泛函分析-空間理論-西北大學(xué)中國大學(xué)mooc課后章節(jié)答案期末考試題庫2023年

泛函分析—空間理論_西北大學(xué)中國大學(xué)mooc課后章節(jié)答案期末考試題庫2023年在實數(shù)空間R中,令Q為有理數(shù)全體.以下選項中,與“Q在R中稠密"等價的是().

參考答案:

_

設(shè)A、B是線性空間X的子空間，當(dāng)它們滿足（）時，X為A與B的直和.

參考答案:

_

以下關(guān)于線性空間中凸集的描述，正確的是（）.

參考答案:

有限個凸集的交集仍是凸集_任意多個凸集的交集是凸集

設(shè)X是Banach空間,則以下命題中正確的是().

參考答案:

X的完備化空間是它自己_X的閉子空間是Banach空間_X中的任一絕對收斂的級數(shù)必收斂

在通常的范數(shù)意義下,以下賦范空間是Banach空間的是().

參考答案:

__

Banach空間必為Hibert空間,但反之不成立.

參考答案:

錯誤

在不可數(shù)集X上定義離散距離d,則距離空間(X,d)是不可分的.

參考答案:

正確

任何兩個同維數(shù)的有限維賦范空間所滿足的以下關(guān)系中，不正確的是（）.

參考答案:

內(nèi)積同構(gòu)

具有Schauder基的賦范空間一定是可分的.

參考答案:

正確

賦范空間的真子空間一定不是閉子空間，可能是開子空間.

參考答案:

錯誤

Banach空間指的是（）.

參考答案:

完備的賦范空間_一個賦范空間，其誘導(dǎo)的距離空間是完備的.

在連續(xù)函數(shù)空間中，以下說法正確的是（）.

參考答案:

柯西列一定是收斂列_收斂列一定是柯西列

設(shè)M,N是內(nèi)積空間的兩個非空開集,若【圖片】則【圖片】

參考答案:

錯誤

以下選項中，不可分的距離空間為（）.

參考答案:

有界數(shù)列空間

距離空間中的非空開集一定包含一個().

參考答案:

接觸點_閉球_開球_內(nèi)點

非空開集一定是開球.

參考答案:

錯誤

設(shè)【圖片】與【圖片】為線性空間X上的兩個等價范數(shù)，則賦范空間【圖片】與【圖片】具有相同的可分性.

參考答案:

正確

距離空間中的非空開集一定包含一個（）.

參考答案:

接觸點_閉球_內(nèi)點_開球

連續(xù)函數(shù)空間中點列的按距離收斂等價于函數(shù)列的（）.

參考答案:

一致收斂

在賦范空間中，向量列的依范數(shù)收斂等價于向量列按范數(shù)誘導(dǎo)的距離收斂.

參考答案:

正確

在實數(shù)空間中,完全有界集與有界集是等價的.

參考答案:

正確

一切無限維Hilbert空間都與【圖片】內(nèi)積同構(gòu).

參考答案:

錯誤

內(nèi)積空間的正交基一定是正交系，反之不成立.

參考答案:

正確

設(shè)E是Hilbert空間H的子空間，則以下結(jié)論中正確的是（）.

參考答案:

___

在賦范空間中，（）是凸集.

參考答案:

單位開球_子空間_單位閉球

記P[0,1]為[0,1]的實系數(shù)多項式全體,按照范數(shù)【圖片】成為賦范空間.則以下結(jié)論正確的是（）.

參考答案:

賦范空間P[0,1]不是Banach空間_P[0,1]是C[0,1]的子空間

設(shè)E是賦范空間X的子空間。若E是Banach空間，則E是閉子空間。反之不成立。

參考答案:

正確

設(shè)M是內(nèi)積空間H的緊凸集,則x在M中的最佳逼近點是存在的,但不唯一.

參考答案:

錯誤

賦范空間是內(nèi)積空間的充分必要條件是，其范數(shù)滿足平行四邊形法則。

參考答案:

正確

設(shè)距離空間X是距離空間E的完備化空間,在等距同構(gòu)的意義下,以下說法正確的是().

參考答案:

E是X的稠子空間

在實數(shù)空間中，()在無理數(shù)集中稠密.

