行波法積分變換法

行波法積分變換法1第1頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三章行波法、積分變換法Fourier變換積分變換法:

通過(guò)積分變換,將偏微分方程的某些定解問(wèn)題化為常微分方程定解問(wèn)題來(lái)求解。

在這一章中，我們將介紹求解數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的方法，行波法與積分變換法.

行波法又稱為達(dá)朗倍爾方法，它是求解無(wú)界域內(nèi)波動(dòng)方程定解問(wèn)題的一種有效的方法。Laplace變換2第2頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)一維波動(dòng)方程的達(dá)朗倍爾解法(行波法)

物理解釋：

認(rèn)為弦很長(zhǎng)，考慮遠(yuǎn)離邊界的某段弦在較短時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)，其中給定初始位移和速度，并且沒(méi)有強(qiáng)迫外力作用。它可用來(lái)描述彈性體的振動(dòng)、聲波、電磁波等波動(dòng)的傳播。一、一維波動(dòng)方程的達(dá)朗倍爾解：考慮無(wú)界弦的自由振動(dòng)問(wèn)題：3第3頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月給我們以啟發(fā)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，令將泛定方程改寫(xiě)成以下形式：方程化為只含二階混合偏導(dǎo)數(shù)的下述標(biāo)準(zhǔn)形式：

4第4頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

回到原來(lái)的變數(shù)x及t，立即得到泛定方程的解的一般形式即其通解為其中F及G為任意的單變量的二階連續(xù)可微函數(shù)。

由式可見(jiàn)，自由弦振動(dòng)方程的解可以表示為形如F(x+at)與G(x-at)的兩個(gè)函數(shù)之和。5第5頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中u=F(x+at)表示一個(gè)在初始時(shí)刻t=0時(shí)為u=F(x)的波形，以速度a>0向左（即x軸反向）傳播，而波形保持不變，它稱為左傳播波；

u=G(x-at)則表示以速度a向右傳播的波，稱為右傳播波。方程的形如u=F(x+at)或u=G(x-at)的解稱為行波。右傳播波左傳播波6第6頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月弦振動(dòng)方程的通解表達(dá)式說(shuō)明:

弦上的任意擾動(dòng)總是以行波的形式向左右兩個(gè)方向傳播出去。

下面我們看到，通過(guò)把方程的解表示為右傳播波和左傳播波的迭加，可用來(lái)求定解問(wèn)題的解。這個(gè)方法稱為行波法。7第7頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代入初始條件，可得（1）

（2）將（1）式兩端關(guān)于x

求導(dǎo)一次，得（3）由（2）、（3）兩式，解得8第8頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月再將以上兩式關(guān)于x積分一次就得到其中c1與c2是常數(shù)。由c1+c2=0.得到9第9頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這個(gè)公式稱為達(dá)朗貝爾公式。最后我們可得10第10頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月舉例，求解弦振動(dòng)方程的柯西問(wèn)題由達(dá)朗貝爾公式可得其解為：11第11頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月.Fourier變換設(shè)是定義在R上的函數(shù)，且則可以展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)其中第二節(jié)一維定解問(wèn)題的積分變換法12第12頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月傅里葉積分定理:設(shè)f在內(nèi)滿足下面兩個(gè)條件：（1）積分存在；（2）f(x)在內(nèi)滿足狄里克萊條件：在任意有限區(qū)間至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),而且只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則若左端的f(x)在它的間斷點(diǎn)x處，13第13頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義：如果f(x)滿足傅里葉積分定理的條件，則定義f(x)的傅里葉變換為

稱為的象函數(shù)，

定義的傅里葉逆變換為稱為的象原函數(shù)。14第14頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Fourier積分定理可以寫(xiě)為稱為反演公式以下舉例說(shuō)明15第15頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.求函數(shù)的Fourier變換16第16頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.求函數(shù)的Fourier變換17第17頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Fourier變換的性質(zhì)Fourier變換及其逆變換是線性變換2.位移性質(zhì)設(shè)

，則

或18第18頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.相似性質(zhì)4.微分性質(zhì)19第19頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5.積分性質(zhì)6.對(duì)稱性質(zhì)特別地,若當(dāng)時(shí),

則

20第20頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7.卷積性質(zhì)如果對(duì)于f(x)與g(x),使得存在，則定義f(x)與g(x)的卷積為21第21頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月卷積定理（1）或（2）22第22頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明23第23頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月24第24頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用積分變換法求解定解問(wèn)題思路：選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q定解問(wèn)題對(duì)泛定方程取變換對(duì)定解條件取變換含參變量的常微分方程方程的邊界條件解常微分方程的定解問(wèn)題未知函數(shù)的像函數(shù)取逆變換像原函數(shù)這就是定解問(wèn)題的解25第25頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月26第26頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月27第27頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月28第28頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月29第29頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月30第30頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月拉普拉斯變換拉普拉斯變換是與傅立葉變換類似的，通過(guò)積分實(shí)現(xiàn)的變換.對(duì)于函數(shù)為函數(shù)拉普拉斯變換，該積分為拉普拉斯積分，1.定義：

31第31頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.拉普拉斯變換存在定理:若函數(shù)滿足下列條件：的任意有限區(qū)間上分段連續(xù)；在使得即存在常數(shù)時(shí)，的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù),當(dāng)成立，則的拉普拉斯變換對(duì)一切的一定存在，其中c稱為函數(shù)的增長(zhǎng)指數(shù)32第32頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月拉普拉斯逆變換又稱原函數(shù)為像函數(shù)33第33頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月舉例(1)求(2)求(3)求34第34頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(4)求35第35頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.性質(zhì)(1)線性性質(zhì)若和，則例求同理36第36頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)微分性質(zhì)證明一般地，37第37頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)積分性質(zhì)證明設(shè)故由于故38第38頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(4)相似性質(zhì)(5)位移性質(zhì)39第39頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(7)卷積定理f(x)和g(x)的卷積則有40第40頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例二、設(shè)有一條半無(wú)限長(zhǎng)各向同性的均勻?qū)釛U，桿與周圍介質(zhì)絕熱，不考慮熱源，它的有界的一端(）溫度的變化情況為已知，并假設(shè)在初始時(shí)刻時(shí)桿上溫度為，研究桿上溫度分布隨時(shí)間變化的規(guī)律。

它可表為以下的定解問(wèn)題：(用拉普拉斯變換求解)考慮作關(guān)于時(shí)間變量的拉普拉斯變換Laplace變換應(yīng)用41第41頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表示函數(shù)的拉普拉斯變換：

表示函數(shù)的拉普拉斯