河南省新鄉(xiāng)市衛(wèi)輝第八中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

河南省新鄉(xiāng)市衛(wèi)輝第八中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)若a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），則的取值范圍是(

)A．（4，13） B．（8，9） C．（23，27） D．（13，15）參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】畫出圖象得出當(dāng)f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c時(shí)，0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，化簡(jiǎn)3ab+=3+c，即可求解范圍解：函數(shù)，f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，∴0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，∴3ab+=3+c，13＜3+c＜15，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用圖象得出a，b，c的范圍，關(guān)鍵是得出ab=1，代數(shù)式的化簡(jiǎn)，不等式的運(yùn)用，屬于中檔題2.已知集合，若對(duì)于任意，存在，使得成立，則稱集合是“集合”.給出下列4個(gè)集合：①

②

③

④其中所有“集合”的序號(hào)是……………………（

）（A）②③．

（B）③④．

（C）①②④．

（D）①③④．參考答案：A略3.拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為L(zhǎng)，A、B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=．設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在L上的投影為N，則的最大值是（

）A．B．1 C． D．參考答案：B【分析】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值為1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線的弦AB對(duì)焦點(diǎn)F所張的角為直角，求AB中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，且滿足==λ，其中λ∈[0，1]，則?的取值范圍是（）A．[﹣3，1] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣1，1] D．[1，3]參考答案：B【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】畫出圖形，建立直角坐標(biāo)系，求出B，A，D的坐標(biāo)，利用比例關(guān)系和向量的運(yùn)算求出，的坐標(biāo)，然后通過二次函數(shù)的單調(diào)性，求出數(shù)量積的范圍．【解答】解：建立如圖所示的以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸的直角坐標(biāo)系，則B（2，0），A（0，0），D（，）．∵滿足==λ，λ∈[0，1]，=+=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）=（，）+（1﹣λ）（2，0）=（﹣2λ，）；=+=﹣+（1﹣λ）=（﹣2，0）+（1﹣λ）（，）=（﹣﹣λ，（1﹣λ）），則?=（﹣2λ，）?（﹣﹣λ，（1﹣λ））=（﹣2λ）（﹣﹣λ）+?（1﹣λ）=λ2+λ﹣3=（λ+）2﹣，因?yàn)棣恕蔥0，1]，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：λ=﹣，則[0，1]為增區(qū)間，故當(dāng)λ∈[0，1]時(shí)，λ2+λ﹣3∈[﹣3，﹣1]．故選：B．5.設(shè)是展開式的中間項(xiàng)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.若函數(shù)f（x）=ex+x2﹣ax在區(qū)間（0，+∞）上存在減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，+∞） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（2，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求導(dǎo)f′（x）=ex+2x﹣a，從而可得f′（x）=ex+2x﹣a＜0在區(qū)間（0，+∞）上有解，再由其單調(diào)性確定答案即可．【解答】解：∵f（x）=ex+x2﹣ax，∴f′（x）=ex+2x﹣a；∵函數(shù)f（x）=ex+x2﹣ax在區(qū)間（0，+∞）上存在減區(qū)間，∴f′（x）=ex+2x﹣a＜0在區(qū)間（0，+∞）上有解，又∵f′（x）=ex+2x﹣a在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f′（0）=e0+2?0﹣a=1﹣a＜0，∴a＞1；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性問題的應(yīng)用．7.函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B8.若不等式≥對(duì)一切都成立，則的最小值為

(

)

參考答案：C9.若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)?shù)闹祻倪B續(xù)變化到時(shí)，動(dòng)直線掃過的中的那部分區(qū)域的面積為

.參考答案：略10.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）

A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲正弦函數(shù)shx=和雙曲余弦函數(shù)chx=與我們學(xué)過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)，請(qǐng)類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)類似的正確結(jié)論_________．參考答案：12.已知向量=（1，3），=（﹣2，m），若與垂直，則m的值為．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】運(yùn)用向量的數(shù)乘及加法運(yùn)算求出向量，然后再由垂直向量的數(shù)量積為0列式求解m的值．【解答】解：由=（1，3），=（﹣2，m），所以，又由與垂直，所以1×（﹣3）+3×（2m+3）=0，即m=﹣1．故答案為﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．13.已知函數(shù)有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：a≤﹣2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由原函數(shù)有兩個(gè)極值，可知其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為直線y=﹣ax﹣a與曲線y=2ex有兩個(gè)不同交點(diǎn)求解．【解答】解：由，得f′（x）=2ex+ax+a，要使有兩個(gè)極值，則方程2ex+ax+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即2ex=﹣ax﹣a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令y=2ex，y=﹣ax﹣a，直線y=﹣a（x+1）過點(diǎn)（﹣1，0），設(shè)直線y=﹣a（x+1）與y=2ex的切點(diǎn)為（），則y′=，則切線方程為，代入（﹣1，0），得，解得：x0=0．∴切點(diǎn)為（0，2），則過（﹣1，0），（0，2）切線的斜率為k=，由﹣a≥2，得a≤﹣2．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤﹣2．故答案為：a≤﹣2．14.已知命題P：[0,l],，命題q：“R，x2+4x+a=0”，若命題“p∧q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