參考答案:

有理數(shù)集

以下關(guān)于賦范空間的Hamel基以及Schauder基的描述,正確的是().

參考答案:

不可分的賦范空間一定不具有Schauder基_任何非零的賦范空間都具有Hamel基

任何非零Hilbert空間都具有標(biāo)準(zhǔn)正交基.

參考答案:

正確

在距離空間中,閉子空間與完備子空間是等價的.

參考答案:

錯誤

距離空間中的任一非空子集,其閉包未必是閉集.

參考答案:

錯誤

內(nèi)積空間一定是().

參考答案:

距離空間_賦范空間_線性空間

在距離空間中,以下說法正確的是().

參考答案:

開球是開集_開球的補集是閉集_開球的閉包是閉集_開球的內(nèi)部是開集

設(shè)【圖片】是Hilbert空間H的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基,【圖片】.則以下命題正確的是().

參考答案:

S是完全的_x關(guān)于S的Fourier級數(shù)收斂于x__S是完備的

在列緊的距離空間中,柯西列與收斂列是等價的.

參考答案:

正確

在完備的距離空間中，以下說法正確的是（）.

參考答案:

開子集一定不是完備的子空間_柯西列必為收斂列_閉子集一定是完備的子空間_收斂列必為柯西列

在可分的距離空間中，必包含（）.

參考答案:

有限子集_稠密子集_可數(shù)子集

全體有理數(shù)在（）中是稠密的.

參考答案:

實數(shù)空間

設(shè)E和F是距離空間中的點集,則以下關(guān)于“E在F中稠密”的表述正確的是().

參考答案:

_

在實數(shù)空間中,以下選項中是緊集的為().

參考答案:

[0,1]

以下關(guān)于距離空間中”柯西列與收斂列”的表述,正確的是().

參考答案:

收斂列一定是柯西列

以下關(guān)于線性空間中相關(guān)概念的敘述,不正確的是().

參考答案:

子集一定是子空間

內(nèi)積空間的任何一個正交系必是().

參考答案:

線性無關(guān)集

在距離空間中，閉子空間與完備子空間是等價的.

參考答案:

錯誤

設(shè)M,N是內(nèi)積空間H的兩個子集,則以下命題正確的是().

參考答案:

若，則._若,則._若,則._

N維歐氏空間中點列的按距離收斂等價于（）.

參考答案:

按坐標(biāo)收斂

任意多個閉集的并集是閉集.

參考答案:

錯誤

設(shè)T是從距離空間X到距離空間Y的映射，則以下命題中與“T是連續(xù)映射”等價的是（）.

參考答案:

Y中任何開集的原像是X中的開集_Y中任何閉集的原像是X中的閉集

賦范空間的子空間一定不是開子空間.

參考答案:

錯誤

每個非零的賦范空間必存在一個（）.

參考答案:

Hamel基

設(shè)X是無限維賦范空間,則以下命題正確的是().

參考答案:

X中的單位開球不是列緊集_X中的有界閉集不是緊集

Banach空間必為Hilbert空間，但反之不成立.

參考答案:

錯誤

任一非空集合上都可以定義距離，使之成為距離空間.

參考答案:

正確

設(shè)E是內(nèi)積空間H的子空間,【圖片】，則x在E中的最佳逼近點即為x在E中的投影.

參考答案:

正確

任一非空集合上都可以定義距離,使之成為距離空間.

參考答案:

正確

設(shè)M是內(nèi)積空間H的子集,則M的正交補是H的閉子空間.

參考答案:

正確

在有界數(shù)列空間中,列緊集是完全有界集.反之不成立.

參考答案:

錯誤

在以下選項中，具有完備性的距離空間是（）.

參考答案:

實數(shù)空間_N維歐氏空間_連續(xù)函數(shù)空間_離散的距離空間

在距離空間中，壓縮映射一定是（）.

參考答案:

連續(xù)映射

每個非零的賦范空間都存在一個Schauder基.

參考答案:

錯誤

在實數(shù)空間中,全體有理數(shù)在全體無理數(shù)中稠密.

參考答案:

正確

（）線性空間上的任何兩個范數(shù)等價.

參考答案:

有限維

完備的距離空間一定是列緊空間.

參考答案:

錯誤

在離散的距離空間中,以下選項中是列緊集的是().

