初中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教學(xué)的案例

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)課程不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。①在以課例為載體的教師行動(dòng)教育中，我們通過(guò)設(shè)計(jì)折紙活動(dòng)讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探索與合作交流，豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和教師的教學(xué)方式，在此過(guò)程中，學(xué)生找到了學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，而教師對(duì)數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式也有了新的認(rèn)識(shí)。一、設(shè)計(jì)折紙活動(dòng)的背景。三角形的中位線一直是各種版本的初中幾何教材中的經(jīng)典內(nèi)容，很多公開課都選了這個(gè)內(nèi)容。但在大量的聽課與教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)三角形中位線性質(zhì)的證明，是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，只有少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生能在課上獨(dú)立完成，大多數(shù)學(xué)生在證明中面臨困難。如何有效地解決這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)是我們課例研究的出發(fā)點(diǎn)。眾所周知，用操作、觀察、猜想、分析的手段去感悟幾何圖形的性質(zhì)是學(xué)習(xí)幾何的重要方法。由此，我們想到了從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)出發(fā)，重新設(shè)計(jì)三角形的中位線的教學(xué)過(guò)程。讓學(xué)生從研究折紙中的圖形性質(zhì)探索出三角形的中位線性質(zhì)并加以說(shuō)明。一方面，折紙活動(dòng)本身能喚起學(xué)生很多美好的回憶，如折紙飛機(jī)、紙帆船、千紙鶴、寶葫蘆等。另一方面，折紙活動(dòng)又是一種有效的操作活動(dòng)，學(xué)生可以通過(guò)自己動(dòng)手操作來(lái)感悟圖形的幾何性質(zhì)，運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題。而且折紙活動(dòng)本身也承載著許多重要的幾何問(wèn)題，可以提煉出更一般的幾何方法，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、好奇心與探索精神，有重要的價(jià)值。二、教學(xué)目標(biāo)。1.在折紙的情境中，能綜合運(yùn)用角平分線、線段垂線的性質(zhì)及與三角形、四邊形相關(guān)的一些性質(zhì)和判定。2.建立生活世界中的一些活動(dòng)(剪紙與折紙游戲)與幾何世界的多種聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)幾何的興趣。3.建立幾何與現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思考方式(聯(lián)想、類比、直覺(jué)思維)。4.經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程：觀察一探索一猜想一驗(yàn)證，體會(huì)科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律。三、教學(xué)過(guò)程。1.創(chuàng)設(shè)情境。師：同學(xué)們，你們做過(guò)折紙游戲嗎?折紙飛機(jī)、紙船、紙葫蘆、紙鶴等都很有趣。我們?cè)谌粘Ｉ钪薪佑|最多的紙張是長(zhǎng)方形的，如把這樣一張紙折起一個(gè)角，就得到了一個(gè)直角三角形(教師演示)，那么怎樣用長(zhǎng)方形的紙片折出等腰三角形呢?請(qǐng)同學(xué)們折一下。(學(xué)生聯(lián)想以往的折紙方式折紙。)2.提出問(wèn)題。(1)導(dǎo)入問(wèn)題--把一個(gè)直角三角形折成長(zhǎng)方形。師：我們已經(jīng)知道長(zhǎng)方形紙片能折出直角三角形。現(xiàn)在考慮反方向的問(wèn)題，即直角三角形紙片能否折成長(zhǎng)方形?(學(xué)生以小組為單位，進(jìn)行觀察、嘗試、討論折紙，探索折法，表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)。)師：(實(shí)物投影)我們展開紙片，畫出折痕，并標(biāo)上字母(如圖1)。回想折紙過(guò)程，你有什么發(fā)現(xiàn)?(教師提示：注意圖中線段的位置與長(zhǎng)度的關(guān)系，圖中是否有等腰三角形?哪些三角形全等?)ABGC圖1生：(教師邊歸納邊板書)①EF=GB=GC=BC/2.EG=AF=FC=AC/2.因此EF‖BC，EG‖AC。②折痕將三角形ABC分成四個(gè)全等的直角三角形，兩個(gè)等腰三角形。③連接EC，AE=BE=EC=AB/2，A+B=90。