四川省宜賓市縣蕨溪中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

四川省宜賓市縣蕨溪中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)，已知函數(shù)，對于任意，都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為任意，，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，求得和，由，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，由當(dāng)時，對于任意，都有，即對于任意，，由于，那么在上單調(diào)遞減，而，在上單調(diào)遞減，所以，，則，那么，或，結(jié)合，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性與，以及函數(shù)單調(diào)性，求解參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.過點(diǎn)（5，2），且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是

A．

B．或

C．

D．或參考答案：B3.集合，，若，則的值為()A.0

B.1

C.2

D.4參考答案：D4.已知邊長為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點(diǎn)，以AD為折痕，將△ABC折成直二面角，則過A，B，C，D四點(diǎn)的球的表面積為A.2π

B.3π

C.4π

D.5π

參考答案：D折后的圖形可放到一個長方體中，其體對角線長為， 故其外接球的半徑為，其表面積為.故選D.5.有一個幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體應(yīng)是一個（）A．棱臺 B．棱錐 C．棱柱 D．都不對參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖還原實(shí)物圖．【分析】根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖的形狀，將它們相交得到幾何體的形狀．【解答】解：由三視圖知，從正面和側(cè)面看都是梯形，從上面看為正方形，下面看是正方形，并且可以想象到連接相應(yīng)頂點(diǎn)的四條線段就是幾何體的四條側(cè)棱，故這個三視圖是四棱臺．故選A．【點(diǎn)評】本題考查幾何體的三視圖與直觀圖之間的相互轉(zhuǎn)化．6.已知函數(shù)f（x）=Asin（，其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為（

）

A．

B．C． D．參考答案：B7.設(shè)a，b∈R，集合，則b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2參考答案：C考點(diǎn)：集合的相等；集合的確定性、互異性、無序性．分析：根據(jù)題意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意義，結(jié)合集合中元素的特征，可得a+b=0，進(jìn)而分析可得a、b的值，計(jì)算可得答案．解答：解：根據(jù)題意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，則b﹣a=2，故選C．點(diǎn)評：本題考查集合元素的特征與集合相等的含義，注意從特殊元素下手，有利于找到解題切入點(diǎn)8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則(

)A．11 B．16 C．20 D．28參考答案：C略9.（文科）若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過點(diǎn)，則A．

B．

C．

D．參考答案：B10.設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）=0，當(dāng)x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】由已知當(dāng)x＞0時總有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價于x?g（x）＞0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可．【解答】解：設(shè)g（x）=，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g′（x）=，∵當(dāng)x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，即當(dāng)x＞0時，g′（x）恒小于0，∴當(dāng)x＞0時，函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，又∵g（﹣x）====g（x），∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)又∵g（﹣1）==0，∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0?或，?0＜x＜1或x＜﹣1．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列數(shù)陣稱為“森德拉姆篩”，其特點(diǎn)是每行每列都是等差數(shù)列，則表中數(shù)字2010共出現(xiàn)的次數(shù)為

.234567┅35791113┅4710131619┅5913172125┅61116212631┅71319253137┅┅┅┅┅┅┅┅

參考答案：略12.等比數(shù)列（）中，若，，則

.參考答案：64在等比數(shù)列中，，即，所以，。所以。13.若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值為

▲

；若該平面區(qū)域存在點(diǎn)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲

.參考答案：，14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，）到直線l：的距離為

.

參考答案：115.海中有一小島，周圍nmile內(nèi)有暗礁，海輪由西向東航行，望見這島在北偏東60°，航行6nmile以后，望見這島在北偏東30°.如果這艘海輪不改變航向繼續(xù)前行，則經(jīng)過________nmile后海輪會觸礁.參考答案：16.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊經(jīng)過點(diǎn)，的值為

參考答案：17.在一個袋內(nèi)裝有同樣大小、質(zhì)地的五個球，編號分別為1、2、3、4、5，若從袋中任意取兩個，則編號的和是奇數(shù)的概率為

（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.參考答案：從袋中任意取兩個球，共有種。若編號為奇數(shù)，則有種，所以編號的和是奇數(shù)的概率為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知關(guān)于x的函數(shù)g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2g（x）．（1）當(dāng)a=﹣2時，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）在區(qū)間（，e）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，試求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到f′（）?f′（e）＜0，求出a的范圍即可．【解答】解：（1）a=﹣2時，g（x）=+2lnx，g′（x）=，（x＞0），令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；（2）f（x）=x2g（x）=2x﹣ax2lnx，定義域是（0，+∞），f′（x）=2﹣a（x+2xlnx），若a=0，則f′（x）=2≠0，不存在極值點(diǎn)，故a≠0，令h（x）=f′（x）=2﹣a（x+2xlnx），h′（x）=﹣a（3+2lnx），x∈（，e）時，3+2lnx＞0，故h′（x）＞0恒成立或h′（x）＜0恒成立，∴f′（x）在（，e）是單調(diào)函數(shù)，∵f（x）在區(qū)間（，e）內(nèi)有且只有1個極值點(diǎn)，∴f′（x）在（，e）有唯一解，由零點(diǎn)存在定理，得：f′（）?f′（e）＜0，得（2+a）（2﹣3ea）＜0，解得：a＜﹣2e或a＞，綜上，a＜﹣2e或a＞．19.（本小題滿分12分）如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2,底面ABC⊥側(cè)面AA1B1B,為CC1的中點(diǎn),.(1)證明：AB1⊥平面A1OP.(2)若M是棱AC上一點(diǎn),且滿足,求二面角的余弦值.參考答案：解：(1)取的中點(diǎn)，連接，易證為平行四邊形，從而.由底面?zhèn)让?，底面?zhèn)让妫?，底面，所以?cè)面，即側(cè)面，又側(cè)面，所以，又側(cè)面為菱形，所以，從而平面，因?yàn)槠矫?，所?(2)由(1)知，，，，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)閭?cè)面是邊長為2的菱形，且，所以，，，，，，得.設(shè)，得，所以，所以.而.所以，解得.所以，，.設(shè)平面的法向量，由得，取.而側(cè)面的一個法向量.設(shè)二面角的大小為.則

20.已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足（1）數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，問的最小正整數(shù)是多少？參考答案：解析：（1）又為等比數(shù)列，公比-------4分

又，數(shù)列構(gòu)成一個首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，----------------------------------------------------------8分（2）

=-----------------------------------------------------10分由，得，所以的最小正整數(shù)是112.--------12分21.(本小題滿分12分)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額．(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求：(i)顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．參考答案：(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.(i)依題意，得P(X＝60)＝＝.即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為，(ii)依題意，得X的所有可能取值為20，60.P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，即X的分布列為

X2060P0.50.5所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元．所以，先尋找期望為60元的可能方案．對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為X12060100PX1的期望為E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，X1的方差為D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.對于方案2，即方案(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為

X2406080PX2的期望為E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，X2的方差為D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×