參考答案:

有限子集_單點集

設(shè)M是線性空間X的子集，當(dāng)M滿足（）時，稱M為X的Hamel基.

參考答案:

X中任一向量都可以表示成M中有限個向量的線性組合_M中任何有限個向量的線性組合都線性無關(guān)

以下關(guān)于線性空間中相關(guān)概念的敘述，不正確的是（）.

參考答案:

子集一定是子空間

關(guān)于距離空間中點列的收斂性，以下說法正確的是（）.

參考答案:

收斂列的子列一定收斂_收斂列的極限一定屬于該距離空間_收斂列的極限是唯一的

任何無限維Hilbert空間都與【圖片】內(nèi)積同構(gòu).

參考答案:

錯誤

閉集恰好由該集合的所有()構(gòu)成.

參考答案:

接觸點

以下線性空間，不可以定義內(nèi)積的是（）.

參考答案:

其它三項都不對

賦范空間的子空間必為閉子空間.

參考答案:

錯誤

任何兩個有限維賦范空間都是拓?fù)渫瑯?gòu)的.

參考答案:

錯誤

線性空間上的任何兩個范數(shù)都等價.

參考答案:

錯誤

設(shè)X是賦范空間，則以下命題中與“X是有限維”等價的是（）.

參考答案:

X中的單位閉球是緊集_X中的單位開球是列緊集_X中的單位球面是緊集_X中的有界閉集是緊集

設(shè)X與Y是賦范空間，若映射T:X【圖片】Y滿足（），則稱T是拓?fù)渫瑯?gòu)映射.

參考答案:

是連續(xù)的_T是連續(xù)的_T是線性映射_T是雙射

設(shè)【圖片】與【圖片】為線性空間X上的兩個等價范數(shù)，則賦范空間【圖片】與【圖片】具有相同的（）.

參考答案:

列緊性_收斂列_完備性_柯西列

賦范空間的一個重要特征就是：單位球是零元的凸鄰域.

參考答案:

正確

每一個賦范空間都可以完備化，在等距同構(gòu)意義下，其完備化空間是唯一的.

參考答案:

正確

Banach空間一定是完備的距離空間，反之不成立.

參考答案:

正確

以下賦范空間中，具有Schauder基的無限維空間是（）.

參考答案:

_

設(shè)X是Banach空間，則以下命題中正確的是（）.

參考答案:

X中任一絕對收斂的級數(shù)必收斂_X的閉子空間是Banach空間_X的完備化空間是它自己

在通常的范數(shù)意義下，以下賦范空間是Banach空間的是（）.

參考答案:

__

距離空間未必是賦范空間.

參考答案:

正確

賦范子空間一定是線性子空間.

參考答案:

正確

以下命題中，正確的是（）.

參考答案:

賦范空間一定是距離空間_距離空間未必是賦范空間_距離空間未必是線性空間_賦范空間一定是線性空間

設(shè)X是線性空間，X中的范數(shù)滿足（）.

參考答案:

三角不等式_非負(fù)性_正齊次性

設(shè)A是線性空間X中，如果A中任何（）向量的線性組合都是線性無關(guān)的，則稱A是線性無關(guān)的.

參考答案:

有限個

在全體有理數(shù)Q上定義離散距離d，則（Q,d）是不完備的距離空間.

參考答案:

錯誤

在距離空間中，等距映射一定是（）.

參考答案:

單射_連續(xù)映射

以下實數(shù)空間的子空間中，不完備的是（）.

參考答案:

__

設(shè)距離空間X是距離空間E的完備化空間，在等距同構(gòu)的意義下，以下說法正確的是（）.

參考答案:

E是X的稠子空間

[0,1]上的全體有理系數(shù)多項式在連續(xù)函數(shù)空間C[0,1]中是稠密的.

參考答案:

正確

距離空間中的任一子集，其內(nèi)部一定是開集.

參考答案:

正確

距離空間中的任一子集，其閉包未必是閉集.

參考答案:

錯誤

以下選項中，一定具有可分性的距離空間是（）.

參考答案:

連續(xù)函數(shù)空間_實數(shù)空間_有理數(shù)空間

在距離空間中，以下說法正確的是（）.

參考答案:

任意多個開集的并集是開集_任意多個閉集的交集是閉集

在距離空間中，以下說法正確的是（）.