；參考答案：

15.若直線的圓心，則的最小值是________________參考答案：1616.已知i是虛數(shù)單位，且滿足i2=﹣1，a∈R，復(fù)數(shù)z=（a﹣2i）（1+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，則“a=1”是“點(diǎn)M在第四象限”的條件（選填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）參考答案：充分不必要【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】把復(fù)數(shù)的表示形式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)在第四象限，得到復(fù)數(shù)的坐標(biāo)所滿足的條件，橫標(biāo)大于零，縱標(biāo)小于零，得到a的取值范圍，得到結(jié)果．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，∴在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)是（a+2，a﹣2），若點(diǎn)在第四象限則a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“a=1”是“點(diǎn)M在第四象限”的充分不必要條件，故答案為：充分不必要．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件問題，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查各個(gè)象限的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．17.設(shè)數(shù)列滿足，，則

參考答案：13三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題12分）某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元．甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘．甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．設(shè)該公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘.（Ⅰ）用x，y列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;（Ⅱ）該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做廣告的時(shí)間使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?參考答案：解：（I）設(shè)該公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為分鐘和分鐘，則，滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為該二次元不等式組等價(jià)于做出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（II）設(shè)公司的收益為元，則目標(biāo)函數(shù)為：考慮，將它變形為.這是斜率為，隨變化的一族平行直線，當(dāng)截距最大，即最大.又因?yàn)闈M足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)時(shí)，截距最大，即最大.解方程組得,代入目標(biāo)函數(shù)得.答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告使公司的收益最大，最大收益是70萬元.

19.設(shè)f（x）=px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）由f（x）=px﹣﹣2lnx，得=．由px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，能求出P的范圍．（II）法1：g（x）=在[1，e]上是減函數(shù)，所以g（x）∈[2，2e]．原命題等價(jià)于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，由，解得p＞，由此能求出p的取值范圍．法2：原命題等價(jià)于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，由=，知F（x）是增函數(shù)，由[F（x）]max=F（e）＞0，能求出p的取值范圍．【解答】解：（I）由f（x）=px﹣﹣2lnx，得=．…要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，只需f′（x）≥0，即px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，…從而P≥1．…（II）解法1：g（x）=在[1，e]上是減函數(shù)，所以[g（x）]min=g（e）=2，[g（x）]max=g（1）=2e，即g（x）∈[2，2e]．當(dāng)0＜p＜1時(shí)，由x∈[1，e]，得x﹣，故，不合題意．…當(dāng)P≥1時(shí)，由（I）知f（x）在[1，e]連續(xù)遞增，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，∴原命題等價(jià)于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，…由，解得p＞，綜上，p的取值范圍是（，+∞）．…解法2：原命題等價(jià)于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，∵=，∴F（x）是增函數(shù)，…∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得p＞，∴p的取值范圍是（，+∞）．…20.已知a∈R，函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+ax+a，g（x）=f（x）+（a﹣3）x．（1）求證：曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過點(diǎn)（2，4）；（2）若g（1）是g（x）在區(qū)間（0，3]上的極大值，但不是最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1），求出求出方程，從而求出定點(diǎn)即可；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)g（1）是g（x）在區(qū)間（0，3]上的極大值，不是最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．【解答】（1）證明：∵f'（x）=3x2﹣2ax+a，∴f'（1）=3﹣a，∵f（1）=a+1，∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣（a+1）=（3﹣a）（x﹣1），即a（x﹣2）=3x﹣y﹣2，令x=2，則y=4，故曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過定點(diǎn)（2，4）；（2）解：g'（x）=f'（x）+a﹣3=3x2﹣2ax+2a﹣3=（x﹣1）[3x﹣（2a﹣3）]，令g'（x）=0得x=1或x=，∵g（1）是g（x）在區(qū)間（0，3]上的極大值，∴＞1，∴a＞3，令g'（x）＞0，得x＜1或x＞，g（x）遞增；令g'（x）＜0，得1＜x＜，g（x）遞減，∵g（1）不是g（x）在區(qū)間（0，3]上的最大值，∴g（x）在區(qū)間（0，3]上的最大值為g（3）=18﹣2a，∴g（3）=18﹣2a＞g（1）=2a﹣2，∴a＜5，又a＞3，∴3＜a＜5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．21.（本