師：通過(guò)觀察我們這張紙(圖1)，大家知道了E是AB的中點(diǎn)，并且得到三點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，其中第三點(diǎn)中的兩條性質(zhì)我們以前證明過(guò)，今天我們用折紙的方法又一次進(jìn)行了說(shuō)明。請(qǐng)大家過(guò)中點(diǎn)G、F作一條折痕，思考這條折痕GF與斜邊AB有什么關(guān)系?它能不能成為長(zhǎng)方形的一邊?(2)一般問(wèn)題--把一個(gè)任意三角形折成長(zhǎng)方形。師：現(xiàn)在，我們考慮更一般的問(wèn)題，即一般三角形的紙片能否折成長(zhǎng)方形?請(qǐng)同學(xué)們折一折。(學(xué)生嘗試用任意三角形折長(zhǎng)方形。教師巡視中指導(dǎo)：同學(xué)們可以回想剛才是怎樣折的?；顒?dòng)進(jìn)行得差不多時(shí)，學(xué)生在投影儀上演示：用高線轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形的折疊過(guò)程。)師：我們打開紙片展平，畫出所有折痕，并標(biāo)上字母(如圖2)。從剛才的折紙活動(dòng)中，你發(fā)現(xiàn)了這個(gè)圖形中線段、角和三角形之間存在哪些位置、形狀、數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)各小組的同學(xué)討論一下，發(fā)表小組討論結(jié)果。ABGDHC圖2(教師邊歸納邊板書學(xué)生討論的結(jié)果。)①關(guān)于中點(diǎn)：AE=BE=AB/2，AF=CF=AC/2.BG=DG=BD/2.CH=DH=CD/2;②斜邊上中線：DE=AB/2，DF=AC/2;③關(guān)于中位線：EF=BC/2，GE=AD/2。FH=AD/2。3.提出猜想。師：你認(rèn)為在什么條件下才能得到一條線段是另一條線段的一半長(zhǎng)?學(xué)生發(fā)現(xiàn)：①線段的中點(diǎn);②直角三角形斜邊上的中線;③三角形兩邊的中點(diǎn)連線。師：我們實(shí)際上是找到了△ABC兩條邊上的中點(diǎn)E、F，我們把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線?，F(xiàn)在你們猜測(cè)一下這個(gè)中位線與第三邊有什么樣的關(guān)系?(學(xué)生提出猜想：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。)4.說(shuō)明結(jié)論。師：剛才大家猜出了三角形中位線的性質(zhì)，現(xiàn)在你是否能驗(yàn)證這個(gè)性質(zhì)并加以說(shuō)明。(學(xué)生折紙，用折紙比較各條邊長(zhǎng)及各個(gè)角的大小。)師：小組內(nèi)討論一下，如何驗(yàn)證?如何說(shuō)明?(教師巡視中指導(dǎo)：你的說(shuō)明要讓別人相信你是正確的。)哪位同學(xué)愿意來(lái)這里(講臺(tái))向大家說(shuō)明!你們還有什么疑問(wèn)提出來(lái)。(學(xué)生相互說(shuō)明與辯論。在實(shí)物投影儀上說(shuō)明①A+B+C=180。;②四邊形EFHG是長(zhǎng)方形。)師：我們一起發(fā)現(xiàn)了三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半，并通過(guò)折紙方法進(jìn)行了驗(yàn)證與說(shuō)明，以后我們還要進(jìn)一步證明與應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)。5.交流體驗(yàn)。師：這節(jié)課你知道了什么?學(xué)會(huì)了什么?有什么發(fā)現(xiàn)?有什么體會(huì)?還有什么問(wèn)題與困惑?生1：這節(jié)課使我知道了折紙中也有數(shù)學(xué)道理，感覺(jué)到生活中處處有數(shù)學(xué)，今后要多觀察，多思考。生2：我在用直角三角形折長(zhǎng)方形時(shí)，與組里其他同學(xué)的折法不一樣，經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)折的長(zhǎng)方形沒(méi)有其他同學(xué)的大。我又折了幾次發(fā)現(xiàn)這樣拆(手舉如圖1方式的折紙)面積是最大的，是三角形面積的一半。生3：我覺(jué)得用折紙比較線段和角的關(guān)系很方便，比如說(shuō)可以同時(shí)折兩個(gè)一樣的圖形比來(lái)比去容易通過(guò)做產(chǎn)生出猜想，今后學(xué)幾何要多用這種方法。師：同學(xué)們，我們?cè)谡奂埐僮髦?，通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)關(guān)系，形成猜想，并證明我們的猜想，得出結(jié)論。這是人們發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要方法。6.布置作業(yè)。師：今天課后的作業(yè)是用正方形的紙片折疊圖形，按工作單進(jìn)行操作與探究，從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。四、教學(xué)活動(dòng)后教研從上述過(guò)程可以看出，教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程經(jīng)歷了創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題、提出猜想、說(shuō)明結(jié)論、交流體驗(yàn)與布置作業(yè)6個(gè)環(huán)節(jié)。