參考答案:

開球的閉包是閉集_開球的內(nèi)部是開集_開球的補集是閉集

以下說法正確的是（）.

參考答案:

開球的補集是閉集_開球是開集

開集恰好由該集合的所有（）構(gòu)成.

參考答案:

內(nèi)點

設(shè)【圖片】與【圖片】為線性空間X上的兩個等價范數(shù)，則【圖片】與【圖片】都是Banach空間.

參考答案:

錯誤

N維實向量空間【圖片】上所定義的任何兩個范數(shù)都等價.

參考答案:

正確

設(shè)X是無限維賦范空間，則以下命題正確的是（）.

參考答案:

X中的單位開球不是列緊集_X中的有界閉集不是緊集

設(shè)R是實數(shù)集，定義d(x,y)=1+|x-y|,則d是R上的距離.

參考答案:

錯誤

以下關(guān)于有限維賦范空間的描述正確的是（）.

參考答案:

有限維賦范空間的任一子空間都是閉子空間._有限維賦范空間必可分._有限維賦范空間必完備.

線性空間上的范數(shù)的“等價”滿足（）.

參考答案:

傳遞性_自反性_對稱性

一個非空集合上的距離滿足（）.

參考答案:

對稱性_三角不等式_非負(fù)性

有界數(shù)列空間中點列的按距離收斂是（）.

參考答案:

其余三項都不對

如果一個非空集合上可定義一個距離，則以下說法正確的是（）.

參考答案:

可以無限多個距離

有界數(shù)列空間的任何子空間都是不可分的.

參考答案:

錯誤

設(shè)E是賦范空間X的子空間.E是Banach空間的充分必要條件是E是X的閉子空間.

參考答案:

錯誤

設(shè)X是具有Schauder基的賦范空間，則（）.

參考答案:

X是可分的_X是無限維的

以下關(guān)于賦范空間的Hamel基以及Schauder基的描述，正確的是（）.

參考答案:

任何非零的賦范空間都具有Hamel基_不可分的賦范空間一定不具有Schauder基

每個非零的線性空間都存在一個Hamel基.

參考答案:

正確

設(shè)X是賦范空間，d是由范數(shù)誘導(dǎo)的距離，則d滿足（）.

參考答案:

平移不變性_三角不等式_相似性_對稱性

以下抽象空間中，既是距離空間，又是線性空間的是（）.

參考答案:

__

內(nèi)積同構(gòu)映射必為（）.

參考答案:

等距映射_線性映射_拓?fù)渫瑯?gòu)映射_雙射

標(biāo)準(zhǔn)正交系必為線性無關(guān)集，反之不成立.

參考答案:

正確

設(shè)M是Hilbert空間H的非空子集,則【圖片】

參考答案:

正確

賦范空間的真子空間一定不是閉子空間,可能是開子空間.

參考答案:

錯誤

距離空間之間的連續(xù)映射,把緊集映成列緊集.

參考答案:

正確

定義在離散距離空間上的任何映射都是連續(xù)的.

參考答案:

正確

可分的Hilbert空間H所具有的性質(zhì)是().

參考答案:

H必為非零Hilbert空間_H一定存在標(biāo)準(zhǔn)正交基_H的標(biāo)準(zhǔn)正交基是至多可數(shù)的

在距離空間中,以下關(guān)于列緊集性質(zhì)的描述,正確的是().

參考答案:

可列點集未必是列緊集_有限個列緊集的并集是列緊集_單點集是列緊集_有限點集是列緊集

在連續(xù)函數(shù)空間中,以下說法正確的是().

參考答案:

閉子集是完備子集_收斂列一定是柯西列_收斂列一定是有界列_柯西列一定是收斂列

設(shè)M是內(nèi)積空間H的子集,則M的正交補是H的().

參考答案:

閉子空間

列緊的距離空間必().

參考答案:

完備

在距離空間中,以下說法正確的是().

參考答案:

完備子空間一定是閉子空間

在不可數(shù)集X上定義離散距離d,則距離空間(X,d)是().

參考答案:

不可分的

離散距離空間中的任一子集是（）的集合.

參考答案:

既開又閉

完備的距離空間一定是可分的.

