球,2號箱裝有2紅球3白球,3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白?第46頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月某人從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B)將這里得到的公式一般化,就得到貝葉斯公式1231紅4白?第47頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下,尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率.第48頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用.它可以幫助人們確定某結(jié)果(事件B)發(fā)生的最可能原因.第49頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月

例某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005,患者對一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95,正常人對這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04,現(xiàn)抽查了一個人,試驗(yàn)反應(yīng)是陽性,問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:設(shè)C={抽查的人患有癌癥},

A={試驗(yàn)結(jié)果是陽性},求P(C|A).第50頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式,可得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得P(C|A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌癥?1.這種試驗(yàn)對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義?第51頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月例8答案商店出售一批收音機(jī)共10臺,其中有3件次品,其余為正品.某顧客去選購時,商店已售出2臺,該顧客從余下的8臺中任選購一臺.試求:(1)該顧客購得正品收音機(jī)的概率;

(2)若已知顧客購到正品收音機(jī),則已售出的兩臺都是次品的概率是多少?第52頁,課件共57頁,創(chuàng)作于2023年2月例9答案根據(jù)對以往數(shù)據(jù)分析,結(jié)果表明:當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時,產(chǎn)品的合格品率為90%;

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