在隨后的教研活動(dòng)中教師們對(duì)如下幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行討論，引發(fā)了我們更多的思考。1.關(guān)于活動(dòng)式教學(xué)。活動(dòng)教學(xué)方式，主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生從已有生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)、在動(dòng)手操作的活動(dòng)過(guò)程中學(xué)習(xí)，進(jìn)而完成對(duì)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)。但是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的發(fā)生又不同于科學(xué)探究活動(dòng)，具體實(shí)物材料的擺弄和操作(折紙活動(dòng))只是外在的活動(dòng)，而實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)探究往往發(fā)生在學(xué)生的頭腦里--教師的任務(wù)就是使學(xué)生經(jīng)歷直觀一感性認(rèn)識(shí)一理性思考的活動(dòng)過(guò)程，同時(shí)體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程(從猜想到說(shuō)明/證明)的欣喜和挑戰(zhàn)。而折紙中的圖形性質(zhì)這一課例無(wú)疑關(guān)注了學(xué)生對(duì)過(guò)程性知識(shí)的學(xué)習(xí)并增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的情感體驗(yàn)。布魯納也指出：我們教一門科目，并不是希望學(xué)生成為該科目的一個(gè)小型書庫(kù)，而是要他們參與獲得知識(shí)的過(guò)程。學(xué)習(xí)是一種過(guò)程，而不是結(jié)果。②可見(jiàn)，讓學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)本身比學(xué)會(huì)什么更重要。2。關(guān)于問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)。杜威的教學(xué)五步③反映了他做中學(xué)的教育思想，具體地體現(xiàn)為教師在教學(xué)中要為學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)的真實(shí)情境--與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的情境;與此同時(shí)給予一些暗示，使學(xué)生有興趣了解某個(gè)問(wèn)題。本課例中把三角形折成一個(gè)長(zhǎng)方形是以折紙情境中產(chǎn)生的真實(shí)問(wèn)題作為思維的刺激物，來(lái)激發(fā)學(xué)生邁向幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)。教師不是把現(xiàn)成的教材提供給學(xué)生，而是要學(xué)生參與到活動(dòng)中去，啟發(fā)與引導(dǎo)學(xué)生從自己的生活經(jīng)驗(yàn)以及折紙活動(dòng)中自然產(chǎn)生出方法(實(shí)際上是學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)的有效運(yùn)用)，來(lái)應(yīng)對(duì)折紙情境中所產(chǎn)生的問(wèn)題、考慮從前沒(méi)有認(rèn)識(shí)到的事物，使經(jīng)驗(yàn)有真正的增長(zhǎng)，形成新性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)。而且在情境的實(shí)踐活動(dòng)中存在著大量的默會(huì)知識(shí)，所以實(shí)施有效的活動(dòng)式教學(xué)的關(guān)鍵在于處理好顯性知識(shí)與默會(huì)知識(shí)學(xué)習(xí)的四種關(guān)系--即言傳、內(nèi)化、外顯、意會(huì)的有機(jī)整合;。④并在此基礎(chǔ)之上，有效地進(jìn)行知識(shí)的傳承與創(chuàng)新。⑤3.關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地思維。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是高度抽象。如抽象的概念、抽象的關(guān)系，但它們都有非常多的現(xiàn)實(shí)背景。該課例在教學(xué)設(shè)計(jì)中關(guān)注了這個(gè)特點(diǎn)，力圖體現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)的現(xiàn)實(shí)背景，并從中選取與學(xué)生生活世界密切相關(guān)的情境，使學(xué)生思維的抽象過(guò)程猶如自然發(fā)生。這樣，學(xué)生感受到了鮮活的數(shù)學(xué)而不僅僅是它冰冷的美麗。數(shù)學(xué)的另一特點(diǎn)是嚴(yán)密性，表現(xiàn)為邏輯嚴(yán)格與計(jì)算精確，這種嚴(yán)密過(guò)程正體現(xiàn)了人類認(rèn)識(shí)的逐漸深化。