參考答案:

錯誤

設(shè)X是距離空間，T是X到X的映射.壓縮映射定理成立的條件是（）.

參考答案:

T是壓縮映射_X是完備的

以下關(guān)于距離空間中”柯西列與收斂列“的表述，正確的是（）.

參考答案:

收斂列一定是柯西列

在不可數(shù)集X上定義離散距離d，則距離空間（X,d）是不可分的.

參考答案:

正確

有界數(shù)列空間是可分的距離空間.

參考答案:

錯誤

關(guān)于內(nèi)點與接觸點，以下說法正確的是（）.

參考答案:

內(nèi)點一定是接觸點_接觸點可能是內(nèi)點

閉集恰好由該集合的所有（）構(gòu)成.

參考答案:

接觸點

設(shè)C[0,1]是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)全體，定義【圖片】則d是C[0,1]上的一個距離.

參考答案:

正確

距離空間中的收斂點列滿足（）.

參考答案:

其任一子列必收斂_其極限是唯一的

離散距離空間中點列的按距離收斂是（）.

參考答案:

其余三項都不對

在一個非空集合上()可以定義距離.

參考答案:

一定

復(fù)內(nèi)積空間上的內(nèi)積滿足（）.

參考答案:

非負(fù)性_對第一變元的線性性質(zhì)

以下線性空間中，可以定義內(nèi)積的是（）.

參考答案:

___

對任一賦范空間，其范數(shù)未必滿足平行四邊形法則。

參考答案:

正確

設(shè)A是線性空間X的子集，則A的線性包是包含A的最小閉子空間.

參考答案:

錯誤

設(shè)E是內(nèi)積空間H的子空間，【圖片】則x在E中的最佳逼近點即為x在E中的投影.

參考答案:

正確

設(shè)【圖片】是內(nèi)積空間H的一個標(biāo)準(zhǔn)正交系，【圖片】則x的Fourier級數(shù)【圖片】必收斂于x.

參考答案:

錯誤

平方可和的數(shù)列空間【圖片】具有Schauder基.

參考答案:

正確

內(nèi)積空間的任何一個正交系都是線性無關(guān)集.

參考答案:

正確

對任一賦范空間,其范數(shù)未必滿足平行四邊形法則.

參考答案:

正確

賦范子空間一定是距離子空間,且為線性子空間.

參考答案:

正確

設(shè)A是線性空間的子集,則A的線性包是包含A的最小閉子空間.

參考答案:

錯誤

在連續(xù)函數(shù)空間中,列緊集的閉包是緊集.

參考答案:

正確

在完備的距離空間中,完全有界集未必是列緊集.

參考答案:

錯誤

在等距同構(gòu)的意義下,任何距離空間都存在唯一的完備化空間.

參考答案:

正確

在全體有理數(shù)Q上定義離散距離d,則(Q,d)是不完備的距離空間.

參考答案:

錯誤

離散距離空間上的任一子集既是開集又是閉集.

參考答案:

正確

設(shè)E是Hilbert空間H的子空間，則以下結(jié)論中正確的是().

參考答案:

___

設(shè)【圖片】是內(nèi)積空間H的一個標(biāo)準(zhǔn)正交系,【圖片】.則以下命題正確的是().

參考答案:

__

內(nèi)積同構(gòu)映射必為().

參考答案:

雙射_等距映射_拓?fù)渫瑯?gòu)映射_線性映射

設(shè)T是從距離空間X到距離空間Y的映射，則以下命題中與“T是連續(xù)映射”等價的是().

參考答案:

Y中任何閉集的原像是X中的閉集_Y中任何開集的原像是X中的開集

關(guān)于內(nèi)點與接觸點,以下說法不正確的是().

參考答案:

內(nèi)點未必是接觸點_接觸點一定是內(nèi)點

關(guān)于距離空間中點列的收斂性，以下說法正確的是().

參考答案:

收斂列的極限一定屬于該距離空間_收斂列的子列一定收斂_收斂列的極限是唯一的

設(shè)M是內(nèi)積空間H的緊凸集,則x在M中的最佳逼近點滿足().

參考答案:

存在且唯一

賦范空間的真子空間一定不是（）.

參考答案:

開子空間

在()上,完全有界集與有界集是等價的.

參考答案:

實數(shù)空間

定義在()