機(jī)械控制工程jx

機(jī)械控制工程PPTJX第1頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

一、數(shù)學(xué)模型——是描述系統(tǒng)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。引言第2頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

二、線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)第3頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月黑匣子輸入（已知）輸出（已知）圖2-2

三、建立數(shù)學(xué)模型的方法：分析法——它是根據(jù)支配系統(tǒng)或元件內(nèi)在運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理定律（例如力學(xué)中的牛頓定律、電學(xué)中的基爾霍夫定律等），以及系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，推導(dǎo)出輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立數(shù)學(xué)模型。這種方法僅適用于簡(jiǎn)單的系統(tǒng)或元件。實(shí)驗(yàn)法——基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法。它是利用系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的方法。通常在對(duì)系統(tǒng)或元件的基本特征一無(wú)所知的情況下，采用這種建模方法。第4頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

一、建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟

用分析法建模的前提是對(duì)系統(tǒng)的作用原理和系統(tǒng)中各元件的物理屬性有深入的了解。2.1

系統(tǒng)的微分方程第5頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）例題解析

例2-1

設(shè)有由電感L、電容C和電阻R組成的電路，如圖所示。試列寫(xiě)以輸出電壓U2為輸出變量和以輸入電壓U1為輸入變量的運(yùn)動(dòng)方程。第6頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例2-2設(shè)有由兩個(gè)形式相同的RC電路串聯(lián)而成的濾波電路，如圖所示。試列寫(xiě)以輸出電壓為U2輸出變量和以輸入電壓U1為輸入變量的濾波電路的運(yùn)動(dòng)方程。解：列寫(xiě)兩元件串聯(lián)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，必須考慮器件的負(fù)載效應(yīng)，將前后相連的元件視為一個(gè)整體。根據(jù)基爾霍夫定律有第7頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第8頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2-3

第9頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2-4

第10頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第11頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)系統(tǒng)元部件的特性、特別是靜特性進(jìn)行嚴(yán)格地考察，幾乎程度不同的都具有非線性關(guān)系。只是在很多情況下，其非線性因素較弱，近似將其看作線性特性。當(dāng)系統(tǒng)或元件具有非線性特性時(shí)，則其動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型常為非線性微分方程，而非線性微分方程的解析求解是異常困難的，且由于非線性特性類型不同，沒(méi)有通用的解析方法。因此，在理論研究時(shí)總是力圖將非線性問(wèn)題在合理的情況下簡(jiǎn)化處理成線性問(wèn)題，即所謂的線性化。

“小偏差法”（又稱“微偏法”）是常用的線性化方法之一。

三、非線性系統(tǒng)的線性化第12頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第13頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（一）基本概念

非線性微分方程的線性化——將非線性微分方程在一定的條件下轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法。

小偏差線性化——非線性微分方程能進(jìn)行線性化的一個(gè)基本假設(shè)是變量對(duì)于平衡工作點(diǎn)的偏離很小。

第14頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）小偏差線性化的原理

若系統(tǒng)變量在平衡工作點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)存在，則在平衡工作點(diǎn)的微小鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階及二階以上的各項(xiàng)，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。

可見(jiàn)，小偏差線性化的幾何意義是在預(yù)期工作點(diǎn)鄰域內(nèi)用通過(guò)該點(diǎn)的切線近似代替原來(lái)的曲線。

對(duì)于1個(gè)變量的非線性函數(shù)對(duì)于2個(gè)變量的非線性函數(shù)第15頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（三）

“小偏差法”形象的圖解描述

我們知道，鐵芯線圈的電流與磁鏈的關(guān)系為非線性，如圖所示。如果工作過(guò)程中線圈的電流與磁鏈只在平衡工作點(diǎn)附近作微小變化，那么我們以此鐵芯線圈為例來(lái)說(shuō)明“小偏差法”的原理。第16頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)擊下圖查看Flash動(dòng)畫(huà)第17頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（四）

“小偏差法”的適用條件

“小偏差法”的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，然后忽略掉高階無(wú)窮小項(xiàng)及余項(xiàng)而得到線性化模型。（１）系統(tǒng)正常工作時(shí)有一個(gè)工作點(diǎn)(X0,Y0)，且在(X0,Y0)附近小范圍調(diào)節(jié)。