在課例中，我們也注意了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在直觀幾何到證明幾何的嚴(yán)謹(jǐn)化過(guò)程之中做一過(guò)渡，進(jìn)行幾何說(shuō)明，即要求學(xué)生做到讓別人信服你是正確的。以此啟蒙證明與反駁的思維方式。同時(shí)，這反映了一個(gè)逐漸追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^(guò)程。在課例設(shè)計(jì)的問(wèn)題解決活動(dòng)中，體現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)家常用的思想方法：(1)思考問(wèn)題的逆(反方向)問(wèn)題，以提出新問(wèn)題(如從用常見(jiàn)的長(zhǎng)方形紙折出三角形問(wèn)題到反過(guò)來(lái)的用三角形紙折長(zhǎng)方形問(wèn)題);(2)從一般問(wèn)題的特例(直角三角形折為長(zhǎng)方形)人手，尋找問(wèn)題解決的思路;(3)把一個(gè)一般性問(wèn)題(一般三角形折為長(zhǎng)方形)轉(zhuǎn)化為解決過(guò)的問(wèn)題(直角三角形折成長(zhǎng)方形)的轉(zhuǎn)化與化歸思想;(4)歸納與分類的思想(把折紙中發(fā)現(xiàn)的諸多關(guān)系歸納出來(lái)，并進(jìn)行分類);(5)從變化中尋找不變性的思想(折紙中變化的線段長(zhǎng)度與長(zhǎng)度的倍半關(guān)系)。4.關(guān)于活動(dòng)課過(guò)程的展開?；顒?dòng)課中學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)如何展開?這取決于多種因素，主要有教師特點(diǎn)、學(xué)生基礎(chǔ)、內(nèi)容水平、方法運(yùn)用與情境引入，等等。毫無(wú)疑問(wèn)，學(xué)生的主動(dòng)探索與嘗試是活動(dòng)課展開的核心，這里教師如何引導(dǎo)是非常關(guān)鍵的。在設(shè)計(jì)教師的引導(dǎo)活動(dòng)時(shí)，我們經(jīng)歷了驗(yàn)證學(xué)過(guò)定理(復(fù)習(xí))還是發(fā)現(xiàn)(數(shù)學(xué))問(wèn)題，以知識(shí)結(jié)構(gòu)組織方式作為主要路線還是以認(rèn)知活動(dòng)序進(jìn)為主要線索及活動(dòng)中默會(huì)層面的知識(shí)如何感悟等問(wèn)題的困擾，曾幾易教學(xué)設(shè)計(jì)，幾次實(shí)踐探索。如，在第一稿的設(shè)計(jì)中教師打算通過(guò)折紙活動(dòng)復(fù)習(xí)本學(xué)期學(xué)過(guò)的線段垂直平分線、角的平分線、直角三角形斜邊中線等定理及含30。角的直角三角形性質(zhì)定理，還探究以前沒(méi)有學(xué)過(guò)的三角形中位線定理。這實(shí)際上是通過(guò)折紙驗(yàn)證定理，折紙活動(dòng)把定理的復(fù)習(xí)與發(fā)現(xiàn)貫穿起來(lái)，課堂的容量自然就不小了。但在后來(lái)學(xué)習(xí)共同體的研討中，大家認(rèn)識(shí)到通過(guò)折紙操作驗(yàn)證已學(xué)過(guò)的幾何定理，失去了操作的意義，也會(huì)占用較多的課堂時(shí)間，教學(xué)重點(diǎn)要定位于學(xué)生通過(guò)折紙操作來(lái)發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，為學(xué)生提供更多機(jī)會(huì)和時(shí)間，讓學(xué)生提問(wèn)與質(zhì)疑、嘗試與探究、討論與交流、歸納與總結(jié)。促使學(xué)生思維開放，在積極探索中形成創(chuàng)新性的思考與看待問(wèn)題的方式，并藉此獲得知識(shí)。又如，在第一次上課之后，執(zhí)教老師反思道：以往教學(xué)中注重的是幾何論證，講究的是邏輯推理的嚴(yán)密性，不太關(guān)注知識(shí)是如何產(chǎn)生的;而折紙活動(dòng)是操作幾何，教師和學(xué)生都一時(shí)難以適應(yīng)從折紙的角度去探究、去發(fā)現(xiàn)、去驗(yàn)證。大家仔細(xì)觀察課堂錄像后認(rèn)為，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)與學(xué)生實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)的情節(jié)，激活學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)循序漸進(jìn)和學(xué)以致用。又如，在后來(lái)的一次平行班上課中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在折紙活動(dòng)中思維放開了，有了多種嘗試和結(jié)果，能夠較好地體現(xiàn)學(xué)生的主體性，但是操作與嘗試的方向不夠明確，深度上也有欠缺。仔細(xì)觀察課堂錄像使我們認(rèn)清了教學(xué)中的另一主體⑥--教師的作用，教師如何點(diǎn)撥、引導(dǎo)使學(xué)生在多種嘗試和結(jié)果中提煉出關(guān)鍵問(wèn)題與有用的知識(shí)，不僅是教學(xué)設(shè)計(jì)中要講究的，也是教學(xué)實(shí)踐中師生智慧的體現(xiàn)，也與默會(huì)層面的知識(shí)傳遞有關(guān)。此外，教師在設(shè)計(jì)活動(dòng)式教學(xué)時(shí)