吉林省長春市市省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

吉林省長春市市省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則2a10－a12＝（

）A．24

B．22

C．20

D．18參考答案：A2.圓與圓的位置關(guān)系是（）A．相離

B．內(nèi)含

C．外切

D．內(nèi)切參考答案：D3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，而，通過計(jì)算，猜想等于()A、

B、

C、

D、參考答案：B4.已知命題，那么是A．

B．C．

D．參考答案：B5.已知為定義在(－∞,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且對于恒成立（e為自然對數(shù)的底），則（

）A. B.C. D.與大小不確定參考答案：C【分析】由題設(shè)條件可知，需構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，得出在上單調(diào)遞減，經(jīng)過運(yùn)算變形，從而推得結(jié)果.【詳解】由題意可知，對于恒成立，且為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，∴可構(gòu)造函數(shù)，在上可導(dǎo)∴對于恒成立∴在上單調(diào)遞減∴∴經(jīng)過運(yùn)算化簡可知選C故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，以及函數(shù)的構(gòu)造，處理函數(shù)值的大小比較，要求學(xué)生對函數(shù)以及導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與形式非常熟悉，才能形成構(gòu)造函數(shù)的思維，對學(xué)生要求較高，為中等難度題型.小記，當(dāng)，則可構(gòu)造函數(shù).6.某人在打靶中,連續(xù)射擊2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

(

)

A.至多有一次中靶

B.兩次都中靶

C.兩次都不中靶

D.只有一次中靶參考答案：C略7.某城市2016年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率P其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染．該城市2016年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A8.在中，分別是所對邊的邊長，若，則的值是（

）A．1 B． C． D．2參考答案：B考點(diǎn)：兩角和與差的三角函數(shù)試題解析：因?yàn)樗约?又因?yàn)?、都是的?nèi)角是直角是等腰直角三角形。故答案為：B9.已知拋物線，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△ABC三條邊AB，BC，AC的中點(diǎn)分別為M，N，Q，且M，N，Q的縱坐標(biāo)分別為.若直線AB，BC，AC都存在斜率且它們的斜率之和為－1，則的值為（

）A．－1009

B.

C.

D.－2018參考答案：A10.拋物線y=x2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為（）A．1 B．2 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2=2y，2p=2，p=1，則焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，），準(zhǔn)線方程：y=﹣，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離d=﹣（﹣）=1．【解答】解：由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2=2y，可知焦點(diǎn)在y軸上，2p=2，p=1，則焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，），準(zhǔn)線方程：y=﹣，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離d=﹣（﹣）=1，故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值為__________．參考答案：5【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出表示的可行域，如圖，設(shè)，則，當(dāng)在軸上截距最大時(shí)，最大，由，得，點(diǎn)，由圖可知，直線過時(shí)，最大值為，故答案為5.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.12.已知，經(jīng)過兩點(diǎn)的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。參考答案：略13.命題“”的否定形式為___________________.參考答案：14.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為米．參考答案：2【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先建立直角坐標(biāo)系，將A點(diǎn)代入拋物線方程求得m，得到拋物線方程，再把y=﹣3代入拋物線方程求得x0進(jìn)而得到答案．【解答】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=my，將A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面寬為2m．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生利用拋物線解決實(shí)際問題的能力．15.雙曲線的漸近線方程為

▲

.

參考答案：略16.把正整數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖三角形數(shù)表（每行比上一行多一個(gè)數(shù)）：設(shè)（i、j∈N*）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如＝8，則為

。參考答案：130017.求滿足的的取值集合是______________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知：對于任意的多項(xiàng)式與任意復(fù)數(shù)z，整除。利用上述定理解決下列問題：（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：；（2）求所有滿足整除的正整數(shù)n構(gòu)成的集合A。參考答案：（1）令解得兩個(gè)根，這里所以（2）記。有兩個(gè)根，這里，19.已知函數(shù)，其中a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】（Ⅰ）．令f'（2）=0，能求出a的值．（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，．故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（﹣1，0）．當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x1=0，或．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，列表討論f（x）與f'（x）的情況能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ）由（Ⅱ）知a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由f（0）=0，知不合題意．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，+∞）的最大值是，由，知不合題意．當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合題意．由此能求出f（x）在[0，+∞）上的最大值是0時(shí)，a的取值范圍是[1，+∞）．【解答】（理）（本小題滿分12分）（Ⅰ）解：．依題意，令f'（2）=0，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意．…（4分）（Ⅱ）解：①當(dāng)a=0時(shí)，．故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（﹣1，0）．②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x1=0，或．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）與f'（x）的情況如下：x（﹣1，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）﹣0+0﹣f（x）↘f（x1）↗f（x2）↘所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是（﹣1，0）和．當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（﹣1，+∞）．當(dāng)a＞1時(shí)，﹣1＜x2＜0，f（x）與f'（x）的情況如下：x（﹣1，x2）x2（x2，x1）x1（x1，+∞）f'（x）﹣0+0﹣f（x）↘f（x2）↗f（x1）↘所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和（0，+∞）．③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（﹣1，0）．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（﹣1，0）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是，減區(qū)間是（﹣1，0）和；當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的減區(qū)間是（﹣1，+∞）；當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是；減區(qū)間是和（0，+∞）．…（10分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由f（0）=0，知不合題意．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，+∞）的最大值是，由，知不合題意．當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合題意．所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0時(shí)，a的取值范圍是[1，+∞）．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．20.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通項(xiàng)an；（2）求前n項(xiàng)和。參考答案：(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的根，且a4＞a3，∴a3＝9且a4＝13，從而a1＝1，公差d＝4，故通項(xiàng)an＝1＋4(n－1)＝4n－3.(2)由(1)知＝2n2－n，21.如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，（1）求證：MN∥平面PAD；（2）求證：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°，求證：平面BMN⊥平面PCD．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【專題】證明題；綜合題．【分析】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接AE、EN，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，我們可得四邊形AMNE為平行四邊形，即MN∥AE，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理得到MN∥平面PAD．（2）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，可得PA⊥AB，AD⊥AB，由線面垂直的判定定理得AB⊥平面PAD，結(jié)合線面垂直的判定定理及性質(zhì)，即可得到MN⊥CD；（3）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面，∠PDA=45°，E是PD的中點(diǎn)，可得MN⊥PD，MN⊥CD，由線面線面垂直的判定定理得MN⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得面BMN⊥平面PCD．【解答】證明：（1）如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連接AE、EN，則有EN===AM，EN∥CD∥AB∥AM，故AMNE是平行四邊形，∴MN∥AE，∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD．（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AE，即AB⊥MN，又CD∥AB，∴MN⊥CD．（3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA=45°，E是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD，即MN⊥PD，又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD，∵M(jìn)N?平面BMN∴平面BMN⊥平面PCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．22.求經(jīng)過兩點(diǎn)A（﹣1，4）、