（２）非線性函數(shù)在工作點(diǎn)(X0,Y0)處各階導(dǎo)數(shù)存在（即是一個(gè)光滑的曲線）。第18頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：一系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為。求當(dāng)x在10附近時(shí)的線性化方程，并求將此線性化方程用于x＝11時(shí)的誤差。第19頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

拉普拉斯變換一、拉氏變換的定義

若將時(shí)間域函數(shù)f(t)，乘以指數(shù)函數(shù)e-st（其中s=σ+jω，是一個(gè)復(fù)數(shù)），再在0～∞(本書(shū)如無(wú)特指，∞均指+∞)之間對(duì)t進(jìn)行積分，就得到一個(gè)新的復(fù)頻域函數(shù)F(s)。

F(s)稱為f(t)的拉氏變換式，并可用符號(hào)L［f(t)］表示。

附錄第20頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)函數(shù)f(t)滿足①t<0時(shí)f(t)=0②t>0時(shí)，f(t)分段連續(xù)則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作：第21頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【例1】求單位階躍函數(shù)（UnitStepFunction）1(t)的象函數(shù)。解:在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，單位階躍函數(shù)是一個(gè)突加作用信號(hào)，相當(dāng)于一個(gè)開(kāi)關(guān)的閉合（或斷開(kāi)），單位階躍函數(shù)的定義式為圖2-7單位階躍函數(shù)第22頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由拉氏變換的定義得1(t)的象函數(shù)為(2-24)單位階躍函數(shù)如圖2-7所示。

第23頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【例2】求斜坡函數(shù)（RampFunction）的象函數(shù)。斜坡函數(shù)的定義式為式中，K為常數(shù)。

第24頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解:在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，斜坡函數(shù)是一個(gè)對(duì)時(shí)間作均勻變化的信號(hào)。在研究跟隨系統(tǒng)時(shí)，常以斜坡信號(hào)作為典型的輸入信號(hào)。同理，根據(jù)拉氏變換的定義式有(2-25)

這里應(yīng)用了積分學(xué)中的分部積分法，即若式（2-25）中K=1，則單位斜坡函數(shù)的象函數(shù)為

第25頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【例3】求指數(shù)函數(shù)（ExponentialFunction）e-αt的象函數(shù)。解：(2-26)

第26頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月部分拉氏變換表…….第27頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在應(yīng)用拉氏變換時(shí)，常需要借助于拉氏變換運(yùn)算定理，這些運(yùn)算定理都可以通過(guò)拉氏變換定義式加以證明。下面介紹幾個(gè)常用定理。1)疊加定理兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的拉氏變換等于兩個(gè)函數(shù)拉氏變換的代數(shù)和。即二、拉氏變換的運(yùn)算定理第28頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：第29頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2)比例定理

K倍原函數(shù)的拉氏變換等于原函數(shù)拉氏變換的K倍。即

L［Kf(t)］=KL［f(t)］

證明：第30頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

3)微分定理

L［f′(t)］=sF(s)-f(0)

及在零初始條件下，

L［f

(n)(t)］=snF(s)第31頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：第32頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)初始條件f(0)=0時(shí)，有L

［f′(t)］=sF(s)

同理，可求得

L

［f″(t)］=s2F(s)-sf(0)-f′(0)

…

L

［f

(n)(t)］=snF(s)-sn－1

f(0)-…-f

(n-1)(0)

若具有零初始條件，即f(0)=f′(0)=…=f(n-1)(0)=0則

L［f″(t)］=s2F(s)…

L［f(n)(t)］=snF(s)第33頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4)積分定理

及在零初始條件下,

第34頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5)位移定理（復(fù)域平移定理）

L［e-αtf(t)］=F(s+α)

6)初值定理7)終值定理

第35頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表2-2拉氏變換的主要運(yùn)算定理第36頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、拉氏反變換

由象函數(shù)F(s)求取原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換（InverseLaplaceTransform）。拉氏反變換常用下式表示:f(t)=L-1［F(s)］

拉氏變換和拉氏反變換是一